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    <title>Pi</title>
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    <revision>
      <id>31859634</id>
      <timestamp>2008-07-24T20:12:54Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Synthebot</username>
        <id>218559</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>robot  Modifie: [[ka:პი]]</comment>
      <text xml:space="preserve">{{voir homonymes}}
[[image:Pi-CM.svg|60px|left|Ï€]]
[[Image:Pi-unrolled-720.gif|right|300px|thumb|Si le diamètre du cercle est 1, sa circonférence est π.]]
Le [[nombre]] '''pi''', noté par la [[alphabet grec|lettre grecque]] du même nom '''[[Pi (lettre grecque)|π]]''' (toujours en minuscule) est le rapport constant&lt;ref&gt;dans un [[espace euclidien|plan euclidien]]&lt;/ref&gt; entre la [[circonférence]] d'un [[cercle]] et son [[diamètre]]. Il est appelé aussi '''constante d'Archimède'''. Des valeurs approchées de π courantes sont π ≈ 3,14, π ≈ 3,1416, π ≈ 22/7 ou π ≈ 355/113

Mais π est un [[nombre irrationnel]], c'est-à-dire qu'il n'est pas le rapport de deux [[nombre entier|nombres entiers]]&lt;ref&gt;L'irrationalité de π a été démontrée en [[1761]] par [[Johann Heinrich Lambert]].&lt;/ref&gt;. En fait, ce nombre est [[nombre transcendant|transcendant]]&lt;ref&gt;Ce qui a été prouvé par [[Ferdinand von Lindemann|Ferdinand Lindemann]] en [[1882]] : Lindemann, F.  « Über die Zahl π », ''Mathematische Annalen'' 20 (1882), pp. 213-225.&lt;/ref&gt;. Ceci signifie qu'il n'existe pas de [[polynôme]] non nul à coefficients entiers dont π soit une racine.

La transcendance de π établit l'impossibilité de résoudre le problème de la [[quadrature du cercle]] : il est impossible de construire, à l'aide de la règle et du compas seulement, un carré dont la surface est  rigoureusement égale à la surface d'un disque donné.&lt;ref&gt;En effet, les coordonnées de tous les [[nombre constructible|points constructibles]] à la règle et au compas sont des cas particuliers de [[nombre algébrique|nombres algébriques]] &lt;/ref&gt;

== Histoire ==

La [[Alphabet grec|lettre grecque]] &quot;π&quot; est la première lettre des mots [[Grec ancien|grecs]]  '''π'''εριφέρεια (''périphérie'') et '''π'''ερίμετρος (''périmètre'', c'est-à-dire ''circonférence'').

Le nombre π a très tôt été une source d'inspiration pour de nombreux mathématiciens, et ce autant en [[algèbre]] qu'en [[Analyse (mathématiques)|
analyse]]. Ainsi, dès l'Antiquité, les savants, notamment les savants grecs, se sont penchés sur les propriétés de ce nombre lors d'études sur des problèmes géométriques.

La plus ancienne valeur de π dont la véracité est attestée provient d'une tablette babylonienne en [[écriture cunéiforme]], découverte en 1936. Cette tablette date de 2000 avant J.-C. Les [[Babylone|Babyloniens]] y seraient arrivés en comparant le [[périmètre]] du cercle avec celui de l'[[hexagone]] inscrit, égal à trois fois le diamètre ; ils en déduisirent une des premières valeurs approchées connues de π : &lt;math&gt;\pi \approx 3 + \frac{1}{8} (= 3,125).&lt;/math&gt;

Découvert en 1855, le [[Papyrus Rhind|papyrus de Rhind]] contient le texte, recopié vers l'an 1650 avant notre ère par le scribe égyptien Ahmès, d'un manuel de problèmes pédagogique plus ancien encore. On trouve trace d'un calcul qui implique que π est évalué à &lt;math&gt;\left(\frac{16}{9}\right)^2 (\approx 3,160...).&lt;/math&gt;

== Définition analytique ==

Même si la définition originelle de &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; est le rapport entre la circonférence du cercle et son diamètre, il est plus commode de définir &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; via d'autres voies, ce qui facilite les démonstrations concernant les propriétés de &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;.

=== Exponentielle complexe ===
{{article détaillé|série entière|exponentielle}}

La [[série entière]]
:&lt;math&gt;\sum_{n \geq 0} \frac{z^n}{n!};&lt;/math&gt;
converge pour tout &lt;math&gt;z \in \C&lt;/math&gt;. On définit ainsi une application de &lt;math&gt;\C&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\C&lt;/math&gt;, appelé exponentielle, par
:&lt;math&gt;\begin{array}{r|ccc} \exp : &amp; \C &amp; \longrightarrow &amp; \C \\ &amp; z &amp; \longmapsto &amp; \displaystyle \sum_{n =0}^{+\infty} \frac{z^n}{n!}.\end{array}&lt;/math&gt;

L'application &lt;math&gt;\exp&lt;/math&gt; définit alors un [[morphisme]], qui est de plus [[surjection|surjectif]] et [[continuité|continu]], du [[groupe (mathématiques)|groupe]] &lt;math&gt;(\C,+)&lt;/math&gt; sur le groupe &lt;math&gt;(\C^*,\times)&lt;/math&gt;.

{{démonstration|contenu=L'étude du [[produit de Cauchy]] permet de montrer que
:&lt;math&gt;\forall (z,z') \in \C^2,\quad \exp(z+z')=\exp(z)\exp(z');&lt;/math&gt;
ce qui montre que l'exponentielle est un morphisme de groupe de &lt;math&gt;(\C,+)&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;(\C^*,\times)&lt;/math&gt; (l'égalité ci-dessus montre que l'exponentielle ne s'annule jamais).

L'étude théorique des séries entières nous fournit immédiatement que la fonction exponentielle est de [[Classe de régularité|classe]] &lt;math&gt;\mathcal{C}^\infty&lt;/math&gt; sur son [[Rayon de convergence|disque de convergence]], c'est-à-dire &lt;math&gt;\C&lt;/math&gt; tout entier.

Montrons maintenant que la fonction exponentielle est surjective. Soit &lt;math&gt;z_0 \in \C^*&lt;/math&gt;. Distinguons les cas.

1) Supposons que &lt;math&gt;z_0 \notin \R^*_-&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; l'application définit par
:&lt;math&gt;\begin{array}{r|ccc} f : &amp; [0,1] &amp; \longrightarrow &amp; \C \\ &amp; t &amp; \longmapsto &amp; 1-t + tz_0.\end{array}&lt;/math&gt;
On a &lt;math&gt;f(0)=1&lt;/math&gt; et pour tout &lt;math&gt;t \in ]0,1]&lt;/math&gt;, on a
:&lt;math&gt;f(t)=0 \Longrightarrow z_0=-\frac{1-t}{t} \Longrightarrow z_0 \in \R^*_-;&lt;/math&gt;
contradiction. Donc &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; ne s'annule jamais. Elle est de plus clairement de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt;. On en déduit immédiatement que l'application 
:&lt;math&gt;\begin{array}{r|ccc} g : &amp; [0,1] &amp; \longrightarrow &amp; \C \\ &amp; t &amp; \longmapsto &amp; \displaystyle \frac{f'(t)}{f(t)};\end{array}&lt;/math&gt;
est continue, puis que
:&lt;math&gt;\begin{array}{r|ccc} G : &amp; [0,1] &amp; \longrightarrow &amp; \C \\ &amp; t &amp; \longmapsto &amp; \displaystyle \int_0^t g(x)\mathrm{d}x;\end{array}&lt;/math&gt;
est de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; et vérifie
:&lt;math&gt;\forall t \in [0,1],\quad G'(t)=g(t).&lt;/math&gt;
Finalement, l'application
:&lt;math&gt;\begin{array}{r|ccc} h : &amp; [0,1] &amp; \longrightarrow &amp; \C \\ &amp; t &amp; \longmapsto &amp; \displaystyle f(t) \exp(-G(t));\end{array}&lt;/math&gt;
est de classe &lt;math&gt;\mathcal{C}^1&lt;/math&gt; et vérifie
:&lt;math&gt;\forall t \in [0,1],\quad h'(t)=(f'(t)-f(t)G'(t))\exp(-G(t))=0.&lt;/math&gt;
Ceci montre que &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; est constante égale à &lt;math&gt;h(0)=f(0)=1&lt;/math&gt;. On a donc
:&lt;math&gt;\forall t \in [0,1],\quad f(t)=\exp(G(t));&lt;/math&gt;
et en particulier
:&lt;math&gt;z_0=f(1)=\exp(G(1)).&lt;/math&gt;

2) Supposons &lt;math&gt;z_0 \in \R^*_-&lt;/math&gt;.

D'après 1), il existe &lt;math&gt;\zeta \in \C&lt;/math&gt; tel que &lt;math&gt;\exp(\zeta)=i \notin \R^*_-&lt;/math&gt;, et donc que &lt;math&gt;\exp(2\zeta)=-1&lt;/math&gt;. On considère alors &lt;math&gt;-z_0&lt;/math&gt; qui n'appartient pas à &lt;math&gt;\R^*_-&lt;/math&gt;. Il existe donc, d'après 1), &lt;math&gt;\omega \in \C&lt;/math&gt; tel que &lt;math&gt;-z_0=\exp(\omega)&lt;/math&gt;. Finalement, on a
:&lt;math&gt;z_0=-\exp(\omega)=\exp(2\zeta)\exp(\omega)=\exp(\omega+2\zeta).&lt;/math&gt;

3) Conclusion.

Pour tout &lt;math&gt;z \in \C^*&lt;/math&gt;, il existe donc au moins un &lt;math&gt;z' \in \C&lt;/math&gt; tel que &lt;math&gt;z=\exp(z')&lt;/math&gt;, ce qui montre que l'exponentielle est surjective. Finalement, elle définit bien un morphisme surjectif continu du groupe &lt;math&gt;(\C,+)&lt;/math&gt; sur le groupe &lt;math&gt;(\C^*,\times)&lt;/math&gt;.}}

=== Définition ===

L'application &lt;math&gt;\varphi: t \mapsto \exp(it)&lt;/math&gt; est un morphisme surjectif de groupes continu du groupe &lt;math&gt;(\R,+)&lt;/math&gt; vers le groupe &lt;math&gt;(\mathbb{U},\times)&lt;/math&gt; (où &lt;math&gt;\mathbb{U}=\{ z \in \C\ /\ |z|=1\}&lt;/math&gt;) et il existe un unique &lt;math&gt;a \in \R^*_+&lt;/math&gt; tel que &lt;math&gt;\mathrm{Ker}(\varphi)=a \Z&lt;/math&gt;.

{{démonstration|Par définition, &lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt; est continue et définit un morphisme du groupe &lt;math&gt;(\R,+)&lt;/math&gt; vers le groupe &lt;math&gt;(\C^*,\times)&lt;/math&gt;. 

L'étude des propriétés de l'exponentielle complexe montre que
:&lt;math&gt;\forall t \in \R,\quad | \varphi(t)| = |\exp(it)|=1.&lt;/math&gt;
Donc &lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt; est à valeurs dans &lt;math&gt;\mathbb{U}&lt;/math&gt;.

Soit &lt;math&gt;\omega \in \mathbb{U}&lt;/math&gt;. D'après le théorème précédent, il existe &lt;math&gt;z \in \C&lt;/math&gt; tel que &lt;math&gt;\exp(z)=\omega&lt;/math&gt;. Il vient &lt;math&gt;z \in i\R&lt;/math&gt; (car &lt;math&gt;|\omega|=1)&lt;/math&gt;), et donc l'existence d'un &lt;math&gt;t \in \R&lt;/math&gt; tel que &lt;math&gt;\omega = \exp(z)=\exp(it)&lt;/math&gt;, ce qui montre que &lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt; est surjective.

Le noyau de &lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt; est un sous-groupe de &lt;math&gt;(\R,+)&lt;/math&gt;. Comme &lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt; est continue et &lt;math&gt;\{1\}&lt;/math&gt; est [[Fermé (topologie)|fermé]], on en déduit que &lt;math&gt;\mathrm{Ker}(\varphi)&lt;/math&gt; est un sous-groupe fermé, distinct de &lt;math&gt;\{0\}&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;. D'après l'étude des sous-groupes additifs de &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt;, il existe un unique &lt;math&gt;a \in \R^*_+&lt;/math&gt; tel que &lt;math&gt;\mathrm{Ker}(\varphi)=a \Z&lt;/math&gt;.}}

On pose alors &lt;math&gt;\pi=a/2&lt;/math&gt;.

=== Lien avec la définition originelle ===

{{...}}

== Formules incluant π ==

Les formules intéressantes incluant π sont innombrables et apparaissent dans quasiment tous les domaines des mathématiques et des sciences. 

=== Géométrie ===

Pi apparaît dans beaucoup de formules de [[géométrie]] impliquant les [[cercle]]s et les [[sphère]]s 

{| class=&quot;wikitable&quot;
!Forme géométrique
!Formule
|-
|[[Circonférence]] d'un cercle de [[rayon (géométrie)|rayon]] ''r'' et de [[diamètre]] ''d''
|&lt;math&gt;C = 2 \pi r = \pi d \,\!&lt;/math&gt;
|-
|[[Superficie|Aire]] d'un [[disque (géométrie)|disque]] de rayon ''r''
|&lt;math&gt;A = \pi r^2 \,\!&lt;/math&gt;
|-
|Aire d'une [[ellipse (mathématiques)|ellipse]] de demi-axes ''a'' et ''b''
|&lt;math&gt;A = \pi a b \,\!&lt;/math&gt;
|-
|[[Volume]] d'une boule de rayon ''r''
|&lt;math&gt;V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{\pi d^3}{6} \,\!&lt;/math&gt;
|-
|Aire surfacique d'une [[sphère]] de rayon ''r''
|&lt;math&gt;A = 4 \pi r^2 = \pi d^2 \,\!&lt;/math&gt;
|-
|Volume d'un [[cylindre]] de hauteur ''h'' et de rayon ''r''
|&lt;math&gt;V = \pi r^2 h \,\!&lt;/math&gt;
|-
|Aire surfacique d'un cylindre de hauteur ''h'' et de rayon ''r''
|&lt;math&gt;A = 2 ( \pi r^2 ) + ( 2 \pi r ) h = 2 \pi r (r + h) \,\!&lt;/math&gt;
|-
|Volume d'un [[cône (géométrie)|cône]] de hauteur ''h'' et de rayon ''r''
|&lt;math&gt;V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \,\!&lt;/math&gt;
|-
|Aire surfacique d'un cône de hauteur ''h'' et de rayon ''r''
|&lt;math&gt;A = \pi r \sqrt{r^2 + h^2} + \pi r^2 =  \pi r (r + \sqrt{r^2 + h^2}) \,\!&lt;/math&gt;
|}
La surface d'un cylindre circonscrit à la sphère et de même hauteur est la même (bases du cylindre exclues).&lt;br&gt;
π se retrouve aussi dans le calcul des surfaces et volumes des hypersphères (à plus de 3 dimensions).
La mesure d'[[angle]] 180° (en [[Degré (angle)|degré]]s) est égale à π [[radian]]s.

En [[géométrie non euclidienne]], la somme des angles d'un triangle peut être supérieure ou inférieure à π, et le rapport de la circonférence du cercle à son diamètre peut aussi être différent de π.

=== Analyse ===

*&lt;math&gt;\pi = \lim_{n \to \infty} \left( n \cdot \sin \left( { \pi \over n } \right) \right) = \lim_{n \to \infty} \left( n \cdot \tan \left( { \pi \over n } \right) \right)&lt;/math&gt;. 
:Les deux suites de termes ''s''&lt;sub&gt;''n''&lt;/sub&gt;=''n''.sin(π/''n''), et ''t''&lt;sub&gt;''n''&lt;/sub&gt;=''n''.tan(π/''n''), ''n'' ≥ 3, représentent les demi-périmètres des [[polygone]]s réguliers à n côtés, inscrit dans le cercle trigonométrique  pour ''s''&lt;sub&gt;''n''&lt;/sub&gt;,  exinscrit pour ''t''&lt;sub&gt;''n''&lt;/sub&gt;. On les exploite par des suites extraites dont l'indice (le nombre de côtés du polygone) double à chaque itération, pour obtenir  π par passage à la limite d'expressions utilisant les opérations arithmétiques élémentaires et la [[racine carrée]]. Ainsi on peut s'inspirer de la méthode utilisée par Archimède — voir historique du calcul de π — pour donner une définition par récurrence des suites extraites de termes ''s''&lt;sub&gt;2&lt;sup&gt;''m''&lt;/sup&gt;&lt;/sub&gt; et ''t''&lt;sub&gt;2&lt;sup&gt;''m''&lt;/sup&gt;&lt;/sub&gt;, ou encore ''s''&lt;sub&gt;3.2&lt;sup&gt;''m''&lt;/sup&gt;&lt;/sub&gt; et ''t''&lt;sub&gt;3.2&lt;sup&gt;''m''&lt;/sup&gt;&lt;/sub&gt;, par exemple à l'aide des [[identité trigonométrique | identités trigonométriques]] usuelles :
::&lt;math&gt;\begin{array}{lll}
t_{2n}=2{s_n\cdot t_n\over s_n+t_n} &amp; t_3=3\sqrt 3&amp; t_4=4\\
s_{2n}=\sqrt{s_n\cdot t_{2n}} &amp; s_3={3\sqrt 3\over 2} &amp; s_4={2\sqrt 2}\,.
\end{array}
&lt;/math&gt;
:En utilisant les identités trigonométriques, 2.sin(''x''/2) = √(2-2cos(''x'')) et  2.cos(''x''/2) = √(2+2cos(''x'')) (''x'' ∈ [0,π]), on peut exprimer ''s''&lt;sub&gt;2&lt;sup&gt;''k+1''&lt;/sup&gt;&lt;/sub&gt; et ''s''&lt;sub&gt;3.2&lt;sup&gt;''k''&lt;/sup&gt;&lt;/sub&gt;  (k≥1) par emboîtements successifs de racines carrées. On obtient les formules qui suivent pour π.

:*π peut alors s'exprimer sous la forme d'une [[Racine carrée#Formulaire|formule où s'emboîtent des racines carrées]] :
::&lt;math&gt;\pi = \lim_{k \to \infty} \left ( 2^{k} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \cdots \sqrt{2 + \sqrt{2}}}}}} \right )&lt;/math&gt;, où ''k'' est le nombre de racines carrées emboitées
::ou encore :
::&lt;math&gt;\pi = \lim_{k \to \infty} \left ( 3\cdot2^{k-1} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \cdots \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}}}}} \right )&lt;/math&gt;.
:*Une autre expression de ''s''&lt;sub&gt;2&lt;sup&gt;''k+1''&lt;/sup&gt;&lt;/sub&gt;, qui peut se déduire simplement de la première de ces deux égalités (multiplier par √(2+√…)), conduit au [[produit infini]] suivant (formule de [[François Viète]], [[1593]]).
::&lt;math&gt;\frac{\pi}2=
\frac{2}{\sqrt2}\cdot
\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt2}}\cdot
\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}\cdot\cdots&lt;/math&gt;

*&lt;math&gt;\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots + \frac{(-1)^k}{2k+1} + \cdots = \frac{\pi}{4}&lt;/math&gt; (formule de [[Gottfried Leibniz|Leibniz]] inspirée de [[James Gregory (mathématicien)|James Gregory]])

*&lt;math&gt;\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdot \cdots \cdot \frac{2k + 2}{2k+1} \cdot \frac{2k+2}{2k+3} \cdot \cdots = \frac{\pi}{2}&lt;/math&gt; (produit de [[John Wallis#Produit de Wallis|Wallis]])

*&lt;math&gt;\zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots + \frac{1}{k^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}&lt;/math&gt; ([[Leonhard Euler|Euler]])

*&lt;math&gt;\zeta(4)= \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots + \frac{1}{k^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}&lt;/math&gt;

:et plus généralement, Euler indiqua que [[Fonction Zeta de Riemann|ζ(2n)]] est un multiple rationnel de  &lt;math&gt;\pi^{2n}\,&lt;/math&gt; pour un entier positif n

*&lt;math&gt;\Gamma\left({1 \over 2}\right)=\sqrt{\pi}&lt;/math&gt; ([[Fonction Gamma d'Euler|fonction gamma d'Euler]])

*&lt;math&gt;\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}&lt;/math&gt;

*&lt;math&gt;n! = \Gamma(n + 1) \approx \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n&lt;/math&gt; (formule de [[factorielle]] de [[formule de Stirling|Stirling]])

*&lt;math&gt;e^{i \pi} + 1 = 0\;&lt;/math&gt; ([[identité d'Euler]], aussi appelée « la formule la plus remarquable au monde » par [[Richard Feynman]] &amp; [[Poincaré]])

*π peut s'écrire sous forme de [[Fraction continue#Fractions continues généralisées|fractions continues généralisées]] remarquables :

:&lt;math&gt;\frac{4}{\pi} = 1 + \frac{1}{3 + \frac{4}{5 + \frac{9}{7 + \frac{16}{9 + \frac{25}{11 + \frac{\cdots}{\cdots + \frac{k^2}{(2k+1) + \cdots}}}}}}}&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt; = {1 + {1^{2}\over 2
              + {3^{2}\over 2
              + {5^{2}\over 2
              + {7^{2}\over 2
              + {9^{2}\over 2
              + {11^{2}\over 2 + ... }}}}}}}  &lt;/math&gt; ([[William Brouncker]])

:&lt;math&gt;\frac{\pi}{2} = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1/2 + \frac{1}{1/3+\,\cdots+ \frac{1}{1/n+\,\cdots}}}}&lt;/math&gt;

:Les démonstrations ainsi que d'autres représentations sont données dans l'article [[Fraction continue]].

*&lt;math&gt;\sum_{k=0}^{n} \varphi (k) \sim 3 n^2 / \pi^2&lt;/math&gt; où &lt;math&gt;\varphi\,&lt;/math&gt; est la [[Indicatrice d'Euler|fonction indicatrice d'Euler]] (cf. aussi les [[suite de Farey|suites de Farey]]).

*&lt;math&gt;\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\ dx = {\pi \over 4}\,&lt;/math&gt; (aire d'un quart de cercle unitaire)

=== Théorie des nombres ===

La fréquence d'apparition de paires d'entiers naturels [[Nombres premiers entre eux|premiers entre eux]] parmi les paires d'entiers comprises entre 0 et N tend vers 6/π² quand N tend vers l'infini.

Le nombre moyen de façons d'écrire deux entiers positifs quelconques compris entre 0 et N comme la somme de deux [[carré parfait|carrés parfaits]], en tenant compte de l'ordre, tend vers π/4 quand N tend vers l'infini.

=== Systèmes dynamiques / Théorie ergodique ===

La probabilité pour que deux entiers naturels soient premiers entre eux est 6/π², au sens où si l'on tire au hasard deux entiers naturels compris entre 1 et N (où N est un entier naturel non nul fixé) selon la loi uniforme, cette probabilité tend vers 6/π² lorsque N tend vers l'infini.

: &lt;math&gt; \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{x_i} = \frac{2}{\pi} &lt;/math&gt;

:presque partout sur [0, 1] où les ''x''&lt;sub&gt;''i''&lt;/sub&gt;  sont des itérés du plan logistique pour ''r ''= 4.

== Calcul de la valeur de π ==

Du fait de sa nature [[nombre irrationnel|irrationnelle]] ''(cf article [[Fraction continue et approximation diophantienne]] pour les détails)'', le nombre π ne possède pas de [[développement décimal]] fini ou périodique. Il en résulte que l'on ne peut en calculer qu'une écriture décimale [[approximation|approchée]]. Par exemple, une valeur approchée avec 100 décimales est&lt;ref&gt;26 décimales suffisent pour estimer la taille de l'univers avec une précision égale à la taille d'un atome.&lt;/ref&gt;
:3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 ...
Pour l'utilisation courante, 3,14 ou 22/7 sont souvent suffisants, bien que les ingénieurs utilisent plus souvent 3,1416 (5 [[chiffre significatif|chiffres significatifs]]) ou 3,14159 (6 chiffres significatifs) pour plus de précision dans leurs calculs préliminaires (dans les calculs finaux, cependant, ils doivent utiliser la précision maximale de l'ordinateur, soit de 8 à 19 chiffres significatifs). 355/113 est une fraction facilement mémorisable qui donne 7 chiffres significatifs. 

=== Historique du calcul de π ===
Au {{XXe siècle av. J.-C.}} les Babyloniens utilisaient l'approximation 25 / 8 et les Égyptiens ( (16 / 9)&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 3,16049...) qui était une assez bonne approximation. On ne dispose du témoignage d'une meilleure approximation qu'au {{IIIe siècle av. J.-C.}} vers 250 av. J.-C. avec le traité d'[[Archimède]] sur ''la mesure du cercle''. Grâce à une méthode consistant à encadrer un cercle entre deux suites [[polygone]]s, dont le nombre de côtés double à chaque itération, [[Archimède]] obtint  : 223 / 71 &lt; π &lt; 22 / 7 (3,1408... &lt; π &lt; 3,1428...), soit, dit de façon très anachronique, une précision de 2.10&lt;sup&gt;-3&lt;/sup&gt; et 2 décimales exactes.
En Perse en 1429, [[Ghiyath al-Kashi|Al-Kashi]] calcula 14 décimales de π. En 1596, toujours avec des méthodes géométriques, l'[[Allemagne|Allemand]] [[Ludolph van Ceulen]] calcula 20 décimales, puis 34 en 1609. Il fut si fier de son exploit (il y consacra une bonne partie de sa vie) qu'il demanda à ce que le nombre soit gravé sur sa tombe.

Ensuite, grâce au développement de l'[[Analyse (mathématiques)|analyse]] au {{XVIIe siècle}}, avec notamment les [[Série (mathématiques)|sommes]] et [[Produit infini|produits infinis]], le calcul des décimales de Pi s'accéléra. 

[[James Gregory (mathématicien)|James Gregory]] (1638 - 1675) découvre la formule suivante
: &lt;math&gt;\arctan(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}=...=\sum_{k=o}^{\infty}\frac{(-1)^{k} x^{2k+1}}{2k+1}&lt;/math&gt;
qui permet en faisant  &lt;math&gt;x=1&lt;/math&gt; de trouver une approximation de π/4 : &lt;math&gt;\pi=4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+...\right)=4\sum_{k=o}^{\infty}\frac{(-1)^k}{2k+1}&lt;/math&gt;
Gregory ne l'a jamais écrite explicitement, peut-être est-ce parce qu'il avait compris qu'elle n'était guère utile pour calculer π. En effet, la précision du calcul est de 1/(2n+1), c'est-à-dire qu'il est nécessaire de calculer 500 termes pour n'avoir une erreur que sur la troisième décimale. En fait, la formule pour π avait déjà été proposée vers 1410 par le mathématicien indien Madhava of Sangamagramma (1350-1425) qui calcule ainsi 11 décimales de π &lt;ref&gt;{{en}} [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Madhava.html Biographie de Madhava] sur le site de l'université de Saint-Andrew&lt;/ref&gt;. Gregory proposa aussi une méthode itérative de calcul de π qui utilise des polygones réguliers à &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; cotés, mais qui fait intervenir l'aire au lieu du périmètre. Si l'on note  &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;B_n&lt;/math&gt; les aires des polygones réguliers à n côtés inscrit et circonscrit à un cercle de rayon 1, on trouve les relations :
:  &lt;math&gt;A_{2n}=\sqrt{A_n B_n}\qquad&lt;/math&gt;  et   &lt;math&gt;\qquad B_{2n}=\frac{2B_n A_{2n}}{(B_n+A_{2n})}&lt;/math&gt;
qui conduisent à des calculs beaucoup plus efficaces que ceux de la série de Gregory, mais ne donnent guère mieux que la méthode d'[[Archimède]] elle-même. Grégory utilise ces calculs pour  tenter de prouver que  π est transcendant&lt;ref&gt; {{en}}[http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Squaring_the_circle.html#s81 Squaring the circle] sur le site de l'université de Saint Andrews&lt;/ref&gt;.

[[Isaac Newton]] calcula 16 décimales en 1665, [[John Machin]] 100 en 1706. Vers 1760, [[Leonhard Euler|Euler]] calcula 20 décimales en une heure (à comparer avec la trentaine de décimales obtenue par Van Ceulen en plus de 10 ans de calcul).

[[Georges-Louis Leclerc, comte de Buffon]] proposa au XVIIIe siècle une expérience de probabilité ([[Aiguille de Buffon]]) impliquant &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;.

Le mathématicien [[slovènes|slovène]] [[Jurij Vega]] calcula en [[1789]] les 140 premières décimales π parmi lesquelles 137 étaient correctes. Ce record tiendra plus de 50 ans. Il améliora la formule que [[John Machin]] avait trouvée en [[1706]] et sa méthode est toujours mentionnée aujourd'hui.

Le mathématicien [[William Shanks]] passa 20 ans de sa vie à calculer les décimales de Pi. Il en calcula 707, mais seules les 528 premières étaient correctes. À l'occasion  de l'[[Exposition spécialisée de 1937|exposition universelle de Paris de 1937]], celles-ci furent malheureusement gravées dans la salle π du [[Palais de la Découverte]]. L'erreur ne fut détectée qu'en [[1945]].

Le calcul des décimales de Pi s'emballa au {{XXe siècle}} avec l'apparition de l'informatique : {{formatnum:2037}} sont calculées en [[1949]] par le calculateur américain [[ENIAC]], {{formatnum:10000}} décimales sont obtenues en [[1958]], {{formatnum:100000}} en [[1961]], {{formatnum:1000000}} en [[1973]], {{formatnum:10000000}} en [[1982]], {{formatnum:100000000}} en [[1989]], puis {{formatnum:1000000000}} la même année. En [[2002]], {{formatnum:1241100000000}} décimales étaient connues.

=== Méthodes de calcul de π ===
==== Les formules de Machin ====
La [[formule de Machin]] utilisée par [[John Machin]], similaire à des formules encore utilisées aujourd'hui, permet un calcul rapide :

:&lt;math&gt;\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239}&lt;/math&gt;

Il l'obtint avec un développement en [[série de Taylor]] de la fonction [[fonction trigonométrique|arctan(''x'')]]. Cette formule peut être vérifiée aisément en coordonnées polaires dans le  [[nombre complexe|plan complexe]], avec 
:&lt;math&gt;(5+i)^4 \times (-239 + i) = -114244 \times (1+i)&lt;/math&gt;. 
Les formules de ce genre sont nommées ''formules de Machin''.

Les approximations très précises de π sont généralement calculées avec l'[[algorithme de Gauss-Legendre]] et l'[[algorithme de Borwein]]; l'[[algorithme de Salamin-Brent]], inventé en [[1976]] a aussi été utilisé pour de très grands nombres de décimales. 

On peut voir {{formatnum:1000000}} de décimales de π et de 1/π sur le [[Projet Gutenberg]] (voir liens externes). 

Le record actuel est de {{formatnum:1241100000000}} de décimales, déterminées après 600 heures de calcul en novembre [[2002]] sur un [[supercalculateur]] parallèle [[Hitachi]] à 64 nœuds, avec 1 [[téraoctet]] de [[mémoire centrale]], qui pouvait effectuer {{formatnum:2000}} milliards d'opérations en [[Floating-point operations per second|virgule flottante par seconde]], soit près de deux fois plus que pour le précédent record (206 milliards de décimales); les formules de Machin suivantes ont été utilisées pour cela :

:&lt;math&gt;\frac{\pi}{4} = 12 \arctan\frac{1}{49} + 32 \arctan\frac{1}{57} - 5 \arctan\frac{1}{239} + 12 \arctan\frac{1}{110443}&lt;/math&gt; (K. Takano, [[1982]])

:&lt;math&gt; \frac{\pi}{4} = 44 \arctan\frac{1}{57} + 7 \arctan\frac{1}{239} - 12 \arctan\frac{1}{682} + 24 \arctan\frac{1}{12943}&lt;/math&gt; (F. C. W. Störmer, [[1896]])

Ces approximations sont tellement grandes qu'elles n'ont aucune utilisation pratique, si ce n'est tester les nouveaux supercalculateurs.

D'autres méthodes et algorithmes sont actuellement à l'étude et mis en œuvre comme l'utilisation en parallèle d'[[Ordinateur individuel|ordinateurs]] connectés sur le réseau [[Internet]].

==== Le calcul isolé des décimales de π ====
En [[1995]] [[David Bailey (mathématiques)|David Bailey]], en collaboration avec [[Peter Borwein]] et [[Simon Plouffe]], a découvert une nouvelle formule de π, une [[série (mathématiques)|série]] (souvent appelée [[formule BBP]]):

&lt;center&gt;&lt;math&gt;\pi = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6}\right)&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;

Cette formule permet de calculer facilement la ''n''{{e}} décimale binaire ou hexadécimale de π, sans avoir à calculer les décimales précédentes. Le [http://www.nersc.gov/~dhbailey/ site] de Bailey en contient la dérivation et l'implémentation dans de nombreux langages de [[programmation]]. Grâce à une formule dérivée de la [[formule BBP]], le {{formatnum:4000000000000000}}{{e}} chiffre de π en [[Système binaire|base 2]] a été obtenu en 2001.

Un an plus tard, [[Simon Plouffe]] met au point un algorithme permettant le calcul de la ''n''{{e}} décimale de π, mais cette fois-ci en décimal&lt;ref&gt;Voir [http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/Simon/articlepi.html page de Simon Plouffe]&lt;/ref&gt;. Malheureusement, cet algorithme qui permet actuellement de déterminer en [[Système décimal|base 10]] un chiffre précis et isolé de π est moins rapide que celui qui consiste à calculer tous les chiffres décimaux précédents.

==== Autres formules ====
D'autres formules ont été utilisées pour calculer π, dont:

:&lt;math&gt; \frac{1}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{9801} \sum^\infty_{k=0} \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}} &lt;/math&gt; (formule due à [[Srinivasa Ramanujan|Ramanujan]])

:&lt;math&gt; \frac{1}{\pi} = 12 \sum^\infty_{k=0} \frac{(-1)^k (6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 640320^{3k + 3/2}} &lt;/math&gt; (formule due à [[David et Gregory Chudnovsky]])

==Retenir π==

Un moyen [[mnémotechnique]] populaire (mais peu pratique) est le poème du français [[Maurice Decerf]] :

:''Que j'aime à faire apprendre un nombre utile aux sages !''
:''Immortel Archimède, artiste, ingénieur,''
:''Qui de ton jugement peut priser la valeur ?''
:''Pour moi ton problème eut de pareils avantages.''
:''Jadis, mystérieux, un problème bloquait''
:''Tout l'admirable procédé, l'œuvre grandiose''
:''Que Pythagore découvrit aux anciens Grecs.''
:''Ô quadrature ! Vieux tourment du philosophe''
:''Insoluble rondeur, trop longtemps vous avez''
:''Défié Pythagore et ses imitateurs.''
:''Comment intégrer l'espace plan circulaire ?''
:''Former un triangle auquel il équivaudra ?''
:''Nouvelle invention : Archimède inscrira''
:''Dedans un hexagone ; appréciera son aire''
:''Fonction du rayon. Pas trop ne s'y tiendra :''
:''Dédoublera chaque élément antérieur ;''
:''Toujours de l'orbe calculée approchera ;''
:''Définira limite ; enfin, l'arc, le limiteur''
:''De cet inquiétant cercle, ennemi trop rebelle''
:''Professeur, enseignez son problème avec zèle''

Le nombre de lettres de chaque mot correspond à une décimale, sauf pour le chiffre &quot;0&quot; dont le codage correspond à un mot de 10 lettres.

En [[2005]], un japonais de 59 ans, [[Akira Haraguchi]], a réussi à aligner par cœur {{formatnum:83431}} décimales de π en 13 heures. Il réitéra son record un an plus tard ([[2006]]) en mémorisant et récitant publiquement {{formatnum:100000}} décimales pendant 16 heures. Cet exploit a été homologué par le [[Livre Guinness des records]].

== Questions ouvertes ==

Une question ouverte importante est de savoir si π est un [[nombre normal]], c'est-à-dire si n'importe quelle succession de n chiffres apparaît dans la valeur décimale de π avec la même probabilité qu'une autre succession de n chiffres, comme on s'y attendrait pour une suite infinie et complètement aléatoire de chiffres. Cela devrait en vérité être vérifié dans n'importe quelle [[Base (arithmétique)|base]] et non seulement en [[Système décimal|base 10]]. Bailey et Crandall ont montré en [[2000]] que l'existence de la [[formule BBP|formule Bailey-Borwein-Plouffe]] ci-dessus et de formules similaires entraîne la normalité en [[Système binaire|base 2]] de π.

Dans le même esprit, on ne sait pas si π est un [[nombre univers]], c'est-à-dire un nombre dont on peut retrouver n'importe quelle succession de chiffres de longueur finie peu importe la probabilité d'apparition de celle-ci&lt;ref&gt;[http://www.bibmath.net/dico/index.php3?action=affiche&amp;quoi=./n/nbunivers.html DicoMaths : Nombre univers&lt;!-- Titre généré automatiquement --&gt;]&lt;/ref&gt;.

On ne sait même pas quels sont les chiffres du développement décimal dont le nombre d'apparitions est infini{{référence nécessaire}}.

==Voir aussi ==
{{Nombre}}
{{Commons|Category:Pi|Pi}}
=== Articles connexes ===
* [[Journée de π]]
* [[La bibliothèque de Babel]]
* [[PiHex]]

=== Livres ===
* [[Jean-Paul Delahaye]], ''Le fascinant nombre π'', Éditions Belin, Pour la Science  - ISBN 2-9029-1825-9
* [[Pierre Eymard]], [[Jean-Pierre Lafon]], ''Autour du nombre Pi'', Éditions Hermann, Paris, 1999 - ISBN 2705614435
* Jörg ARNDT &amp; Christoph HAENEL : ''À la poursuite de π'', Éditions Vuibert, 2006 - ISBN 2-7117-7170-9

=== Liens externes ===
* {{fr}}[http://pi.on.ma/ Plus de 500 décimales !]
* {{en}}[http://www.angio.net/pi/piquery Site permettant une recherche de chiffres dans les 200 000 000 premières décimales]
* {{en}}[http://mathworld.wolfram.com/PiFormulas.html le site Wolfram Mathematics] compile de nombreuses formules pour π

==Notes et références==
&lt;references /&gt; 

[[Catégorie:Nombre transcendant|Pi]]
[[Catégorie:Constante mathématique|Pi]]
[[Catégorie:Histoire des mathématiques|Pi]]
[[Catégorie:Grandeur sans dimension|Pi]]
[[Catégorie:Pi|*]]
{{portail mathématiques}}

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{{lien BA|es}}

{{Lien AdQ|nl}}

{{Lien AdQ|eo}}

[[af:Pi]]
[[als:Pi (Mathematik)]]
[[an:Numero π]]
[[ar:باي (رياضيات)]]
[[ast:Pi]]
[[bat-smg:Pi]]
[[be:Пі]]
[[be-x-old:Пі]]
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[[ca:Nombre π]]
[[cs:Číslo pí]]
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[[sv:Pi]]
[[sw:Pi]]
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[[zh-yue:圓周率]]</text>
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