Polynôme cyclotomique 550605 30743998 2008-06-17T22:18:23Z Dhatier 269771 ortho [[Image:Carl Friedrich Gauss.jpg|thumb|right|[[Carl Friedrich Gauss]]]] En [[mathématiques]] et plus particulièrement en [[algèbre]], on appelle '''polynôme cyclotomique''' (du grec κυκλας:cercle et τομη:découpe) tout [[polynôme]] [[polynôme minimal d'un nombre algébrique|minimal]] d'une [[racine de l'unité]] et à coefficients dans un corps premier. Un corps premier est un corps engendré par l'unité de la multiplication. Les polynômes ainsi obtenus sont aussi ceux qui apparaissent dans la décomposition des polynômes <math>X^n-1</math> en produit de facteurs [[Élément irréductible|irréductible]]s. Sur le corps des [[nombre rationnel|rationnels]] un polynôme cyclotomique possède des propriétés fortes, c'est un polynôme à coefficients [[Entier relatif|entier]]s, de degré égal à <math>\phi</math>(n) si la racine considérée est une racine primitive n-ième de l'unité, où φ désigne la fonction [[indicatrice d'Euler]]. Les racines du polynôme cyclotomique sont toutes les racines primitives n-ièmes de l'unité. Dans le contexte des corps de [[caractéristique d'un anneau|caractéristique]] finie, il est nécessaire de faire appel à la [[théorie de Galois]], ils apparaissent essentiels car tout polynôme irréductible est un polynôme cyclotomique (à l'exception du monôme unitaire de degré un). D'une manière générale, le [[corps de décomposition]] encore appelé [[extension cyclotomique]] associé est une [[extension abélienne]] dont le [[groupe de Galois]] est [[groupe cyclique|cyclique]]. L'analyse de ces polynômes permet la résolution de nombreux problèmes. Historiquement, la construction des [[polygone]]s réguliers [[construction à la règle et au compas|à la règle et au compas]] est celui qui a amené le développement du concept. Ils sont largement utilisés dans la théorie de Galois, pour la résolution d'[[équation algébrique|équations algébriques]] et la compréhension de la structure des extensions abéliennes. Ils sont aussi au cœur de la [[cryptographie]] pour la conception de [[code correcteur|codes correcteurs]]. ==Histoire== ===Naissance de la notion=== [[Image:Disqvisitiones-800.jpg|thumb|180px|left|Le traité d'analyse des polynômes cyclotomiques]] [[Carl Friedrich Gauss]] <small>([[1777 en science|1777]] - [[1855 en science|1855]])</small> utilise dans ses ''[[Disquisitiones arithmeticae]]'', parues en [[1801 en science|1801]], les polynômes cylotomiques. Il apporte une contribution majeure à un problème ouvert depuis l'Antiquité: celui de la [[construction à la règle et au compas]] de [[polygone]]s réguliers. Ces travaux servent de référence durant tout le siècle. Dans ce texte, Gauss détermine avec exactitude la liste des polygones constructibles, et donne une méthode effective pour leur construction jusqu'à 256 cotés. La fin de la problématique est traitée par [[Pierre-Laurent Wantzel]] <small>([[1814 en science|1814]] - [[1848 en science|1848]])</small> dans un article<ref>[[Pierre-Laurent Wantzel]], ''Recherches sur les moyens de reconnaître si un problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas'', [[1837 en science|1837]]</ref> désormais célèbre. Cette approche est novatrice et, à bien des égards, préfigure l'algèbre moderne: Un polynôme n'apparaît plus comme un objet à part entière mais comme un élément d'un ensemble structuré. Si la notion d'[[Anneau (mathématiques)|anneau]] des polynômes n'est pas encore formalisé, sa structure [[Anneau euclidien|euclidienne]] est découverte et représente l'outil de base de l'analyse de Gauss. La résolution effective de l'équation cyclotomique l'amène à considérer une structure finie: celle des [[permutation]]s des [[Racine (mathématiques)|racines]]. On les appelle maintenant [[période de Gauss]]. Là encore leurs propriétés algébriques permettent de trouver la solution. Cette approche préfigure l'utilisation de la [[théorie des groupes]] en algèbre et la [[théorie de Galois]]. De nouvelles structures sont mises à jour. La division euclidienne introduit la notion de ''reste'' et leur ensemble possède des propriétés algébriques fortes. Une telle structure est maintenant considérée comme un cas particulier de [[corps fini]] si le diviseur est un [[nombre premier]]. Gauss met en évidence de tels ensembles et utilise avant l'heure le ''transport'' de structure par [[morphisme]] entre deux anneaux pour montrer le caractère irréductible des polynômes cyclotomiques. Dans le même livre, il utilise ces mêmes structures pour résoudre un autre problème pressenti par [[Fermat]] <small>([[1601 en science|1601]] - [[1685 en science|1685]])</small> et formalisé par [[Leonhard Euler|Euler]] <small>([[1707 en science|1707]] - [[1783 en science|1783]])</small> celui de la [[loi de réciprocité quadratique]]. Les applications trouvées dès cette époque ne manquent pas. L'utilisation de la géométrie ne se limite pas à la construction à la règle et au compas. Le polynôme cyclotomique d'indice quatre permet la construction d'un nouvel ensemble de [[nombre algébrique|nombres algébriques]] celui des [[entier de Gauss|entiers de Gauss]]. Une branche mathématique naît: la [[théorie algébrique des nombres]], elle simplifie la résolution d'[[équation diophantienne|équations diophantiennes]] et permet d'en résoudre de nouvelles. ===Polynôme cyclotomique et équation algébrique=== [[Image:evariste galois.jpg|thumb|200px|left|[[Évariste Galois]]]] La recherche de solutions à l'[[équation polynômiale]] est un problème qui remonte aux premiers développements sur les polynômes par les mathématiciens de langue arabe. Si l'on cite généralement [[Al-Khawarizmi]] <small>([[783]] [[850]])</small> comme précurseur<ref>[[Al-Khawarizmi]], ''Abrégé du calcul par restauration et comparaison''</ref> avec la résolution de six équations canoniques puis [[Gerolamo Cardano]] <small>([[1501 en science|1501]] - [[1576 en science|1576]])</small> pour la résolution du cas de degré trois<ref>[[Gerolamo Cardano]], ''Ars Magna'', [[1545 en science|1545]].</ref> et [[Ludovico Ferrari]] <small>([[1522 en science|1522]] - [[1565 en science|1565]])</small> pour le quatrième degré, le cas général est resté longtemps mystérieux. [[Joseph-Louis Lagrange]] <small>([[1736 en science|1736]] - [[1813 en science|1813]])</small> comprend que la résolution de ce problème général est intimement liée aux propriétés des permutations des racines<ref>[[Joseph-Louis Lagrange]], ''Réflexions sur la résolution algébrique des équations'', [[1770 en science|1770]]</ref>. Le cas particulier des polynômes cyclotomiques l'illustre. Le groupe des ''bonnes'' permutations, aujourd'hui appelé [[groupe de Galois]], est non seulement [[commutatif]] mais de plus [[groupe cyclique|cyclique]]. Cette propriété, utilisée à travers le concept des [[Période de Gauss|périodes de Gauss]], permet une résolution effective pour ce cas particulier. Une analyse plus profonde par [[Paolo Ruffini]]<ref>[[Paolo Ruffini]], ''La théorie générale des équations dans laquelle il est démontré qu'il est impossible de donner les solutions générales des équations de degré strictement supérieur à 4'', [[1799 en science|1799]]</ref> <small>([[1765 en science|1765]] - [[1822 en science|1822]])</small>, [[Niels Henrik Abel]]<ref>[[Niels Henrik Abel]], ''Mémoire sur les équations algébriques, où l'on démontre l'impossibilité de la résolution de l'équation générale du cinquième degré'', 1824.</ref> <small>([[1802 en science|1802]] - [[1829 en science|1829]])</small> et surtout par [[Évariste Galois|Evariste Galois]]<ref>[[Évariste Galois]], ''Manuscrit de Galois'' dans Journal des mathématiques pures et appliquées, [[1846 en science|1846]]</ref> <small>([[1811 en science|1811]] - [[1832 en science|1832]])</small> montre que l'aspect commutatif du groupe est en fait une condition suffisante. Pour être précis, la condition indique que le groupe doit être décomposable en une suite de groupes emboîtés commutatifs. La question naturelle qui se pose alors est de déterminer les extensions du corps des rationnels dont le groupe de Galois est commutatif. Ces extensions sont appelées [[extension abélienne|extensions abéliennes]]. La structure de corps associée au polynôme cyclotomique, appelée extension cyclotomique, en est un exemple. Qu'elle soit unique signifie que toute équation algébrique résoluble par radicaux se ramène d'une manière ou d'une autre à un polynôme cyclotomique. La réponse est positive : toute extension abélienne du corps des rationnels est un sous-corps d'une extension cyclotomique. Ce résultat a demandé presque un demi-siècle d'effort pour pouvoir être démontré<ref>[[Heinrich Weber]], ''Lecture en algèbre'', [[1895 en science|1895]]</ref>. Les artisans principaux sont [[Leopold Kronecker]] <small>([[1823 en science|1823]] - [[1891 en science|1891]])</small> et [[Heinrich Weber]] <small>([[1842 en science|1842]] - [[1913 en science|1913]])</small>. Si l'analyse des extensions abéliennes finies se termine avec le XIXe siècle, elle laisse ouvert un large champ de questions, par exemple en arithmétique. Il apparaît alors nécessaire de généraliser la notion de corps cyclotomique sur les extensions infinies. Le sujet est ouvert<ref>[[David Hilbert]], ''La théorie des corps de nombres algébriques'', [[1897 en science|1897]].</ref> par [[David Hilbert]] <small>([[1862 en science|1862]] - [[1943 en science|1943]])</small>. Cet axe de recherche est appelé la [[théorie des corps de classe]]. Cette théorie est l'une des plus fructueuses au {{XXe siècle}}. On peut citer par exemple le théorème de réciprocité<ref>[[Emil Artin]], ''Beweis des allgemeinen Reziprozitätsgesetzes'', [[1927 en science|1927]]</ref> d'[[Emil Artin]] <small>([[1898 en science|1898]] - [[1962 en science|1962]])</small> qui résout le neuvième des [[problèmes de Hilbert]], ou plus récemment, deux lauréats de la [[médaille Fields]] pour leurs travaux sur des généralisations de la théorie : [[Vladimir Drinfeld]] en [[1990 en science|1990]] ou [[Laurent Lafforgue]] en [[2002 en science|2002]]. ===Corps fini=== Le développement de l'ébauche de la théorie des [[corps fini]]s initié par Gauss demande plus de temps. À la fin du [[XIXe]] siècle la théorie des groupes fait apparaître la nécessité de travailler sur d'autres extensions que celle des nombres rationnels. La [[Représentation des groupes|représentations des groupes]]<ref>[[Ferdinand Georg Frobenius]], ''Sur le caractère du groupe'' Académie de Berlin [[1896 en science|1896]]</ref> impose à [[Frobenius]] <small>([[1849 en science|1849]] - [[1917 en science|1917]])</small> l'étude des corps de [[caractéristique d'un anneau|caractéristique]] finie. Ce sont les corps où la somme itérée de l'unité finit par être égale à zéro. Une analyse, à l'aide de la [[théorie de Galois]] montre que, dans ce contexte, la théorie des corps finis est essentielle. Sa connaissance suffit pour la compréhension de la structure des polynômes cyclotomiques dans le cas de la caractéristique finie. L'analyse de ces corps est rapide, notamment grâce à l'apport de l'école américaine. Au début du {{XXe siècle}}, les travaux de [[Leonard Dickson]] <small>([[1874]], [[1954]])</small> puis de [[Joseph Henry Maclagan Wedderburn|Joseph Wedderburn]] <small>([[1882]], [[1948]])</small> mettent en évidence leur structure. Dickson publie<ref>[[Leonard Dickson]] Linear Groups With an Exposition of the Galois Field Theory [[1901]]</ref> la première étude systématique et Wedderburn démontre en [[1905]] son [[Théorème de Wedderburn|théorème]] stipulant que tout corps fini est [[Groupe abélien|abélien]]. Les polynômes cyclotomiques sont essentiels car ils forment l'ensemble des polynômes irréductibles (à l'exception du monôme unitaire de degré un: ''X''). Sur tous les corps de caractéristique finie, toutes les [[extension finie|extensions finies]] sont [[extension cyclotomique|cyclotomiques]]. Durant la deuxième moitié du {{XXe siècle}} un nouveau champ d'investigation utilise les corps finis, la [[cryptographie]]. Si la sécurité d'un code ne nécessite pas l'utilisation des polynômes cyclotomiques, en revanche la fiabilité, c’est-à-dire la capacité à corriger les erreurs utilise les polynômes, on parle alors de [[code correcteur]]. Ce type de code, pour être optimal, utilise les corps finis et les polynômes cyclotomiques. On peut citer par exemple le [[code de Hamming]] ou dans un cas plus général les codes permettant un [[contrôle de redondance cyclique]]. La dimension [[algorithmique]] est aussi largement étudiée. ==Définition et exemples== ===Définition=== Soit ''n'' un entier strictement positif alors le '''polynôme cyclotomique''' d'indice ''n'' est le polynôme minimal sur un [[corps (mathématiques)|corps]] '''premier''' d'une [[racine de l'unité|racine]] primitive n-ième de l'unité. On le note en général <math>\Phi_n[X]</math>. Un corps est dit premier s'il ne contient pas de sous-corps autre que {0} et lui même. C'est le plus petit sous-corps contenant 1 et tous ses itérés par l'addition. Le cas le plus connu est celui des [[nombre rationnel|nombres rationnel]]s. Dans le cas des rationnels, si la séquence finie (''z<sub>k</sub>'') décrit les racines n<sup>ième</sub> primitives de l'unité dans le corps des complexes et φ la fonction indicatrice d'Euler, le polynôme <math>\Phi_n</math> est donné par: <center><math>\Phi_n(X) = \prod_{k=1}^{\varphi(n)}(X-z_k)\quad\text{avec}\quad z_k=\exp\left(\frac{2iq\pi}{n}\right)\;\text{et} \quad q\land n = 1</math></center> Remarque : ''Une racine n<sup>ième</sub> de l'unité est dite primitive si, par multiplication, elle engendre toutes les racines n<sup>ième</sup>.'' Les polynômes cyclotomiques sont des polynômes unitaires à coefficients entiers. De plus, il est possible d'appliquer à <math>\Phi_n</math> le morphisme d'anneau de ''Z''[''X''] dans ''Z''/p''Z''[''X'']. En particulier, si ''p'' est un [[nombre premier]], ''Z''/p''Z'' est un corps fini. Une telle approche est utilisée pour démontrer le caractère irréductible du polynôme précédent. On appelle '''corps cyclotomique''' ou [[extension cyclotomique]] le plus petit sous-corps du corps des [[nombre complexe|nombres complexes]] contenant tous les nombres rationnels et une racine primitive n-ième de l'unité. Au lieu de se placer dans le corps des complexes, on aurait pu considérer les racines primitives ''n''-ièmes de l'unité dans n'importe quelle extension (finie ou infinie) du corps des rationnels dans laquelle au moins une telle racine primitive existe. une telle extension contient une copie du corps cyclotomique. Dans le cas où le corps n'est pas celui des rationnels, alors il est de cardinal fini ''p'' et ''p'' est un [[nombre premier]]. Il correspond à la structure ''Z''/p''Z'' et il est noté ''F''<sub>p</sub>. La [[théorie de Galois]] assure l'existence d'un plus petit sur-corps de ''F''<sub>p</sub> contenant une racine primitive n-ième de l'unité, on l'appelle aussi ''extension cyclotomique''. Une fois encore, tout corps de [[caractéristique d'un anneau|caractéristique]] ''p'' (c’est-à-dire contenant ''F''<sub>p</sub>) et possédant une racine primitive n-ième de l'unité contient une copie de l'extension cyclotomique. ''Remarque: Les propriétés associées à la définition sont démontrées à la suite dans cet article.'' ===Premiers polynômes cyclotomiques=== Les premiers polynômes cyclotomiques dans le cas des nombres rationnels sont : : <math>\Phi_1[X] = X - 1\,</math> <br /> : <math>\Phi_2[X] = X + 1\,</math> <br /> : <math>\Phi_3[X] = X^2 + X + 1\,</math> <br /> : <math>\Phi_4[X] = X^2 + 1\,</math> <br /> : <math>\Phi_5[X] = X^4 + X^3 + X^2 + X + 1\,</math> <br /> : <math>\Phi_6[X] = X^2 - X + 1\,</math> <br /> : <math>\Phi_7[X] = X^6+X^5+X^4 + X^3 + X^2 + X + 1\,</math> Contrairement aux apparences, tous les coefficients des polynômes cyclotomiques ne sont pas 1, -1 ou 0 ; le premier polynôme cyclotomique pour lequel un coefficient entier distinct de 0, 1, -1 apparait est Φ<sub>105</sub>. [[105 (nombre)|105]] = 3×5×7 est le premier produit de trois nombres premiers impairs. En effet : :<math>\begin{array}{ll}\Phi_{105}[X] =& X^{48} + X^{47} + X^{46} - X^{43} - X^{42} - 2X^{41} - X^{40} - X^{39} + X^{36} + X^{35} + X^{34} + X^{33} + X^{32} + X^{31} - X^{28} - X^{26} \\ &- X^{24} - X^{22} - X^{20} + X^{17} + X^{16} + X^{15} + X^{14} + X^{13} + X^{12} - X^9 - X^8 - 2X^7 - X^6 - X^5 + X^2 + X + 1\end{array}</math> Dans le cas de la caractéristique fini, les polynômes précédents ne sont pas toujours irréductibles. On peut ainsi considérer le corps à deux éléments {0,1} noté ''F''<sub>2</sub>. Il possède les tables d'opérations suivantes: {| class="wikitable" | {| border="1" | &nbsp;'''+'''&nbsp; || &nbsp;'''0'''&nbsp; || &nbsp;'''1'''&nbsp; |- | &nbsp;'''0'''&nbsp; || &nbsp;0 || &nbsp;1 |- | &nbsp;'''1'''&nbsp; || &nbsp;1 || &nbsp;0 |} | {| border="1" | &nbsp;'''.'''&nbsp; || &nbsp;'''0'''&nbsp; || &nbsp;'''1'''&nbsp; |- | &nbsp;'''0'''&nbsp; || &nbsp;0 || &nbsp;0 |- | &nbsp;'''1'''&nbsp; || &nbsp;0 || &nbsp;1 |} |} </center> Le polynôme à coefficient dans ''Z'' φ<sub>7</sub>[''X''] a pour image par le morphisme canonique dans ''F''<sub>2</sub>[X] (qui aux coefficients pairs associe 0 et aux impairs 1) un polynôme qui possède bien les racines septièmes primitives de l'unité, mais ce polynôme n'est pas irréductible, en effet : :Dans <math>\quad \mathbb F_2[X]: \quad X^6+X^5+X^4+X^3+X^2+X+1=(X^3+X^2+1)(X^3+X+1)\;</math> D'autres exemples sont donnés dans l'article le paragraphe [[Corps fini#Polynôme irréductible|Polynôme irréductible]] de l'article sur les [[corps fini]]s. ==Propriétés remarquables== ===Cas du corps des nombres rationnels=== Sans utiliser les outils sophistiqués que représente la [[théorie de Galois]], il est possible de démontrer des propriétés fortes sur les polynômes cyclotomiques. Ce sont celles présentées dans ce paragraphe. Elles ont toutes été démontrées par Gauss dans son traité de [[1801]]. Pour un souci d'exposition, la définition initiale du polynôme cylotomique <math>\Phi_n[X]</math> utilisée ici est, avec les notations de la définition: <center><math>\Phi_n(X) = \prod_{k=1}^{\varphi(n)}(X-z_k)\;</math></center> Les propriétés suivantes sont vérifiées: :* Le polynôme ''X<sup>n</sup>''-1 se factorise comme suit, où le produit porte sur l'ensemble des entiers strictement positifs qui divisent n: <center><math>X^n-1= \prod_{d|n} \Phi_d[X]\;</math>.</center> [[Image:Polynôme cyclotomique d'ordre 6.jpg|280px|right|Les six racines sixièmes de l'unité]] :L'identité sur les degrés fournit immédiatement : <center><math>n=\sum_{d|n} \phi(d)\;</math>.</center> :Cette identité peut aussi s'obtenir par des considérations sur les [[fonction multiplicative|fonctions multiplicatives]] ou par un raisonnement direct de dénombrement des éléments de l'anneau '''Z'''/''n'' '''Z''' (lire [[indicatrice d'Euler]]). :* Si ''p'' est un [[nombre premier]], alors toutes les racines ''p''-ièmes de l'unité sauf 1 sont des racines primitives ''p''-ièmes primitives de l'unité, et l'égalité est vérifiée. <center><math>\Phi_p(X)=\frac{X^p-1}{X-1}=\sum_{k=0}^{p-1} X^k</math></center> :* Un polynôme cyclotomique ne possède que des coefficients entiers et son monôme dominant possède un coefficient égal à un. :* Un polynôme cyclotomique est [[élément irréductible|irréductible]] dans l'algèbre des polynômes à coefficients rationnels et dans l'algèbre des polynômes à coefficients entiers. La figure de droite illustre ces propriétés. Le groupe des racines d'ordre six est décrit par quatre polynômes cyclotomiques, deux racines associées à des polynômes de degré un: un et deux, et quatre de degré deux avec les deux valeurs troisièmes et les deux valeurs sixièmes. {{boîte déroulante|align=left|titre=Démonstrations|contenu= : :* '''Montrons l'égalité suivante:''' <center><math>X^n-1= \prod_{d|n} \Phi_d[X]\;</math></center> :Les deux polynômes de l'égalité à démontrer sont des polynômes de monômes dominants égaux à un (polynômes unitaires). De plus ils sont de degré ''n''. Il suffit donc de démontrer par exemple que le premier divise le second. :Le polynôme <math>X^n-1</math> admet exactement n racines distincts, à savoir les n racines n-ièmes de l'unité. Étant de degré ''n'', il n'admet donc aucune racine multiple. Il est donc simplement scindé, produit des monômes deux à deux premiers entre eux X-''z'' où ''z'' parcourt les racines ''n''-ièmes de l'unité. Or, toute racine ''n''-ième est exactement une racine primitive d'ordre ''d'' pour un ''unique'' diviseur ''d'' de ''n''. Par définition des polynômes cyclotomiques, ''z'' est une racine de <math>\Phi_d</math> ; autrement dit, X-''z'' divise <math>\Phi_d</math>. De suite, ''X<sup>n</sup>'' divise le produit des <math>\Phi_d</math> pour ''d'' divisant ''n''. :L'égalité se trouve établie. :* '''Si ''p'' est un [[nombre premier]], alors toutes les racines ''p''-ièmes de l'unité sauf 1 sont des racines primitives ''p''-ièmes de l'unité, et l'égalité suivante est vérifiée :''' <center><math>\Phi_p(X)=\frac{X^p-1}{X-1}=\sum_{k=0}^{p-1} X^k</math></center> :Si ''z'' est une racine primitive ''p''-ième de 1, alors l'ordre de ''z'' dans le groupe multiplicatif '''C'''<sup>*</sup> divise nécessairement ''p''. Comme ''p'' est premier, l'ordre de ''z'' est 1 ou ''p''. Le seul élément d'ordre 1 étant l'élément neutre 1, toute autre racine de ''p''-ième est nécessairement une racine primitive d'ordre ''p''. :Une autre preuve possible présuppose connu que l'indice d'Euler de ''p'' est ''p''-1 : toutes les racines ''p''-ièmes de l'unité sauf une doivent alors être primitives. Or 1 n'est une racine primitive d'un nombre premier. Ceci montre que le polynôme ''X''<sup>p</sup> - 1 n'admet que deux diviseurs ''X'' - 1 et le polynôme cyclotomique associé. :* '''Un polynôme cyclotomique <math>\Phi_n[X]</math> ne possède que des coefficients entiers et de coefficient dominant égal à un.''' :Le fait que le coefficient dominant soit égal à un est une évidence. :Montrons par récurrence sur ''n'' que le polynôme est à coefficients entiers. :''Si n est égal à 1'' alors le résultat est vrai car <math>\Phi_{1}[X]</math> = ''X - 1'' (voir la section exemples). :''Supposons la propriété vraie pour toute valeur inférieure ou égal à n.'' Alors la première proposition permet d'affirmer que: <center><math>X^{n+1} -1 = Q_{n+1}[X] \Phi_{n+1} [X]\;</math></center> ou le polynôme ''Q''<sub>''n''+1</sub>[X] est le produit de tout les polynômes cyclotomiques ''d''-ièmes avec ''d'' divisant strictement ''n'' (ie ''d'' divise ''n'' et est distinct de ''n''). Par hypothèse de récurrence, ''Q''<sub>''n''+1</sub>[X] est le produit de polynômes unitaires à coefficients entiers et donc lui-même un polynôme unitaire à coefficient entier. Divisons alors le polynôme à coefficients dans les entiers ''X<sup>n</sup>-1'' par ''Q''<sub>''n''+1</sub>[X] dans l'anneau '''Z'''[X] des polynômes à coefficients entiers. Cela est réalisable car ''Q'' est unitaire ; on obtient alors l'identité: <center><math>X^{n+1} -1 = Q_{n+1}[X].A[X]+B[X]\;</math></center> Avec A[X] et B[X] élément de '''Z'''[X], et B de degré strictement inférieur à ''n''. Réalisons maintenant la division euclidienne dans l'anneau '''Q'''[X] l'anneau des polynômes à coefficients rationnels. Il existe une unique solution avec le degré de B[X] strictement inférieur à n+1. On en déduit que les divisions euclidiennes dans '''Q'''[X] et dans '''Z'''[X] donne exactement le même résultat. En conséquence, B[X] est égal au polynôme nul et A[X] est égal au polynôme cyclotomique. Donc le polynôme cyclotomique est à coefficients entiers. :* '''Un polynôme cyclotomique est irréductible.''' Soit ''z'' le première des racines primitives n-ièmes. C’est-à-dire ''z'' = exp(2<math>\pi</math>.i/n). Soit ''M<sub>1</sub>[X]'' le polynôme minimal de ''z'' :''' ''M<sub>1</Sub>[X]'' est un polynôme à coefficients entiers unitaire.''' ''z'' est racine du polynôme ''X<sup>n</sup> - 1'' est donc son polynôme minimal divise ce polynôme. Il existe donc un polynôme à coefficients entiers tel que l'égalité suivante soit vérifiée: <center><math>X^n-1=\lambda. M_1[X].P[X]\;</math></center> Où <math>\lambda</math> est choisi de telle manière à ce que le polynôme P[X] soit à coefficients entiers. La démonstration précédente a établi que dans ce contexte, λ.''M<sub>1</sub> [X]'' est aussi un polynôme à coefficients entiers. De plus comme ''X<sup>n</sup> - 1'' est unitaire, il en est de même pour ''M<sub>1</sub> [X]'' et P[X] et λ est égal à 1. :''' Si ''p'' est un nombre premier qui ne divise pas n alors ''z <sup>p</sup>'' est racine de ''M<sub>1</sub>[X]''.''' Raisonnons par l'absurde et supposons que cela ne soit pas le cas. Soit ''M<sub>p</sub> [X]'' le polynôme minimal de ''z <sup>p</sup>'' alors ''M<sub>p</sub> [X]'' ne divise pas ''M<sub>1</sub> [X]'' mais divise ''X<sup>n</sup> - 1''. Il divise donc le polynôme ''P[X]''. Il existe donc un polynôme ''Q[X]'' vérifiant l'égalité suivante: <center><math>X^n-1=M_1[X].M_p[X].Q[X]\;</math></center> Un raisonnement analogue à celui sur ''P[X]'' montre que ''Q[X]'' est unitaire à coefficients entiers. ''z <sup>p</sup>'' est racine du polynôme ''M<sub>p</sub> [X]'' et donc ''z'' est racine du polynôme ''M<sub>p</sub> [X<sup>p</sup>]''. On en déduit que ''M<sub>p</sub> [X<sup>p</sup>]'' est un multiple de ''M<sub>1</sub> [X]''. Il existe donc un polynôme unitaire ''R[X]'' à coefficients entiers vérifiant: <center><math>M_p[X^p]=M_1[X].R[X]\;</math></center> Par passage au modulo p, en remarquant que la [[Formule du binôme de Newton|formule du binôme]] devient <center><math>(\bar{A}+\bar{B})^p=\bar{A}^p+\bar{B}^p \mbox{ et donc } \bar{M}_p[X^p]=\bar{M}_p[X]^p</math> en conséquence</center> <center><math>X^n-\bar{1}=\bar{M}_1[X].\bar{M}_p[X].\bar{Q}[X]\quad et \quad \bar{M}_p[X]^p=\bar{M}_1[X].\bar{Q}[X]</math></center> Soit ''D[X]'' un diviseur irréductible de degré strictement supérieur à 1 de ''M<sub>1</sub> [X]'' dans l'anneau quotient (s'il n'en admet pas d'autres que 1 et lui-même sur les entiers, il n'en est pas de même sur l'anneau quotient) alors il divise aussi ''M<sub>p</sub> [X]'' dans l'anneau quotient puisqu'il divise sa puissance. On en déduit que son carré divise ''X<sup>n</sup> - 1'' et ''D[X]'' divise la dérivée formelle de ''X<sup>n</sup> - 1'' dans l'anneau quotient. ''D[X]'' divise donc ''nX<sup>n-1</sup>'' dans l'anneau quotient, et ce polynôme est non nul si car n et p sont premiers entre eux. On en déduit que ''D[X]'' est égal à ''X'' car il est irréductible. Or ''X'' ne divise pas ''X<sup>n</sup> - 1'' dans l'anneau quotient. D'où une contradiction. En conséquence nous avons montré que ''M<sub>p</sub> [X]'' est égal à ''M<sub>1</sub> [X]''. :''' Si ''k'' est un nombre premier avec n alors ''z <sup>k</sup>'' est racine de ''M<sub>1</sub>[X]''.''' Le nombre ''k'' est produit de ''q'' nombres premiers qui ne divisent pas n. Un récurrence sur ''q'' permet de conclure. Si k vaut 1 c'est évident. En supposant la propriété vraie pour le rang ''q-1'', si ''z' '' est égal à ''z'' à la puissance le produit de ''q-1'' nombres premiers ne divisant pas ''n'', ''z' '' est racine de ''M<sub>1</sub> [X]'' et le raisonnement précédent montre que ''z' '' à la puissance un nombre premier ne divisant pas n est encore racine de ''M<sub>1</sub> [X]'', donc ''z'' à la puissance le produit de ''q'' nombres premiers ne divisant pas ''n'' est racine de ''M<sub>1</sub> [X]''. En conclusion, le polynôme minimal de ''z'' contient pour racine au moins toutes les racines du polynôme cyclotomique. Le polynôme cyclotomique divise donc le polynôme minimal. Comme ce dernier est irréductible, l'égalité est établie. }} ===Cas de la caractéristique finie=== ====Corps de décomposition==== {{Article détaillé|Corps de décomposition}} Soit ''p'' la caractéristique du corps premier, ce corps est celui de l'[[arithmétique modulaire]] isomorphe à ''Z''/''p''.''Z''. On peut considérer dans un tel corps un polynôme du type ''X''<sup>n</sup> - 1, par exemple dans ''F''<sub>2</sub>[X] le polynôme ''X''<sup>3</sup> - 1. Dans le cas de ''Q'', il existe une [[extension de corps]] celui des nombres complexes contenant les racines du polynôme. La [[théorie de Galois]], à l'aide des [[extension algébrique|exentions algébriques]] permet de trouver une extension dans lequel le polynôme est scindé, c’est-à-dire que l'extension contient toutes ses racines. Un tel corps est appelé [[corps de décomposition]]. Dans l'exemple cité, le corps est celui noté en général ''F''<sub>4</sub> contenant quatre éléments. Sa table est la suivante: [[Image:Corps fini racine de l'unité.jpg|300 px|thumb|right|Illustration graphique du groupe multiplicatif de ''F''<sub>4</sub>]] {| class="wikitable" | {| border="1" | &nbsp;'''+'''&nbsp; || &nbsp;'''0'''&nbsp; || &nbsp;'''1'''&nbsp; || &nbsp;'''t'''&nbsp; || &nbsp;'''1+t'''&nbsp; |- | &nbsp;'''0'''&nbsp; || &nbsp;0 || &nbsp;1 || &nbsp;t || &nbsp;1+t |- | &nbsp;'''1'''&nbsp; || &nbsp;1 || &nbsp;0 || &nbsp;1+t || &nbsp;t |- | &nbsp;'''t'''&nbsp; || &nbsp;t || &nbsp;1+t || &nbsp;0 || &nbsp;1 |- | &nbsp;'''1+t'''&nbsp; || &nbsp;1+t || &nbsp;t || &nbsp;1 || &nbsp;0 |} | {| border="1" | &nbsp;'''.'''&nbsp; || &nbsp;'''0'''&nbsp; || &nbsp;'''1'''&nbsp; || &nbsp;'''t'''&nbsp; || &nbsp;'''1+t'''&nbsp; |- | &nbsp;'''0'''&nbsp; || &nbsp;0 || &nbsp;0 || &nbsp;0 || &nbsp;0 |- | &nbsp;'''1'''&nbsp; || &nbsp;0 || &nbsp;1 || &nbsp;t || &nbsp;1+t |- | &nbsp;'''t'''&nbsp; || &nbsp;0 || &nbsp;t || &nbsp;1+t || &nbsp;1 |- | &nbsp;'''1+t'''&nbsp; || &nbsp;0 || &nbsp;1+t || &nbsp;1 || &nbsp;t |} |} Dans ce corps, ''t'' et 1 + ''t'' sont les deux racines supplémentaires du polynôme ''X''<sup>3</sup> - 1. L'étude des extensions algébriques montre que tout corps contenant les racines d'un polynôme contient un sous corps isomorphe à ''F''<sub>4</sub>. En conséquence tout corps de caractéristique deux contenant les racines possède une copie exacte de ''F''<sub>4</sub>. Les solutions trouvées et leur comportement algébrique sont donc toujours les mêmes. Ce résultat est général à toute [[extension finie]] et donc à tout polynôme cyclotomique. La théorie des [[corps fini]]s permet d'aller plus loin. Les seules extensions d'un corps premier ''F''<sub>p</sub> sont une extension de cardinal une puissance de ''p'' et il existe une et une unique extension de cardinal ''p''<sup>m</sup> où ''m'' est un entier strictement positif. De plus, le groupe multiplicatif d'une telle extension est un [[groupe cyclique]] de cardinal ''p''<sup>n</sup> - 1 (0 n'est pas élément du groupe multiplicatif car il n'a pas d'inverse). La figure de droite l'illustre dans le cas de ''F''<sub>4</sub>, tout élément autre que 0 apparaît comme une racine de l'unité. La multiplication est représentée graphiquement comme on le fait pour le corps des complexes. En revanche, l'addition n'est pas représentée. ====Automorphisme de Frobenius==== {{Article détaillé|Corps fini|Automorphisme de Frobenius}} [[Image:Ferdinand Georg Frobenius.jpg|thumb|right|[[Ferdinand Georg Frobenius]]]] Dans le cas d'un corps fini de caractéristique ''p'' et de cardinal ''p''<sup>d</sup> il existe un [[automorphisme]] digne d'intérêt: l'automorphisme de Frobenius. À un élément ''x'' du corps il associe ''x''<sup>p</sup>. Cet automorphisme est un générateur du [[groupe de Galois]] et sa d-ième puissance est égale à l'identité. Pour cette raison et dans ce contexte on appelle souvent le groupe de Galois '''groupe de Frobenius'''. Cette égalité se traduit en terme polynomial par: <center><math>X^{p^d}=X\quad et \quad X^{p^d-1}-1=0\;</math></center> Et tout élément du corps différent de zéro est une racine de l'unité. Un polynôme irréductible autre de ''X'' (qui admet pour racine zéro) est un polynôme cyclotomique. La détermination des polynômes cyclotomiques correspond donc à un classement des polynômes irréductibles. On en déduit la proposition suivante: :* Tout élément non nul d'un corps fini est une racine de l'unité et tout polynôme irréductible différent que ''X'' est un polynôme cyclotomique. Soit z<sub>1</sub> une racine primitive n-ième de l'unité. La théorie de Galois démontre que son polynôme minimal admet pour racines les images de z<sub>1</sub> par le groupe de Frobenius, car un corps fini est une [[extension de Galois|extension galoisienne]] du corps premier. Ce qui se traduit en termes mathématiques :* L'ensemble des racines du polynôme cyclotomique de z<sub>1</sub> est l'orbite de z<sub>1</sub> par l'[[Action de groupe (mathématiques)|action du groupe]] de Frobenius notée Orb (z<sub>1</sub>). La formule du polynôme est la suivante: <center><math>\Phi_{z_1}[X]=\prod_{z \in Orb(z_1)} (X - z)\;</math></center> L'image par un automorphisme d'une racine n-ième primitive de l'unité est une racine primitive n-ième de l'unité, et: :* Un polynôme cyclotomique d'indice ''n'' divise l'image du polynôme cyclotomique à coefficients entiers par le morphisme canonique de ''Z''[X] dans ''F''<sub>p</sub>[''X'']. Il reste à savoir si les deux polynômes sont égaux, c’est-à-dire si l'orbite de z<sub>1</sub> contient toutes les racines primitives n-ième de l'unité. L'exemple donné sur ''F''<sub>2</sub> montre que ce n'est pas toujours le cas. La théorie de Galois permet d'affirmer que le degré du polynôme cyclotomique de z<sub>1</sub> est la [[dimension]] δ du corps de décomposition, considéré comme un [[espace vectoriel]] sur le corps primitif. Le corps de décomposition est un ensemble de cardinal ''p''<sup>δ</sup>. Son groupe multiplicatif est un groupe cyclique d'ordre ''p''<sup>δ</sup> -1. L'analyse des [[Groupe cyclique|groupes cycliques]] montre que ce groupe contient les racines n-ième de l'unité si et seulement si son cardinal est un multiple de ''n''. En conséquence ''δ'' est égal à l'[[ordre multiplicatif]] de ''p'' modulo ''n'', c’est-à-dire le plus petit entier ''δ'' tel que ''p''<sup>δ</sup>-1 soit un multiple de ''n''. :*Un polynôme cyclotomique d'indice ''n'' sur ''F''<sub>p</sub> est de degré l'ordre multiplicatif de ''p'' modulo ''n''. Le [[Théorème d'Euler (nombres)|théorème d'Euler]] montre que: <center><math>p^{\varphi(n)} \equiv 1 \mod n</math></center> Cependant, l'ordre multiplicatif de ''p'' modulo ''n'' est égal à φ(''n'') si et seulement si ''n'' - 1 n'est pas un multiple de ''p''. Dans l'exemple précédent, ''p'' est égal à 2, ''n'' à sept, φ(''n'') égale six, un multiple de ''p''. Le théorème d'Euler est bien vérifié car soixante quatre est congru à un modulo sept, mais l'ordre multiplicatif est égal à trois car huit est congru à un modulo sept. :*Si ''δ'' désigne l'ordre multiplicatif de ''p'' modulo ''n'', il existe φ(''n'')/''δ'' polynômes cyclotomiques d'indice ''n'' sur ''F''<sub>p</sub>. Leur degré est égal à ''δ'' et leur produit est l'image du polynôme cyclotomique d'indice ''n'' à coefficients dans ''Z'' par le morphisme canonique de ''Z''[''X''] dans ''F''<sub>p</sub>[''X'']. Des exemples sont donnés dans l'article [[corps fini]]. ==Extension cyclotomique== L'extension cyclotomique est par définition le [[corps de rupture]] d'un polynôme cyclotomique, c’est-à-dire le plus petit corps contenant une racine primitive n-ième d'un polynôme cyclotomique. (Rappelons qu'un corps de rupture d'un polynôme est une extension de corps permettant une factorisation de ce polynôme.) Il possède des propriétés fortes, à l'origine de nombreuses applications: :* L'extension cyclotomique est un [[espace vectoriel]] sur le corps des nombres rationnels de dimension φ(n). Cette propriété est générale aux corps de ruptures. La démonstration est donnée dans l'article [[Extension algébrique]]. :* L'extension cyclotomique est aussi le [[corps de décomposition]] du polynôme. Elle est donc [[extension de Galois|galoisienne]]. Cela signifie que le plus petit corps contenant une racine du polynôme contient aussi ''toutes'' les racines du polynôme. Dire que ce corps est une extension galoisienne signifie deux choses: d'une part, les polynômes minimaux de ce corps n'ont pas de racines multiples (ce qui est toujours vraie pour les extensions sur les nombres rationnels) ; et d'autre part, tous les morphismes de ce corps dans les nombres complexes ont pour image le corps lui-même. Ce sont donc des [[automorphisme]]s. Ils forment une structure de [[groupe (mathématiques)|groupe]] appelé [[groupe de Galois]]. La [[théorie de Galois]] indique que c'est la bonne structure pour rechercher une expression des racines par radicaux. :* L'extension cyclotomique est [[Extension abélienne|abélienne]]. Cela signifie que le groupe de Galois est commutatif (ou abélien). L'[[équation polynomiale]] cyclotomique est alors résoluble par radicaux. Autrement dit, les solutions s'expriment à l'aide des uniques quatre opérations (additionner, soustraire, diviser et multiplier) et des racines p-ième appliquées un nombre fini de fois sur des nombres rationnels et l'imaginaire pure ''i''. Ce résultat est connu sous le nom de [[Théorème d'Abel (algèbre)|théorème d'Abel]]. Il est ainsi possible par exemple de résoudre par radicaux l'équation cyclotomique donnant la racine dix-septième de l'unité. C'est une condition nécessaire pour la résolution de la construction par la règle et le compas du polygone régulier à dix-sept cotés (voir ci-dessous). :* L'extension cyclotomique est une [[tour d'extension quadratique]] si et seulement si ''n'' est de la forme suivante: <center><math>n=2^k \prod_iF_i\;</math></center> :Où les ''F<sub>i</sub>'' sont des [[Nombre de Fermat|nombres premiers de Fermat]] distincts. Ce résultat est aussi connu sous le nom de [[Théorème de Gauss-Wantzel]]. Une tour d'extension quadratique est un corps tel que pour chaque élément ''x'' du corps, il existe une suite de sous-corps ''K<sub>0</sub>'', ''K<sub>1</sub>'', ..., ''K<sub>p</sub>'' avec ''K<sub>0</sub>'' égal au corps de base, ici celui des rationnels, ''K<sub>p</sub>'' contient ''x'', et, pour tout i entre 1 et p, ''K<sub>i</sub>'' contient ''K<sub>i - 1</sub>'' et est un espace vectoriel de dimension 2 sur ''K<sub>i - 1</sub>''. Dire que ''K<sub>i</sub>'' contient ''K<sub>i - 1</sub>'' et est un espace vectoriel de dimension 2 sur ''K<sub>i - 1</sub>'' revient seulement à dire que tout élément de ''K<sub>i</sub>'' s'exprime comme la somme d'un nombre de ''K<sub>i - 1</sub>'' et d'une racine carré d'un nombre de ''K<sub>i - 1</sub>''. En particulier, tout élément de ''K''<sub>i</sub> s'exprime comme racine d'un polynôme de degré 2 sur ''K''</sub>i-1</sub>. Cette propriété est démontrée dans l'article [[Extension quadratique]]. Or l'article sur les [[nombre constructible|nombres constructibles]] montre qu'un point est constructible si et seulement s'il vérifie cette propriété. Cette propriété permet donc de déterminer la liste des polygones constructibles et assure qu'ils le sont effectivement. Un nombre premier de Fermat est un nombre premier de la forme <math>2^{2^k} + 1</math> où k est un entier. Les nombres premiers de Fermat connus sont 3, 5, 17, 257 et 65 537. {{boîte déroulante|align=left|titre=Démonstrations|contenu= : :* '''L'extension cyclotomique est aussi le corps de décomposition du polynôme. Elle est donc une [[extension de Galois|galoisienne]].''' L'extension contient ''z'' et donc toutes ses puissances, or les puissances de ''z'' forment l'ensemble des racines n-ièmes de l'unité et donc en particulier les racines primitives qui sont les racines du polynôme cyclotomique. Ceci démontre que '''Q'''[''z''] est le corps de décomposition. Dans un [[corps parfait]] comme celui des rationnels (un corps parfait est un corps où tous les polynômes irréductibles sont [[Extension séparable|séparables]] c’est-à-dire n'ont pas de racines multiples dans la [[clôture algébrique]]) un corps de décomposition est toujours une extension de Galois. :* '''L'extension cyclotomique est abélienne.''' Soit d un entier plus petit que n et qui ne divise pas n. Alors ''z<sup>d</sup>'' est une racine du polynôme cyclotomique et il existe au moins un morphisme qui envoie ''z'' sur ''z<sup>d</sup>'' (cf première proposition du paragraphe [[Extension algébrique#Extension algébrique et sur-corps|Extension algébrique et sur-corps]]). Il n'existe qu'un unique moyen de prolonger sur l'extension le morphisme ''m<sub>d</sub>'' qui à ''z'' associe ''z<sup>d</sup>''. En effet ''m<sub>d</sub>''(''z<sup>i</sup>'') = ''m<sub>d</sub>''(''z'')<sup>i</sup> = ''z'' <sup>i.d</sup>. Or la famille des ''z'' <sup>i</sup> si i varie de 0 à φ(n) - 1 forme une base de l'extension. Les automorphismes du groupe de Gallois sont donc parfaitement déterminés. Considérons alors l'application du groupe multiplicatif des éléments inversibles de <math>\mathbb{Z} / \varphi(n)\mathbb{Z}</math> du groupe de Galois qui, à la classe de ''d'' associe l'automorphisme ''m<sub>d</sub>''. Cette application est clairement un isomorphisme de groupe. Cet isomorphisme montre que le groupe de Galois est abélien, et même cyclique, ce qui termine la démonstration. :* '''Condition nécessaire pour que l'extension soit une tour d'extension quadratique.''' Par définition d'une tour d'extension quadratique, une condition nécessaire est que la dimension de l'extension soit une puissance de deux. Étudions alors les entiers n tel que φ(n) soit une puissance de deux. Remarquons tout d'abord que si n est égal à ''p''.''q'' avec ''p'' et ''q'' premiers entre eux alors nous avons l'égalité suivante φ(n) = φ(p).φ(q) (cf l'article [[Indicatrice d'Euler]]). Considérons alors la décomposition de n en facteur premier (cf l'article [[Théorème fondamental de l'arithmétique]]). <center><math>n= \prod_{i=1}^k p_i^{\alpha_i}\;</math></center> L'indicatrice d'Euler d'une puissance d'un nombre premier ''p''<sup>α</sup> est égale à (''p'' - 1). ''p''<sup>α -1</sup>. Il suffit donc de trouver une condition nécessaire et suffisante pour que le facteur (''p'' - 1). ''p''<sup>α -1</sup> soit une puissance de deux et appliquer cette condition à chacun des facteurs de l'égalité précédente. Deux cas se présentent, soit ''p'' est égal à 2 et toute valeur de α est acceptable, soit ''p'' est un nombre premier de la forme 2<sup>k</sup> + 1 avec k un entier strictement positif et α est égal à 1. Montrons par contraposé que si ''p'' est un nombre premier de la forme 2<sup>k</sup> + 1 alors ''k'' est une puissance de deux. Si tel n'est pas le cas, alors il existe deux entiers ''a'' et ''b'' tel que ''k'' = ''a'' . 2<sup>b</sup> où ''a'' est un entier impair et b un entier. L'égalité suivante est vérifiée ''p'' = 1 + ''c''<sup>a</sup> ou ''c'' = ''2''<sup>b</sup>. Dans ce cas, comme a est impair, on a l'égalité: <center><math>p = (1 + c^a) = (1 + c). \sum_{1=0}^{a-1} (-1)^i c^i\;</math></center> L'égalité précédente montre que 1 + ''c'' est un diviseur de ''p''. Par contraposé, si ''p'' est premier, il est donc égal à un nombre de Fermat. En conclusion ''n'' est de la forme suivante: <center><math>n=2^k \prod_iF_i\;</math></center> Où les ''F<sub>i</sub>'' sont des nombres premiers de Fermat distincts. Et la condition nécessaire est démontrée. :* '''Condition suffisante pour que l'extension soit une tour d'extension quadratique'''. Le polynôme cyclotomique est alors de degré φ(n) et est une puissance de deux. Notons 2<sup>k</sup> ce degré. Le groupe de Galois est alors le groupe cyclique de cardinal 2<sup>k</sup>. Montrons que si ''l'' est un entier inférieur à ''k'' il existe un sous-groupe ''G''<sub>l</sub> du groupe cyclique de cardinal 2<sup>l</sup> et tel que si ''l'' est non nul alors ''G''<sub>l - 1</sub> est inclus dans ''G''<sub>l</sub>. Définissons ''G''<sub>l</sub> comme le sous-groupe engendré par la classe de 2<sup>k-l</sup>. Par définition ''G''<sub>l - 1</sub> est inclus dans ''G''<sub>l</sub> si ''l'' est non nul. De plus le cardinal de ''G''<sub>l</sub> est clairement égal à 2<sup>k-l</sup>. On remarque ensuite que ''G''<sub>l-1</sub> est un sous-groupe distingué de ''G''<sub>l</sub> car ce sont des groupes abéliens, donc tout sous-groupe est distingué. Ensuite le cardinal du groupe quotient de ''G''<sub>l</sub> par ''G''<sub>l - 1</sub> est deux. Le [[théorème fondamental de la théorie de Galois]] assure que si ''K''<sub>k- l</sub> est le sous-corps de l'extension qui laisse invariant tous les automorphismes de ''G''<sub>l</sub> (on a ici identifié le groupe de Galois et le groupe cyclique) alors si l est non nul ''K''<sub>l</sub> est une extension galoisienne de ''K''<sub>l - 1</sub> de dimension deux donc quadratique, que ''K''<sub>0</sub> est égal au corps des nombres rationnels et que ''K''<sub>k</sub> est le corps de décomposition du polynôme cyclotomique. Nous avons donc monté une tour d'extension quadratique du corps de décomposition et le théorème est démontré. }} ==Applications== ===Théorème de Wedderburn=== {{Article détaillé|théorème de Wedderburn}} [[Image:Wederburn schema 2.jpg|thumb|180px|right]] Le théorème de Wedderburn affirme que tout corps fini '''K''' est nécessairement commutatif. La démonstration usuelle est relativement curieuse. Tout d'abord le polynôme cyclotomique utilisé est celui de la caractéristique zéro et non celui du corps. Ensuite, son rôle est celui d'un [[dénombrement]]. Le raisonnement est par l'absurde, les cardinaux des classes par l'[[action par conjugaison]] sont sommés pour obtenir le cardinal du groupe multiplicatif du corps. Cette égalité s'exprime par une expression du type: <center><math>q-1=F(q)\Phi_n(q)\;</math>,</center> La valeur ''q'' est celle du [[Centre (algèbre)|centre]] du groupe multiplicatif de ''K'' plus 1 correspondant au point zéro, ''F''[''X''] est un polynôme à coefficients entiers. Ce qui implique que ''F''[''q''] est une valeur entière. La fin de la démonstration quitte le dénombrement pour devenir géométrique. Si l'égalité précédente, est vraie, alors il existe une racine primitive n-ième de l'unité ''u'' vérifiant la majoration suivante: <center><math>|q-u|\le q-1</math></center> Comme ''q'' - 1 est le cardinal du centre du groupe commutatif ''q'' est au moins égal à 2. La figure de droite démontre l'impossibilité. La démonstration détaillée est donnée dans l'article associé. ===Polygone constructible=== ====Cas du pentagone==== [[Image:Pentagoneconstruit.png|thumb|right|250 px|Construction d'un pentagone]] {{Article détaillé|Construction du pentagone régulier à la règle et au compas}} Si la théorie de Galois prend un aspect quelque peu abstrait, elle donne néanmoins une méthode de résolution effective de l'équation cyclotomique et en conséquence propose un mode de construction à la règle et au compas des polygones constructibles (cf l'article [[nombre constructible]]). Étudions le pentagone à cinq cotés. A une isométrie directe près du plan euclidien, les sommets du pentagone régulier sont exactement les cinq racines cinquièmes de l'unité. Par identification, ils sont, hormis 1, les racines du cinquième polynôme cyclotomique, soit donc : <center><math>\Phi_5(X) = X^4 + X^3 + X^2 + X + 1\,</math></center>. Si l'équation correspondante est un polynôme du quatrième degré, elle est néanmoins résoluble avec une quantité de calcul faible. Le corps de décomposition, noté traditionnellement '''F'''<sub>5</sub>, est (par oubli de structure) un espace vectoriel rationnel de dimension quatre. Son groupe de Galois ''G'' est le groupe cyclique d'ordre quatre. Il admet donc un générateur noté ici ''m'' et un sous-groupe non trivial ''H'', contenant deux éléments, l'identité et ''m''<sup>2</sup>. L'application qui à tout élément de l'extension associe son conjugué est un automorphisme qui laisse ''F''<sub>5</sub> stable, '''Q''' invariant et est d'ordre deux ; en conséquence ''m''<sup>2</sup> est précisément l'application conjuguée. L'objectif est donc de trouver le sous-corps de '''F'''<sub>5</sub> de dimension deux sur '''Q''', laissé stable par l'application conjuguée. Un jeu de permutation des racines permet alors de ramener la résolution de l'équation à trois équations simples du second degré. Il est alors relativement simple d'obtenir une construction à la règle et au compas. Sur la figure illustrative, il est par exemple immédiat de remarquer que la longueur du segment ''BI'' est le quart de la racine carrée de cinq, le radical de la première extension. {{boîte déroulante|align=left|titre=Calcul|contenu= :Comme ci-dessus, ''z'' désigne la racine primitive cinquième privilégiée, à savoir exp(i.2.<math>pi</math>/5) et le générateur ''m'' du groupe de Galois est l'automorphisme sur '''Q''' de l'extension '''F'''<sub>5</sub> uniquement défini par l'identité : :<center><math>m(z)=z^2</math></center>. :Déterminons les éléments de ''F''<sub>5</sub> laissés invariants par la conjugaison complexe ''m''<sup>2</sup>. Or, ''m''<sup>2</sup>(''z'')= ''z''<sup>4</sup> ; ''m''<sup>2</sup>(''z''<sup>2</sup>)=''z''<sup>3</sup> ; et enfin ''m''<sup>2</sup> est d'ordre deux. Donc ''u'' = ''z'' + ''z''<sup>4</sup> et son image ''v'' = ''m''(''u'') = ''z''<sup>2</sup> + ''z''<sup>3</sup> sont clairement invariants par ''m''<sup>2</sup>. De plus, leur somme ''u''+''v'' et leur produit ''u''.''v'' sont invariants par ''m'' et donc par le groupe de Galois ; on s'attend à ce qu'ils soient donc rationnels. La somme ''u''+''v'' est la somme des quatre racines cinquièmes et vaut donc -1 ; le produit est aussi égal à la somme des racines cinquièmes primitives, soit -1. :On en déduit que ''u'' et ''v'' vérifie l'équation P[X] = 0 où: :<center><math>P[X] = X^2 + X - 1 =0 \quad et \quad u = \frac{1}{2} (-1 + \sqrt{5}) \quad v = \frac{1}{2} (-1 - \sqrt{5})</math></center> :Ces formules auraient pu être démontrées en remarquant que ''z''</sup>4</sup> est le conjugué de ''z''. Il en est de même avec ''z''<sup>2</sup> et ''z''<sup>3</sup>. :L'ensemble des points fixes par ''m''<sup>2</sup>, donc par ''H'' forment une extension intermédiaire de '''Q''', notée habituellement ''F''<sub>5</sub><sup>''H''</sup>. Le polynôme Φ<sub>5</sub>[''X''] se factorise dans l'algèbre '''F'''<sub>5</sub></sup>''H''</sup>[X] comme suit: <center><math>\Phi_5(X) = (X^2 -u.X + 1)(X^2 -v.X + 1)\,</math></center> <center><math>u = \frac{1}{2} (-1 + \sqrt{5}) \quad et \quad v = \frac{1}{2} (-1 - \sqrt{5})</math></center> Et dans ''F''<sub>5</sub>[X], le polynôme prend la forme: <center><math>\Phi_5(X) = (X - z)(X - \bar{z})(X - z^2)(X - \bar{z}^2)\,</math></center> <center><math>z = \frac{1}{4} (-1 + \sqrt{5})+ \frac{i}{4} \sqrt{10 + 2\sqrt{5}} \quad et \quad z^2 = \frac{1}{4} (-1 - \sqrt{5})+ \frac{i}{4} \sqrt{10 - 2\sqrt{5}}</math></center>. }} ====Cas de l'heptadécagone==== [[Image:Heptadecagone.jpg|thumb|right|200px|Figure à la règle et au compas: Heptadécagone, le polygone régulier de 17 cotés]] Le nombre premier de Fermat suivant est dix-sept. Il correspond à l'heptadécagone, le polygone régulier à dix-sept cotés. Si la logique précédente s'applique avec le même succès, les calculs sont néanmoins plus complexes. Le polynôme à factoriser est maintenant de degré seize. En conséquence, ce cas n'a pas été traité avant une compréhension profonde des polynômes cyclotomiques. L'aspect calculatoire de la résolution du problème est indéniable, en rechange il relativement limité pour une équation de degré seize sans racine évidente ou multiple. La méthode de résolution proposée ici suit pas à pas la démarche de la théorie de Galois. Ce groupe est le groupe cyclique d'ordre seize. Il contient donc trois sous-groupes non triviaux. ''H''<sub>1</sub> est un sous-groupe à huit éléments, il contient les multiples de deux, ''H''<sub>2</sub> contient les multiples de quatre et ''H''<sub>3</sub> contient deux éléments le neutre et le multiple de huit, la même remarque que celle du paragraphe précédent montre que l'élément non neutre correspond à l'application conjuguée. Les sous-corps associés forment une chaîne d'extensions strictement emboitée tel que la dimension d'un corps est deux sur le corps précédent. <center><math>\mathbb{Q} \sub \mathbb{F}_{17}^{H_1} \sub \mathbb{F}_{17}^{H_2} \sub \mathbb{F}_{17}^{H_3} \sub \mathbb{F}_{17}\;</math></center> L'objectif est alors de trouver un générateur de chaque extension dans la précédente. La technique utilisé dite des périodes de Gauss est toujours la même. Explicitons la pour la première extension. Soit ''m''<sup>2</sup> le générateur du premier groupe (on a choisi ''m'' générateur du groupe de Galois), Considérons la somme des huit composées successives de ''z'' la première racine primitive, et la somme des huit autres racines: <center><math>u_1=\sum_{i=0}^7 m^{2i}(z)\quad et \quad u_2=\sum_{i=0}^7 m^{2i+1}(z)\;</math></center> Alors ces deux éléments sont invariant par le générateur ''m''<sup>2</sup>. De plus, leur somme est égal à -1 car c'est la somme de toutes les racines primitives. Ils sont donc de la forme ''u''<sub>1</sub> = ''a'' + ''b''.r et ''u''<sub>2</sub> = ''a'' - ''b''.r où ''a'' et ''b'' sont des rationnels et ''r'' le radical générateur de l'extension, car nous sommes dans une extension quadratique. Leur produit est donc encore rationnel. On en déduit une équation du type ''P''<sub>1</sub>[X] = 0 avec ''P''<sub>1</sub>[X] un polynôme du deuxième degré. Réitérer trois fois cette méthode donne alors la solution. {{boîte déroulante|align=left|titre=Calcul|contenu= Choisir ''m'' tel que ''m''(''z'') = ''z''<sup>2</sup> n'est pas la solution car ''m'' est d'ordre huit. Il est donc plus judicieux de choisir ''m'' tel que ''m''(''z'') = ''z''<sup>3</sup> ''m'' et ''m''<sup>2</sup> restreints aux racines sont donc deux permutations décrites par: <center><math> m= \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 3 & 6 & 9 & 12 & 15 & 1 & 4 & 7 \end{matrix} \quad \begin{matrix} 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 \\ 10 & 13 & 16 & 2 & 5 & 8 & 11 & 14 \end{matrix}\right)</math></center> <center><math> m^2= \left( \begin{matrix} 1 & 9 & 13 & 15 & 16 & 8 & 4 & 2 \\ 9 & 13 & 15 & 16 & 8 & 4 & 2 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 3 & 10 & 5 & 11 & 14 & 7 & 12 & 6 \\ 10 & 5 & 11 & 14 & 7 & 12 & 6 & 3 \end{matrix}\right)</math></center> Alors ''u''<sub>1</sub> est la somme des racines de puissance: 1 ,9 ,13 ,15, 16, 8, 4, 2 et ''u''<sub>2</sub> les autres. Leur somme est égale à la somme des racines donc -1 et leur produit à quatre fois la somme des racines donc -4. On obtient: <center><math>P_1[X]=X^2+X -4=0 \quad et \quad u_1 = \frac{1}{2}(-1 + \sqrt{17}) \quad u_2 = \frac{1}{2}(-1 - \sqrt{17}))\,</math></center> Pour appliquer cette même logique une deuxième fois déterminons ''m''<sup>4</sup> : <center><math> m^4 = \begin{pmatrix} 1 & 13 & 16 & 4 \\ 13 & 16 & 4 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 9 & 15 & 8 & 2 \\ 15 & 8 & 2 & 9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 5 & 14 & 12 \\ 5 & 14 & 12 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 10 & 11 & 7 & 6 \\ 11 & 7 & 6 & 10 \end{pmatrix}</math></center> Notons alors ''v''<sub>1</sub> la somme des racines d'exposant 1, 13, 16, 4 notons ''v''<sub>2</sub> la somme des racines d'exposant 2, 9, 15, 8 notons ''v''<sub>3</sub> la somme des racines d'exposant 3, 5, 14, 12 et ''v''<sub>4</sub> la somme des racines d'exposant 10, 11, 7, 6 <center><math>P_2[X]=X^2-u_1X -1=0 \quad et \quad v_1 = \frac{1}{2}(u_1 + \sqrt{4+u_1^2}) \quad v_2 = \frac{1}{2}(u_1 - \sqrt{4+u_1^2})\,</math></center> <center><math>P'_2[X]=X^2-u_2X -1=0 \quad et \quad v_3 = \frac{1}{2}(u_2 + \sqrt{4+u_2^2}) \quad v_4 = \frac{1}{2}(u_2 - \sqrt{4+u_2^2})\,</math></center> Le calcul effectif donne: <center><math> v_1 = \frac{1}{4}(-1 + \sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt17}) \quad v_2 = \frac{1}{4}(-1 + \sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt17})</math></center> <center><math> v_3 = \frac{1}{4}(-1 - \sqrt{17}+\sqrt{34+2\sqrt17}) \quad v_4 = \frac{1}{4}(-1 - \sqrt{17}-\sqrt{34+2\sqrt17}) \,</math></center> L'étape suivante ne demande pas la détermination de ''m''<sup>8</sup> car il est établi que cette application est le conjugué, à une racine d'exposant ''i'' elle associe donc la racine d'exposant 17 - ''i''. On choisit alors ''w''<sub>1</sub> comme la somme des racines d'exposant 1 et 16 et ''w''<sub>2</sub> comme la somme des racines d'exposant 13 et 4. On obtient: <center><math>P_3[X]=X^2-v_1X +v_3=0 \quad et \quad w_1 = \frac{1}{2}(v_1 + \sqrt{v_1^2-4v_3})\,</math></center> <center><math> w_1 = \frac{1}{8}\left(-1 + \sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt17} +\sqrt{68 +12\sqrt{17}-2\sqrt{34-2\sqrt17}-16\sqrt{34+2\sqrt17}+2\sqrt{578-34\sqrt17}}\right)\,</math></center> Le calcul de ''w''<sub>1</sub> suffit pour obtenir la racine primitive. On sait par construction que ce coefficient est égal à la somme de la première racine primitive et de son conjugué. On en déduit alors que: <center><math>z = \frac{1}{2}w_1+\frac{i}{2}\sqrt{1-w_1^2}\,</math></center> La construction à la règle et au compas est moins douloureuse qu'il n'y paraît, ''u''<sub>1</sub> a pour radical une longueur égal à l'hypoténuse d'un triangle de coté un et un quart. ''u''<sub>2</sub> a pour radical l'hypoténuse d'un triangle de coté 2 et ''u''<sub>1</sub>. Seule l'étape suivante est un peu pénible. Un développement brutal laisserait en effet à penser à une construction plus délicate. Il donne. <center><math> \cos\left(\frac{2\pi}{17}\right) = \frac{1}{16}\left(-1 + \sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt17} +\sqrt{68 +12\sqrt{17}-2\sqrt{34-2\sqrt17}-16\sqrt{34+2\sqrt17}+2\sqrt{578-34\sqrt17}}\right)\,</math></center> }} ==Voir aussi== ===Notes=== <references /> ===Liens externes=== * {{fr}} [http://homeomath.imingo.net/polycyclo.htm polynôme cyclotomique à petite dose] site homéomath. * {{fr}} [http://tanopah.jo.free.fr/epilogues/cyclo.pdf polynôme cyclotomique niveau licence] * {{fr}} [http://www.les-mathematiques.net/d/a/w/node4.php3 polynôme cyclotomique par les mathématiques.net] * {{en}} [http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/Chronology/index.html le site de Saint Andrew pour les références historiques] ===Références=== *JP Escofier ''Théorie de Galois. Cours avec exercices corrigés'' Masson Paris, 1997 *{{Lang1}} *{{Samuel1}} {{Théorie de Galois}} {{portail mathématiques}} [[Catégorie:Polynôme remarquable|Cyclotomique]] [[Catégorie:Théorie de Galois]] [[Catégorie:Corps cyclotomiques]] [[de:Kreisteilungspolynom]] [[en:Root of unity#Cyclotomic_polynomials]] [[it:Polinomio ciclotomico]]