Polynôme de Legendre
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{{ébauche|algèbre|analyse}}
[[Image:Legendre_poly.svg|thumb|280px|Polynômes de Legendre]]
Les '''polynômes de Legendre''' sont des solutions y de l'[[équation différentielle]] de [[Adrien-Marie Legendre|Legendre]].
__TOC__
==Equations Différentielles==
{{...}}
<math>\frac{d}{dx}\left[(1-x^{2})\frac{dy}{dx}\right]+n(n+1)y=0</math>
où ''n'' est un entier naturel représentant l'ordre du polynôme.
On définit ainsi le polynôme de Legendre <math>\mathcal{L}P=n(n+1)P</math>
== Autres Définitions==
===Définition Classique===
{{...}}
On définit simplement le polynôme comme:
:<math>P_n(x)=\frac{1}{n! 2^n}\frac{d^n}{dx^n}\left((x^2-1)^n\right)</math>
===Définitions Analytiques===
On peut aussi les définir par l'[[intégrale de contour]] :
:<math>P_{n}(z)=\frac{1}{2\pi i}\int(1-2tz+t^{2})^{1/2}t^{-n-1}dt</math>
où le contour entoure l'origine et est pris dans le sens des aiguilles d'une montre.
On définit ce polynôme sous forme de plusieurs sommes:
:<math>P_{n}(x)=\frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^{E(n/2)} (-1)^k \binom{n}{k} \binom{2n-2k}{n}x^{n-2k} </math>
:<math>P_{n}(x)=\frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}^2 (x-1)^{n-k}(x+1)^{k} </math>
:<math>P_{n}(x)=\frac{(x+1)^n}{2^n}\sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom{n}{k}^2 \left(\frac{x-1}{x+1}\right)^k \qquad \mathrm{pour}\qquad x \ne -1 </math>
ou encore par:
:<math>P_{n}(x)=\frac{(x-1)^n}{2^n}\sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom{n}{k}^2 \left(\frac{x+1}{x-1}\right)^k \qquad \mathrm{pour}\qquad x \ne 1 </math>
Ces formulations permettent de calculer certaines valeurs intéressantes des polynômes.On obtient ainsi que la parité du polynôme dépend de la parité de n:
:<math>P_n(-x)=(-1)^nP_n(x)\,</math>
==Matrice de la fonction polynômes de Legendre==
<math> \begin{pmatrix}
0 & 0 & -2 & 0 & 0 & \vdots & 0 &\vdots & 0\\
0 & 2 & 0 & -6 & 0 &\vdots & 0&\vdots & \vdots\\
0 & 0 & 6 & 0 & -12 &\vdots & 0 &\vdots & \vdots\\
0 & 0 & 0 & 12 & 0 &\vdots & 0 &\vdots & \vdots\\
0 & 0 & 0 & 0 & 20 &\vdots & 0 &\vdots & \vdots \\
\dots & \dots & \dots & \dots & \dots &\ddots & \vdots &\dots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\dots & k(k+1) &\dots & \vdots \\
\dots & \dots & \dots & \dots & \dots &\dots & \dots &\ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\dots & 0 &\dots & n(n+1)\\
\end{pmatrix}</math>
On remarquera que les vecteurs propres de cette matrice sont colinéaires aux polynômes.<ref>''Banque PT ,TSI Algebre,Géométrie,Analyse'',Editions Ellipse 1993 , </ref>
== Quelques Polynômes==
Les premiers polynômes sont : [[Image:PolynomesdeLegendre.jpeg|thumb|280px|right|Les 20 premiers polynômes de Legendre.]]
* <math>P_{0}(x)=1 \,</math>
* <math>P_{1}(x)=x\,</math>
* <math>P_{2}(x)=\frac{1}{2}(3x^{2}-1)\,</math>
* <math>P_{3}(x)=\frac{1}{2}(5x^{3}-3x)\,</math>
* <math>P_{4}(x)=\frac{1}{8}(35x^{4}-30x^{2}+3)\,</math>
* <math>P_{5}(x)=\frac{1}{8}(63x^{5}-70x^{3}+15x)\,</math>
La relation de récurrence entre les différents polynômes s'écrit:
* <math>(n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)xP_{n}(x) - nP_{n-1}(x)\,</math>
==Orthogonalité==
Les polynômes orthogonaux les plus simples sont les polynômes de Legendre pour lesquels l'intervalle d'orthogonalité est [−1, 1] et la fonction poids est simplement la fonction constante de valeur 1:
Ces polynômes sont [[orthogonalité|orthogonaux]] par rapport au [[produit scalaire]] <math>\varphi</math> défini sur <math>\R[X]</math> par la relation :
:<math>\varphi(P,\, Q) = \int_{-1}^{+1} P(x) Q(x)\, dx</math>.
:<math>\varphi(P_m,\, P_n)\int_{-1}^{1} P_m(x)P_n(x)\,dx = 0\qquad \mathrm{pour}\qquad m \ne n</math>
===Orthonormalité===
La norme ,calculée comme <math>\sqrt[]{\int_{-1}^{1} P_n^2(x)\,dx}</math> est:
:<math>||P_n||=\sqrt[]{\frac{2}{2n+1}}</math>
Le procédé d'orthonormalisation de Schmidt transforme l'écriture des polynomes de Legendre <ref>Extrait du 1er sujet de Mathématiques de l'agrégation 1989</ref>en:
:<math>\overset{\sim}{P_n(x)}= \frac{P_n(x)}{||P_n||}=\sqrt[]{\frac{2n+1}{2}}P_n(x)</math>
==Autres Propriétés==
===Parité===
Les polynômes de Legendre suivent la parité de n .On peut exprimer cette proprieté comme:
:<math>P_k(-x) = (-1)^k P_k(x). \,</math>
On démontre cette proprieté a l'aide des définitions sous forme de somme.
===Points Particuliers===
Comme beaucoup de polynômes ''orthogonaux'' classiques comme les polynômes de [[Tchebychev]] et de [[Hermite]] les polynômes sont rigoureusement définis. Les propriétes suivantes sont demontrées facilement en étudiant la parité des polynômes et les conditions aux bornes.
:<math>P_{k}(1) = 1 \,</math>
:<math>P_{k}(-1) = (-1)^n \,</math>
:<math>P_{2n}(0)=\frac{1}{2^{2n}}\sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom{2n}{k} \binom{4n-2k}{2n}0^{n-k} \,</math>
:<math>P_{2n+1}(0) = 0 \,</math>
==Applications en Physique==
{{...}}
==Voir aussi==
* [[Polynômes orthogonaux]]
* [[Harmoniques sphériques]]
* [[mesures secondaires]]
* http://en.wikipedia.org/wiki/Associated_Legendre_function
==Notes==
<references />
== Bibliographie ==
* I.S. Gradshteyn & I.M. Ryzhik ; ''Table of Integrals, Series, and Products'', Alan Jeffrey and Daniel Zwillinger (eds.), Academic Press (6{{e}} édition - 2000), ISBN 0-12-294757-6. Errata sur le site web des éditeurs : [http://www.mathtable.com/gr/ www.mathtable.com]
*De Nockere ;''Tables numériques des polynômes de Legendre '', ARB (8e edition - 1949 ) Académie Royale des Sciences des Lettres des Beaux Arts de Belgique
==Références==
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{{Portail mathématiques}}
[[Catégorie:Espace de Hilbert]]
[[Catégorie:Fonction hypergéométrique|Legendre]]
[[Catégorie:Méthode mathématique de la physique]]
[[Catégorie:Polynôme remarquable|Legendre]]
[[Catégorie:Fonctions spéciales]]
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