Polyèdre 17710 29966520 2008-05-25T07:51:46Z Theon 10024 /* Bibliographie */ ordre chrono inverse [[Image:POV-Ray-Dodecahedron.svg|right|thumb|169px|Un dodécaèdre]] Un '''polyèdre''' est une forme [[Géométrie|géométrique]] à trois [[dimension]]s ayant des faces planes qui se rencontrent le long d'[[Arête (géométrie)|arêtes]] droites. Le mot '''polyèdre''' provient du grec classique πολυεδρον, à partir de ''poly-'', racine de πολυς, "beaucoup" + ''-edron'', forme de εδρον, "base", "siège" ou "face". == Historique == Les polyèdres ont été étudiés formellement par les [[Grèce antique|anciens Grecs]], et continuent de nos jours à fasciner les étudiants, les mathématiciens et les artistes. La définition ci-dessus peut sembler suffisamment claire pour la plupart d'entre nous, mais pas pour un [[mathématicien]]. Dans une remarque souvent citée mais rarement observée, [[Branko Gr&uuml;nbaum|Gr&uuml;nbaum]] (1994) nota que : :« Le Péché Originel dans la théorie des polyèdres remonte à [[Euclide]], puis à travers [[Kepler]], [[Louis Poinsot|Poinsot]], [[Cauchy]] et beaucoup d'autres... [en cela] qu'à chaque étape ... les auteurs ont échoué a définir ce que sont les 'polyèdres' ... » Et depuis ce jour, il n'existe pas de définition universellement agréée sur ce qui fait que quelque chose est un ''polyèdre''. Nous pouvons au moins dire qu'un polyèdre est construit à partir de différentes sortes d'éléments ou d'entités, chacun associé avec un nombre différent de dimensions : * 3 dimensions : le '''corps''' est limité par les faces, et correspond habituellement au volume compris à l'intérieur. * 2 dimensions : une '''face''' est limité par un circuit d'arête, et est habituellement une région plane appelée un [[polygone]]. Les faces mises ensemble forment la '''surface''' polyédrique. * 1 dimension : une '''arête''' joint un sommet à un autre et une face à une autre, et est habituellement une droite d'une certaine sorte. Les arêtes mises ensemble forment le '''squelette''' polyédrique. * 0 dimension : un '''[[sommet (géométrie)|sommet]]''' est un point de coin. * -1 dimension : la '''nullité''' est une sorte de non-entité requise par les théories [[#Polyèdres abstraits|abstraites]]. Plus généralement en [[mathématiques]] et dans d'autres disciplines, le terme ''''''polyèdre'''''' est utilisé pour faire référence à une variété de constructions reliées, certaines géométriques et d'autres purement algébriques ou abstraites. Un polyèdre est un [[polytope]] à 3 dimensions. Le polytope est une généralisation du [[polygone]] et du polyèdre, et possède un nombre quelconque de dimensions. == Caractéristiques == === Nomenclature === Les polyèdres sont souvent nommés selon le nombre de faces. La nomenclature est basée de nouveau sur le grec classique, par exemple le [[tétraèdre]] (4), [[pentaèdre]] (5), [[hexaèdre]] (6), [[heptaèdre]] (7), [[triacontaèdre rhombique|triacontaèdre]] (30) et ainsi de suite. La page [[polygone]] contient une liste des préfixes grecs utilisés pour nommer les polygones, les polyèdres et les polytopes. Il suffit évidemment de remplacer -gone par -èdre. === Arêtes === Les arêtes ont deux caractéristiques importantes (à moins que le polyèdre soit [[#Les polyèdres complexes|complexe]]) : * Une arête joint simplement deux sommets. * Une arête joint simplement deux faces. Ces deux caractéristiques sont [[#Dualité|duales]]. === Caractéristique d'Euler === Soit un polyèdre '''convexe''', on note : * <math> f </math> &nbsp; le nombre de faces de celui-ci, * <math> a </math> &nbsp; le nombre d'arêtes de celui-ci, * <math> s </math> &nbsp; le nombre de sommets de celui-ci, On peut démontrer qu'on a toujours la '''relation d'[[Leonhard Euler|Euler]]''' : &nbsp; <math> f - a + s = 2 \,</math> pour un polyèdre convexe. Ce nombre est noté <math>\chi\,</math> {{Article détaillé|Théorème de Descartes-Euler}} === Dualité === [[Image:Dual Cube-Octahedron.svg|75px]] Pour chaque polyèdre, il existe un [[Dual d'un polyèdre|polyèdre dual]] ayant des faces à la place des sommets originaux et vice versa. Dans la plupart des cas, le dual peut être obtenu par le processus de réciprocité sphérique. Le dual d'un polyèdre, s'obtient en reliant les centres des faces adjacentes. == Polyèdres traditionnels == [[Image:rhombicosidodecahedron.jpg|right|thumb|169px|Un petit rhombicosidodécaèdre]] Un '''polyèdre''' est traditionnellement une forme tridimensionnelle qui se compose d'un nombre fini de [[face (géométrie)|faces]] [[polygone|polygonales]] qui sont des parties de [[plan (mathématiques)|plans]]; les faces se rencontrent par paires le long des ''[[Arête (géométrie)|arêtes]]'' qui sont des segments de [[Droite (mathématiques)|droite]], et les arêtes se rencontrent aux points nommés ''[[sommet (géométrie)|sommet]]s''. Les [[cube]]s, les [[prisme (solide)|prismes]] et les [[pyramide]]s sont des exemples de polyèdres. Le polyèdre entoure un volume limité dans l'espace à trois dimensions; quelquefois ce volume intérieur est considéré être une partie du polyèdre, quelquefois, seule la surface est considérée. Les polyèdres traditionnels incluent les cinq polyèdres convexes réguliers que l'on nomme les '''[[solide de Platon|solides de Platon]]''' : le [[tétraèdre]] (4 faces), le [[cube]] (ou hexaèdre) (6 faces), l'[[octaèdre]] (8 faces), le [[dodécaèdre]] (12 faces) et l'[[icosaèdre]] (20 faces). Les autres polyèdres traditionnels sont les quatre polyèdres non-convexes réguliers (les '''[[solide de Kepler-Poinsot|solides de Kepler-Poinsot]]'''), les treize '''[[solide d'Archimède|solides d'Archimède]]''' convexes et les 53 [[polyèdre uniforme|polyèdres uniformes]] restants. === Plus petit polyèdre === Un polyèdre possède au moins 4 faces, 4 sommets et 6 arêtes. Le plus petit polyèdre est le tétraèdre. === Convexité, concavité === Un polyèdre est dit être '''convexe''' si sa frontière (incluant ses faces et ses arêtes) ne se coupe pas elle-même et si le segment joignant deux points quelconques du polyèdre fait partie de celui-ci ou de son intérieur. Autrement dit, un polyèdre est convexe si toutes ses diagonales sont entièrement contenues dans son intérieur. Il est possible de donner une définition [[barycentre|barycentrique]] d'un tel polyèdre : Soit <math>A_1</math>, <math>A_2</math>, <math>\cdots</math>, <math>A_n</math>, <math>n</math> points non [[coplanaire]]s ; le polyèdre convexe <math>A_1A_2{\cdots}A_n</math> est l'ensemble des points M barycentres de : <math>A_1</math>, <math>A_2</math>, <math>\cdots</math>, <math>A_n</math> affectés de coefficients <math>\alpha_1</math>, <math>\alpha_2</math>, <math>\cdots</math>, <math>\alpha_n</math> où chaque <math>\alpha_i</math> est positif. === Les polyèdres symétriques === La plupart des polyèdres étudiés sont fortement [[Symétrie|symétriques]]. Il existe diverses classes de ces polyèdres : * '''[[Sommet uniforme]]''' : si tous les sommets sont les mêmes, au sens où pour deux sommets quelconques, il existe une [[groupe de symétrie|symétrie]] du polyèdre appliquant le premier [[isométrie|isométriquement]] sur le deuxième. * '''[[Arête uniforme]]''' : si toutes les arêtes sont les mêmes, au sens où pour deux arêtes quelconques, il existe une symétrie du polyèdre appliquant le premier isométriquement sur le deuxième. * '''[[Face uniforme]]''' : si toutes les faces sont les mêmes, au sens où pour deux faces quelconques, il existe une symétrie du polyèdre appliquant le premier isométriquement sur le deuxième. * '''[[Polyèdre quasi-régulier|Quasi-régulier]]''' : si le polyèdre est d'arête uniforme mais pas soit de face uniforme ou de sommet uniforme. * '''[[Polyèdre semi régulier|Semi-régulier]]''' : si le polyèdre est de sommet uniforme mais pas de face uniforme et chaque face est un polygone régulier. (c'est une des nombreuses définitions du terme, dépendant de l'auteur, qui chevauchent la catégorie quasi-régulière). Un polyèdre est semi-régulier si ses faces sont constituées de plusieurs sortes de polygones réguliers, et que tous ses sommets sont identiques. Ainsi sont par exemple les [[solide d'Archimède|solides d'Archimède]], les prismes et les antiprismes réguliers. La terminologie ne paraît pas tout à fait arrêtée. On parle parfois de ''solides semi-réguliers de la première espèce'' pour désigner ceux de ces solides qui sont '''convexes''', et de ''solides uniformes'' pour le cas général. Les [[solide de Catalan|polyèdres de Catalan]] ne sont pas semi-réguliers, mais ont des faces identiques et des sommets réguliers. On dit parfois de tels polyèdres qu'ils sont ''semi-réguliers de la seconde espèce''. * '''[[Polyèdre régulier|Régulier]]''' : si le polyèdre est de sommet uniforme, d'arête uniforme et de face uniforme. (l'uniformité des sommets et l'uniformité des arêtes combinées implique que les faces sont régulières). Partons d'un sommet et prenons les points situés à une distance donnée sur chacune des arêtes. Relions ces points, nous obtenons le [[figure de sommet|polygone du sommet]]. Si celui-ci est régulier on dit que le sommet est régulier. Un polyèdre est régulier s'il est constitué de faces toutes identiques et régulières, et que tous ses sommets sont identiques. Ils sont au nombre de neuf, classiquement répartis en deux familles : * les cinq solides de Platon : [[tétraèdre]], [[cube]], [[octaèdre]], [[dodécaèdre]] et [[icosaèdre]] réguliers. [[Platon]] considérait ces solides comme l'image de la perfection. Les mathématiques modernes rattachent ces exemples à la notion de [[Groupe (mathématiques)|groupe]]. * les quatre polyèdres de Kepler-Poinsot, qui ne sont pas convexes. {{Article détaillé|Polyèdre régulier}} * '''[[Polyèdre uniforme|Uniforme]]''' : si le polyèdre est de sommet uniforme et chaque face est un polygone régulier, i.e. il est régulier ou semi-régulier. On appelle solide uniforme un solide dont toutes les faces sont régulières et tous les sommets identiques. Ainsi sont donc tous les solides réguliers et semi-réguliers précédents. Ils sont en tout 75, auxquels il faut ajouter les deux familles infinies des [[prisme (solide)|prismes]] et des [[antiprisme]]s. Bien sûr, il est facile de tordre de tels polyèdres, de telle façon qu'ils ne sont plus symétriques. Mais, lorsqu'un nom de polyèdre est donné, tel que l'[[icosidodécaèdre]], la géométrie la plus symétrique est toujours impliquée, sauf indication contraire. Les [[groupe de symétrie|groupes de symétrie]] polyédriques sont tous [[Groupes de points en trois dimensions#Les sept groupes de points restants|groupes de points]] et incluent : * '''T''' - '''[[symétrie tétraèdrique]] chirale''' ; le groupe de rotation pour un [[tétraèdre]] régulier; ordre 12. * '''T<sub>d</sub>''' - '''[[symétrie tétraèdrique]] complète'''; le groupe de symétrie pour un [[tétraèdre]] régulier; ordre 24. * '''T<sub>h</sub>''' - '''[[symétrie tétraèdrique|symétrie pyritoèdrique]]''' ; ordre 24. La symétrie d'un pyritoèdre [http://mathworld.wolfram.com/Pyritohedron.html]. * '''O''' - '''[[symétrie octaèdrique]] chirale''' ; le groupe de rotation du [[cube]] et de l'[[octaèdre]]; ordre 24. * '''O<sub>h</sub>''' - '''[[symétrie octaèdrique]] complète''' ; le groupe de symétrie du [[cube]] et de l'[[octaèdre]]; ordre 48. * '''I''' - '''[[symétrie icosaèdrique]] chirale''' ; le groupe de rotation de l'[[icosaèdre]] et du [[dodécaèdre]]; ordre 60. * '''I<sub>h</sub>''' - '''[[symétrie icosaèdrique]] complète''' ; le groupe de symétrie de l'[[icosaèdre]] et du [[dodécaèdre]]; ordre 120. * '''C<sub>nv</sub>''' - [[symétrie cyclique|symétrie pyramidale à ''n'' plis]] * '''D<sub>nh</sub>''' - [[symétrie dièdrique|symétrie prismatique à ''n'' plis]] * '''D<sub>nv</sub>''' - [[symétrie dièdrique|symétrie antiprismatique à ''n'' plis]] Les polyèdres à symétrie [[Chiralité (mathématiques)|chirale]] n'ont pas de [[symétrie axiale]] et par conséquent ont deux formes [[Chiralité (mathématiques)|énantiomorphes]] qui sont les réflexions l'un de l'autre. Les polyèdres '''adoucis''' ont cette propriété. ==== Polyèdres réguliers ==== Un [[polyèdre régulier]] possède des faces régulières et des sommets réguliers. Le dual d'un polyèdre régulier est aussi régulier. * Les '''polyèdres réguliers convexes''' sont aussi appelés les '''solides de Platon'''. :{{Article détaillé|solide de Platon}} :{| class="wikitable" |[[Image:Tetrahedron.svg|50px]] |[[Image:Hexahedron.svg|50px]] |[[Image:Octahedron.svg|50px]] |[[Image:POV-Ray-Dodecahedron.svg|50px]] |[[Image:Icosahedron.svg|50px]] |} * Les '''polyèdres réguliers étoilés''' sont aussi appelés les '''polyèdres de Kepler-Poinsot'''. :{{Article détaillé|solide de Kepler-Poinsot}} :[[Image:Kepler-Poinsot solids.svg|350px]] ==== Polyèdres quasi-réguliers et duaux ==== '''Les [[polyèdre quasi-régulier|polyèdres quasi-réguliers]]''' sont à faces régulières, de [[sommet uniforme]] et d'[[arête uniforme]]. Il en existe deux convexes : {| class="wikitable" |[[Image:cuboctahedron.jpg|50px]] |[[Image:icosidodecahedron.jpg|50px]] |} Les '''polyèdres duaux quasi-réguliers''' sont d''''[[arête uniforme]] et de [[face uniforme]]'''. Il en existe deux convexes, en correspondance avec les deux précédents : {| class="wikitable" |[[Image:rhombicdodecahedron.jpg|50px]] |[[Image:rhombictriacontahedron.jpg|50px]] |} ==== Les polyèdres semi-réguliers et leurs duaux ==== Le terme [[polyèdre semi-régulier|'''semi-régulier''']] est diversement défini. Une définition consiste en "des polyèdres de [[sommet uniforme]] avec deux sortes ou plus de faces polygonales". Ils sont effectivement les polyèdres uniformes qui ne sont ni réguliers, ni quasi-réguliers. Les polyèdres ''convexes'' et leurs duaux incluent les ensembles des : {| class="wikitable" ! !Uniforme convexe !Dual convexe !Uniforme étoilé !Dual étoilé |- ![[Polyèdre régulier|Régulier]] |colspan="2"|[[Solide de Platon|Solides de Platon]] |colspan="2"|[[Solide de Kepler-Poinsot|Solides de Kepler-Poinsot]] |- ![[Polyèdre quasi-régulier|Quasi-régulier]] |rowspan="2"|[[Solide d'Archimède|Solides d'Archimède]] |rowspan="2"|[[Solide de Catalan|Solides de Catalan]] | (pas de nom spécial) | (pas de nom spécial) |- !rowspan="3"|[[Polyèdre semi-régulier|Semi-régulier]] | (pas de nom spécial) | (pas de nom spécial) |- |[[Prisme (solide)|Prismes]] |[[Bipyramide|Diamants]] |[[Prisme (solide)|Prismes étoilés]] |[[Bipyramide|Diamants étoilés]] |- |[[Antiprisme]]s |[[Trapèzoèdre]]s |[[Antiprisme]]s étoilés |[[Trapèzoèdre]]s étoilés |} Il existe aussi beaucoup de [[polyèdre uniforme|polyèdres uniformes]] '''non-convexes''', incluant des exemples de divers sortes de prismes. ==== Polyèdres nobles ==== Un polyèdre '''[[polyèdre noble|noble]]''' est à la fois [[isoèdrique]] (faces égales) et [[isogonal]] (de coins égaux). En plus des polyèdres réguliers, il existe beaucoup d'autres exemples. Le [[Polyèdre dual|dual]] d'un polyèdre noble est aussi un polyèdre noble. === Autres polyèdres à faces régulières === ==== Faces égales régulières ==== Quelques familles de polyèdres, où chaque face est un polygone de même sorte : * Les '''[[#Deltaèdres|deltaèdres]]''' ont des [[triangles équilatéraux]] pour faces. * En ce qui concerne les polyèdres dont les faces sont toutes des carrés : il n'existe que le cube, si les faces [[coplanaire]]s ne sont pas permises, même si elles sont déconnectées. Autrement, il existe aussi le résultat du collage de six cubes sur les faces d'un seul, tous les sept de la même taille; il possède 30 faces carrées (comptant pour des faces déconnectées dans le même plan comme séparé). Ceci peut être étendu à une, deux ou trois directions : nous pouvons considérer l'union d'un grand nombre arbitraire de copies de ces structures, obtenues par translations de (exprimé en tailles de cubes) (2,0,0), (0,2,0), et/ou (0,0,2), par conséquent avec chaque paire adjacente ayant un cube en commun. Le résultat peut être un ensemble quelconque de cubes connectés avec les positions (''a'',''b'',''c''), avec les entiers ''a'',''b'',''c'' ou un au plus est pair. * Il n'existe pas de nom particulier pour les polyèdres qui ont toutes les faces en forme de pentagones équilatéraux ou en pentagrammes. Il existe une infinité d'entre-eux, mais seulement un est convexe : le dodécaèdre. Le reste est assemblé par (collage) combinaisons de polyèdres réguliers décrit précédemment : le dodécaèdre, le petit dodécaèdre étoilé, le grand dodécaèdre étoilé et le grand icosaèdre. Il n'existe pas de polyèdre dont les faces sont toutes identiques et qui sont des polygones réguliers avec six cotés ou plus car le point de rencontre de trois [[hexagone]]s réguliers définit un plan. (voir [[polyèdre oblique infini]] pour les exceptions). ===== Deltaèdres ===== Un '''[[deltaèdre]]''' est un polyèdre dont les faces sont toutes des triangles équilatéraux. Il en existe une infinité, mais seuls huit sont convexes : * 3 polyèdres réguliers convexes (3 des solides de Platon) ** [[Tétraèdre]] ** [[Octaèdre]] ** [[Icosaèdre]] * 5 polyèdre non-uniformes convexes (5 des solides de Johnson) ** [[Diamant triangulaire]] ** [[Diamant pentagonal]] ** [[Disphénoïde adouci]] ** [[Prisme triangulaire triaugmenté]] ** [[Diamant carré gyroallongé]] ==== Les solides de Johnson ==== {{Article détaillé|Solide de Johnson}} [[Norman Johnson]] a cherché les polyèdres non-uniformes ayant des faces régulières. En [[1966]], il publia une liste de 92 solides convexes, maintenant connue comme les '''[[solide de Johnson|solides de Johnson]]''', et leur donna leurs noms et leurs nombres. Il ne prouva pas qu'ils n'étaient que 92, mais il conjectura qu'ils n'y en avait pas d'autres. [[Victor Zalgaller]] en [[1969]] démontra que la liste de Johnson était complète. === Les autres familles de polyèdres === ==== Les pyramides ==== {{Article détaillé|Pyramide}} * Les pyramides sont auto-duales. ==== Les stellations et les facettages ==== {{Article détaillé|Stellation}} {| class="wikitable" |[[Image:First stellation of octahedron.png|50px]] |[[Image:First stellation of dodecahedron.png|50px]] |[[Image:Second stellation of dodecahedron.png|50px]] |[[Image:Third stellation of dodecahedron.png|50px]] |[[Image:Sixteenth stellation of icosahedron.png|50px]] |[[Image:First stellation of icosahedron.png|50px]] |[[Image:Seventeenth stellation of icosahedron.png|50px]] |} La '''stellation''' d'un polyèdre est le processus d'expansion des faces (dans leurs plans), c’est-à-dire qu'elles se rencontrent pour former un nouveau polyèdre. C'est la réciproque exacte du '''[[facettage]]''' qui est le processus d'enlèvement de parties d'un polyèdre sans créer de nouveau sommets quelconques. Le facettage permet d'obtenir, entre autres, de nombreux nouveaux solides semi-réguliers concaves. On construit de nouvelles faces régulières en regroupant les arêtes d'un polyèdre semi-régulier. Le plus simple est un héptaèdre construit à partir de l'octaèdre, constitué de trois faces carrées et de quatre faces triangulaires. ==== Troncatures ==== C'est l'opération qui consiste à raboter un sommet ou une arête. Elle conserve les symétries du solide. ===== Troncature des sommets ===== Cette opération permet d'obtenir sept des solides d'Archimède à partir des solides de Platon. On remarque en effet qu'en rabotant de plus en plus les arêtes d'un cube on obtient successivement le [[cube tronqué]], le [[cuboctaèdre]], l'[[octaèdre tronqué]] et enfin l'[[octaèdre]]. On peut aussi suivre cette série dans l'autre sens. En partant du [[dodécaèdre]] on obtient le [[dodécaèdre tronqué]], l'[[icosidodécaèdre]], l'[[icosaèdre tronqué]] (qui donne sa forme au ballon de football), puis l'[[octaèdre]]. Le [[tétraèdre]] donne le [[tétraèdre tronqué]]. On peut appliquer cette opération au grand dodécaèdre ou au grand icosaèdre et obtenir des solides uniformes concaves. ===== Troncature des arêtes ===== À partir d'un cube, cette opération donne successivement un [[cuboctaèdre]], puis un [[dodécaèdre rhombique]]. À partir d'un [(dodécaèdre]], on obtient l'[[icosidodécaèdre]] puis le [[triacontaèdre rhombique]]. ==== Les composés ==== {{Article détaillé|composé polyèdrique}} Les composés polyèdriques sont formés comme des composés de deux polyèdres et plus. Ces composés partagent souvent les mêmes sommets que les autres polyèdres et sont souvent formés par stellation. Certains sont listés dans la [[liste des modèles de polyèdre de Wenninger]]. ==== Les zonoèdres ==== Un '''[[zonoèdre]]''' est un polyèdre convexe où chaque face est un [[polygone]] avec une [[symétrie]] inverse ou, de manière équivalente, des [[rotation]]s à 180°. == Généralisations de polyèdres == Le mot « polyèdre » a été employé pour une variété d'objets ayant des propriétés structurelles similaires aux polyèdres traditionnels. === Les polyèdres complexes === Un [[polytope complexe|polyèdre complexe]] est un polyèdre qui est construit dans un espace à trois dimensions complexe. Cet espace possède six dimensions : trois dimensions réelles correspondant à l'espace ordinaire, avec une dimension imaginaire accompagnant chacune. Voir par exemple Coxeter (1974). === Les polyèdres courbés === Certains champs d'étude permettent aux polyèdres d'avoir des faces et des arêtes courbées. ==== Les polyèdres sphériques ==== La surface d'une sphère peut être divisée par des segments en des régions limitées, pour former des polyèdres sphériques. Une grande partie de la théorie des polyèdres symétriques est dérivée de manière plus pratique de cette manière. ==== Les polyèdres courbés remplissant l'espace ==== Les deux types importants sont : * Les bulles dans les mousses et l'écume. * Les formes remplissant l'espace utilisées dans l'[[architecture]]. Voir par exemple Pearce (1978). === Les polyèdres généraux === Plus récemment, les [[mathématiques]] ont défini un '''polyèdre''' comme un ensemble dans un espace [[géométrie affine|affine]] [[nombre réel|réel]] (ou [[géométrie euclidienne|euclidien]]) de dimensions quelconques ''n'' qui possède des cotés plats. Il peut être défini commen l'union d'un nombre fini de polyèdres convexes, où un ''polyèdre convexe'' est un ensemble quelconque qui est l'intersection d'un nombre fini de [[demi-espace]]s. Il peut être borné ou non-borné. Dans ce sens, un [[polytope]] est un polyèdre borné. Tous les polyèdres traditionnels sont des polyèdres généraux, et en plus, il existe des exemples tels que : * Un quadrant dans le plan. Par exemple, la région du plan cartésien constitué de tous les points au-dessus de l'axe des abscisses et à droite de l'axe des ordonnées : { ( ''x'', ''y'' ) : x ≥ 0, y ≥ 0 }. Ses cotés sont les deux axes positifs. * Un octant dans l'espace à trois dimensions euclidien, { ( ''x'', ''y'', ''z'' ) : x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 }. * Un prisme d'extension infinie. Par exemple, un prisme carré doublement infini dans l'espace tridimensionnel, constitué d'un carré dans le plan ''xy'' balayé le long de l'axe ''z'' : { ( ''x'', ''y'', ''z'' ) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 }. * Chaque cellule dans un [[diagramme de Voronoï|pavage de Voronoï]] est un polyèdre convexe. Dans le pavage de Voronoï d'un ensemble ''S'', la cellule ''A'' correspondante à un point ''c''∈''S'' est borné (par conséquent un polyèdre traditionnel) lorsque ''c'' est placé dans l'[[intérieur (topologie)|intérieur]] de l'[[enveloppe convexe]] de ''S'', et autrement (lorsque ''c'' est placé sur la [[frontière (topologie)|frontière]] de l'enveloppe convexe de ''S'') ''A'' est non-borné. == Notes et références == <references/> ==Bibliographie== * Guy Le Berre, ''L'évasion des polyèdres'', Mathématières Quimper,(2006), ISBN 2952635501 * Michèle Minguin-Debray, ''L'atelier des polyèdres'', ACL-les Éd. du Kangourou (2001), ISBN 287694085X * Louis Joly, ''Les polyèdres réguliers, semi-réguliers et composés'', Blanchard (1992), ISBN 285367049X * Les dossiers du PLOT, ''Polyèdres dans l'espace'', APMEP (mars 1987) * Magnus J. Wenninger, ''Dual Models'', Cambridge University Press (1983), ISBN 0-521-24524-9 {{CommonsCat|Polyhedra|les polyèdres}} ==Liens externes== * A. Javary, ''Traité de géométrie descriptive'', 1881 (sur [[Gallica]]) : ''[http://gallica.bnf.fr/Catalogue/noticesInd/FRBNF37251164.htm La ligne droite, le plan, les polyèdres]'' * [http://dogfeathers.com/java/hyperstar.html Applet Java de projection de polytopes 4D dans l'espace 3D (en anglais)] * [http://www.ac-noumea.nc/maths/amc/polyhedr/index.htm Pages très complètes, en français, avec des applets LiveGraphics3D] * [http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vp.html L'encyclopédie des polyèdres, en anglais] * [http://xavier.hubaut.info/coursmath/3di/polyed.htm Avec des applets Java LiveGraphics3D] * [http://membres.lycos.fr/strom/kepler-poinsot-info.htm sur les solides de Kepler-Poinsot] * [http://www.mathcurve.com/polyedres/polyedres.shtml Polygones, polyèdres et polytopes] (page du site Mathcurve.com) * [http://www.polyedergarten.de/f_index.htm Le jardin des polyèdres] * [http://www.alain.be/polyedres.html Tous les polyèdres... ou presque] * [http://mathworld.wolfram.com/GreatDodecahedron.html Dodécaèdre, math et...] {{Solides}} {{Portail|géométrie|mathématiques}} [[Catégorie:Polyèdre| ]] [[Catégorie:Surface]] {{Lien AdQ|it}} [[bg:Многостен]] [[ca:Políedre]] [[cs:Mnohostěn]] [[da:Polyeder]] [[de:Polyeder]] [[en:Polyhedron]] [[eo:Pluredro]] [[es:Poliedro]] [[et:Hulktahukas]] [[fi:Monitahokas]] [[he:פאון]] [[hr:Poliedar]] [[hu:Poliéder]] [[io:Poliedro]] [[it:Poliedro]] [[ja:多面体]] [[ko:다면체]] [[lv:Daudzskaldnis]] [[nl:Veelvlak]] [[pl:Wielościan]] [[pt:Poliedro]] [[qu:Achka t'asla]] [[ro:Poliedru]] [[ru:Многогранник]] [[sl:Polieder]] [[sr:Полиедар]] [[sv:Polyeder]] [[th:ทรงหลายหน้า]] [[zh:多面体]]