Polyèdre oblique infini
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2008-04-03T17:35:41Z
Badmood
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{{ébauche|géométrie}}
En [[géométrie]], les '''polyèdres obliques infinis''' sont une définition étendue des [[polyèdre|polyèdres]], créés par des faces [[polygone régulier|polygonales régulières]], et des [[figure des sommet|figures de sommet]] non-planaires.
Beaucoup sont directement reliés aux [[nid d'abeille convexe uniforme|nids d'abeille convexes uniformes]], étant la surface [[polygone|polygonale]] d'un [[nid d'abeille (géométrie)|nid d'abeille]] avec certaines [[Cellule (géométrie)|cellules]] enlevées. En tant que ''solides'', ils sont appelés '''nids d'abeille partiels''' et aussi '''éponges'''.
Ces polyèdres sont aussi appelés '''pavages hyperboliques''' parce qu'ils peuvent être regardés comme reliés aux pavages de l'[[espace hyperbolique]] qui ont aussi un [[déflexion (géométrie)|angle de déflexion]] négatif.
== Polyèdres obliques réguliers ==
Selon [[Coxeter]], en [[1926]] [[John Flinders Petrie]] a généralisé le concept de [[polygone oblique|polygones obliques]] réguliers (polygones non-planaires) aux polyèdres obliques réguliers.
Il existe 3 polyèdres obliques '''réguliers''' :
# {4,6|4} : 6 [[carré]]s sur un sommet (relié au [[nid d'abeille cubique]], construit avec des cellules cubiques, en enlevant deux faces opposées sur chacune et en reliant tous les ensembles de six autour d'un cube sans face).
# {6,4|4} : 4 [[hexagone]]s sur un sommet (relié au [[nid d'abeille cubique bitronqué]], construit avec des [[octaèdre tronqué|octaèdres tronqués]] avec leurs faces carrées enlevées et reliant les paires de trous ensemble).
# {6,6|3} : 6 hexagones sur un sommet (relié au [[nid d'abeille cubique quart]], construit avec des cellules [[Tétraèdre tronqué|tétraèdrique tronquées]], en enlevant les faces triangulaires, et en reliant les ensembles de quatre autour d'un [[tétraèdre]] sans face).
Leurs [[figure de sommet|figures de sommet]] sont des [[polygone oblique|polygones obliques]], zig-zaggant entre deux plans.
Voici quelques représentations partielles, des vues verticales projetées de leurs figures de sommet obliques et des nids d'abeille uniformes correspondant partiellement.
{| class="wikitable"
|align=center|[[Image:Six-square skew polyhedron.png|210px]]<BR>{4,6|4}
|align=center|[[Image:Four-hexagon skew polyhedron.png|210px]]<BR>{6,4|4}
|align=center|[[Image:Six-hexagon skew polyhedron.png|210px]]<BR>{6,6|3}
|-
|align=center|[[Image:Six-square skew polyhedron-vf.png|210px]]<BR>4.4.4.4.4.4
|align=center|[[Image:Four-hexagon skew polyhedron-vf.png|210px]]<BR>6.6.6.6
|align=center|[[Image:Six-hexagon skew polyhedron-vf.png|210px]]<BR>6.6.6.6.6.6
|-
|align=center|[[Image:Partial cubic honeycomb.png|210px]]<BR>[[Nid d'abeille cubique]]
|align=center|[[Image:Bitruncated cubic honeycomb.png|210px]]<BR>[[Nid d'abeille cubique bitronqué|Cubique bitronqué]]
|align=center|[[Image:Bitruncated alternated cubic honeycomb.jpg|210px]]<BR>[[Nid d'abeille cubique alterné bitronqué|Cubique alterné bitronqué]]
|}
== Polyèdres obliques réguliers prismatiques ==
Il existe aussi deux formes ''prismatiques'' régulières, disqualifiées par [[Coxeter]] (parmi d'autres) de l'appellation ''régulière'' parce qu'elles ont des faces coplanaires adjacentes.
# 5 carrés sur un sommet (deux [[pavage carré|pavages carrés]] parallèles connectés par des trous [[cube|cubiques]]).
# 8 triangles sur un sommet (deux [[pavage triangulaire|pavages triangulaires]] parallèles connectés par des trous [[octaèdre|octaèdriques]]).
Au-delà de l'espace tridimensionnel euclidien, [[C. W. L. Garner]] a déterminé un ensemble de 32 polyèdres obliques réguliers dans un espace tridimensionnel hyperbolique, dérivé des [[Liste des polytopes réguliers#Formes hyperboliques infinies (4D)|4 nids d'abeilles hyperboliques réguliers]].
== Polyèdres obliques semi-réguliers ==
Il existe beaucoup d'autres polyèdres obliques [[polyèdre semi-régulier|semi-régulier]] (de [[sommet uniforme]]), découverts par [[A.F. Wells]] et [[J.R. Gott]] (il les ont appelés '''pseudopolyèdres''') dans les années 60.
{| width=640 class="wikitable"
| valign=top|[[Image:Skew polyhedron 4446a.png|200px]]<BR>Un polyèdre oblique prismatique semi-régulier avec une [[configuration de sommet]] 4.4.4.6.
| valign=top|[[Image:Skew polyhedron 4646.png|200px]]<BR>Un polyèdre oblique semi-régulier (partiel) avec une [[configuration de sommet]] 4.8.4.8. Relié au [[nid d'abeille cubique omnitronqué]].
| valign=top|[[Image:Skew polyhedron 34444.png|200px]]<BR>Un polyèdre oblique semi-régulier (partiel) avec une [[configuration de sommet]] 3.4.4.4.4. Relié au [[nid d'abeille cubique runcitronqué]].
|}
== Références ==
* [[Coxeter]], ''Regular Polytopes'', Third edition, (1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8
* [[Coxeter]], ''The Beauty of Geometry: Twelve Essays'', Dover Publications, 1999, ISBN 0486409198 (Chapter 5: Regular Skew Polyhedra in three and four dimensions and their topological analogues)
** Coxeter, H. S. M. ''Regular Skew Polyhedra in Three and Four Dimensions.'' Proc. London Math. Soc. 43, 33-62, 1937.
* Garner, C. W. L. ''Regular Skew Polyhedra in Hyperbolic Three-Space.'' Canad. J. Math. 19, 1179-1186, 1967.
== Liens externes ==
* [http://mathworld.wolfram.com/RegularSkewPolyhedron.html Weisstein, Eric W., Regular Skew Polyhedron at MathWorld].
* [http://members.aol.com/Polycell/glossary.html SkewOlshevsky, George, Skew polytope at Glossary for Hyperspace].
* [http://www.uwgb.edu/dutchs/symmetry/hyperbol.htm "Hyperbolic" Tessellations]
* [http://www.superliminal.com/geometry/infinite/infinite.htm Infinite Regular Polyhedra] [http://www.superliminal.com/geometry/ogeometry.htm]
* [http://Polyhedra.Doskey.com/PartialHoneycombs.html Infinite Repeating Polyhedra - Partial Honeycombs in 3-Space]
* [http://www.math.neu.edu/~schulte/symchapter.pdf 18 SYMMETRY OF POLYTOPES AND POLYHEDRA, Egon Schulte: 18.3 REGULAR SKEW POLYHEDRA]
{{solides}}
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[[Catégorie:Polyèdre]]
[[en:Infinite skew polyhedron]]
[[eo:Malfinia dekliva pluredro]]