Polynôme minimal d'un nombre algébrique
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2008-06-29T16:44:58Z
Ziwi
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/* Propriétés élémentaires */
[[Image:Carl Friedrich Gauss.jpg|thumb|right|250px|[[Carl Friedrich Gauß]] utilise des polynômes minimaux appelés [[polynôme cyclotomique|cyclotomiques]] pour déterminer les [[polygone]]s [[construction à la règle et au compas|constructibles à la règle et au compas]].]]
En [[mathématiques]], le '''polynôme minimal d'un nombre algébrique''' est une notion dérivée de l'[[algèbre linéaire]], elle est à la base de deux théories.
La [[théorie de Galois|théorie classique de Galois]] a pour champs d'étude certains [[corps (mathématiques)|corps]] [[commutativité|commutatifs]], construits par des [[extension finie|extensions finies]] de corps initiaux comme un [[corps fini]] ou celui des [[nombre rationnel|nombres rationnels]]. Le polynôme minimal fournit une méthode naturelle pour construire de tels [[extension de corps|extensions]]. Ces [[racine d'un polynôme|racines]] sont utilisées pour élucider les propriétés d'une notion fondatrice, le [[groupe de Galois]]. Un théorème clé, comme celui de l'[[théorème de l'élément primitif|élément primitif]] s'exprime en termes de polynôme minimal.
La [[théorie algébrique des nombres]] étudie les [[entier algébrique|entiers algébriques]]. Ils se définissent à l'aide d'un polynôme minimal. Son analyse permet d'expliciter les propriétés d'outils de l'arithmétique comme le [[forme trace|discriminant]] d'un anneau, la [[norme (arithmétique)|norme]] d'un [[extension algébrique|nombre algébrique]] ou la [[forme trace]]. Les propriétés d'un '''polynôme minimal d'un entier algébrique''' sont utilisés pour la démonstrations de nombreux résultats, comme la structure du [[groupe des classes d'idéaux]] ou le [[théorème des unités de Dirichlet]]. Un exemple relativement simple d'utilisation est celui des [[entier quadratique|corps quadratique]]s cadre d'étude des nombres algébriques inclus dans une [[extension quadratique]].
''Il existe une notion connexe, en algèbre linéaire appelé [[polynôme minimal d'un endomorphisme]].''
== Définition ==
Ici ''K'' désigne un corps et ''L'' une [[extension de corps|extension]] de ''K'', c'est à dire un corps contenant ''K''. Les lettres ''C'', ''R'' et ''Q'' désignent respectivement les corps des [[nombre complexe|complexes]], [[nombre réel|réels]] et [[nombre rationnel|rationnels]].
:* Soit ''l'' un élément de ''L'', le '''polynôme minimal''' du nombre ''l'' est le polynôme unitaire, s'il existe de plus bas degré à coefficients dans ''K'' admettant ''l'' pour [[racine d'un polynôme|racine]].
:* Un élément ''l'' de ''L'' est dit '''[[extension algébrique|algébrique]]''' sur ''K'' si et seulement s'il possède un polynôme minimal.
Le nombre [[Pi|π]] + ''i'' de l'ensemble ''C'' est algébrique si ''C'' est considéré comme une extension de ''R''. En effet, son polynôme minimal existe et est égal à : ''X''<sup>2</sup> -2π X + π<sup>2</sup> - 1. Tout réel est algébrique sur ''C'', ce résultat est connu sous le nom de [[théorème de d'Alembert-Gauss]]. [[Ferdinand von Lindemann]] <small>([[1852 en science|1852]] [[1939 en science|1839]])</small> montre<ref>F. Lindemann Über die Zahl π ''Mathematische Annalen'' 20 1882 pp 213-225</ref> que π n'est pas un nombre algébrique sur les rationnels. En conséquence, π + ''i'' n'admet pas de polynôme minimal dans ''Q''. En revanche, ''i'' l'[[unité imaginaire]] et
√2 possèdent des polynômes minimaux dans ''Q'', ils sont respectivement égaux à ''X''<sup>2</sup> + 1 et ''X''<sup>2</sup> - 2.
== Contexte ==
=== Motivation ===
{{Article détaillé|théorie de Galois}}
[[Image:evariste galois.jpg|thumb|right|[[Évariste Galois]] est à l'origine d'une théorie mettant en évidence les conséquences des propriétés des polynômes minimaux.]]
En [[1801 en science|1801]], [[Carl Friedrich Gauss]] <small>([[1777 en science|1777]]-[[1855 en science|1855]])</small> étudie le polynôme minimal à coefficients rationnels de la [[racine de l'unité|racine n<sup>ième</sup> de l'unité]] dans le corps des [[nombre complexe|complexes]]<ref>[[Carl Friedrich Gauss]] ''Recherches arithmétiques'' trad. française des Disquisitiones arithmeticae par A.-C.-M. Poullet-Delisle section V<sup>ième</sup> Art 336-366</ref> et lui donne le nom de [[polynôme cyclotomique]]. Cette approche est fructueuse, l'étude de son degré ainsi que des opérations réalisables sur les racines mettent en évidence des propriétés de ces racines. Il en conclut par exemple que l'heptadécagone, c'est à dire le [[polygone]] régulier à 17 cotés est [[construction à la règle et au compas|constructible à la règle et au compas]].
Cette approche est généralisée<ref>[[Évariste Galois|Evariste Galois]], ''Manuscrit de Galois'' dans Journal des mathématiques pures et appliquées, [[1846 en science|1846]]</ref> par [[Évariste Galois]] <small>([[1811 en science|1811]] - [[1832 en science|1832]])</small>. Il étudie systématiquement les extensions ''K'' contenant toutes les racines d'un polynôme irréductible ''P''[''X''] à coefficients rationnels. Un tel polynôme est le polynôme minimal de chacune des racines. Il étudie ainsi le problème de l'extraction de racine par radical (c'est à dire une racine n<sup>ième</sup> d'un rationnel) d'un polynôme irréductible.
En termes contemporains, une telle démarche permet de disposer de résultats provenant de quatre structures algébriques différentes. Le corps ''K'' peut être vu comme un espace vectoriel, si ''k'' est un élément du corps, l'application de ''K'' dans ''K'', qui à ''x'' associe ''k''.''x'' est un [[endomorphisme]] de ''K'', vu comme un ''Q'' espace vectoriel, son polynôme minimal au sens des endomorphisme correspond au polynôme minimal de l'entier algébrique ''k'', l'algèbre linéaire est disponible avec une telle approche. Il est relativement facile de constater que tout [[automorphisme]] de ''K'' permutent les racines de ''P''[''X''], ils forment donc un groupe fini isomorphe à un sous-groupe des permutations des racines. Un tel groupe porte le nom de [[groupe de Galois]] et la [[théorie des groupes]] offrent des théorèmes pour mieux comprendre une telle structure. Enfin, l'anneau des polynômes à coefficients dans ''Q'' dispose de propriétés fortes, il est par exemple euclidien. Cette richesse permet à Galois d'offrir une nouvelle formulation du [[théorème d'Abel]], donnant une condition nécessaire et suffisante pour qu'un polynôme soit résoluble par radical.
Le polynôme minimal est à l'origine de la définition de ''K'', il dispose de nombreuses propriétés provenant de l'algèbre linéaire, des propriétés du corps ''K'' ou encore du groupe de Galois.
=== Théorie algébrique des nombres ===
{{Article détaillé|théorie algébrique des nombres}}
[[Image:Leonhard Euler 2.jpg|200 px|left|thumb|Leonhard Euler est un précurseur. Il comprend l'intérêt de nombres ayant un polynôme minimal à coefficients entiers. Une maitrise insuffisante des structures maintenant appelées [[anneau (mathématiques)|anneau]] conduit néanmoins à glisser une erreur dans sa démonstration.]]
L'intérêt pour le polynôme minimal possède aussi une autre origine. La résolution de certaines [[équation diophantienne|équations diophantiennes]] comme celle des [[théorème des deux carrés de Fermat|deux carrés]] est simplifiée si un nouvel anneau est utilisé. Gauss découvre à cette occasion<ref>[[Carl Friedrich Gauss]] ''Recherches arithmétiques'' trad. française des Disquisitiones arithmeticae par A.-C.-M. Poullet-Delisle 1801 article 182</ref> les [[entier de Gauss|entiers portant maintenant son nom]]. Ils correspondent aux complexes de la forme α + ''i''.β, où α et β sont des entiers naturels. Si ''p'' est un [[nombre premier]] [[anneau Z/nZ|congru]] à 1 modulo 4, alors il existe un [[homomorphisme|morphisme]] de l'anneau des entiers de Gauss, vers ''Z''/''pZ''. Le noyau de ce morphisme est un [[idéal]] [[idéal principal|principal]] de générateur un nombre α + ''i''.β tel que α<sup>2</sup> + β<sup>2</sup> est égal à ''p'', ce qui permet de résoudre l'équation.
Une démarche de cette nature possède un célèbre antécédent, [[Leonhard Euler]] <small>([[1707]] - [[1783]])</small> utilise les nombre de la forme α + ''i''√3.β pour tenter de [[Démonstrations du dernier théorème de Fermat|démontrer le dernier théorème de Fermat]] pour ''n'' = 3. Il annonce<ref>H. M. Edwards ''Fermat's Last Theorem: A Genetic Introduction to Algebraic Number Theory'' Springer 3<sup>ème</sup> Ed 2000 {{ISBN|0387950028}}</ref> à [[Goldbach]] en [[1753]] qu'il a enfin trouvé une solution. Elle se révèle fausse<ref>[[Leonhard Euler]] ''Algèbre'' 1770</ref>, il suppose implicitement que l'anneau considéré est [[anneau euclidien|euclidien]]. Ce n'est pourtant pas le cas, comme le montre l'égalité suivante :
<center><math>2.2 = (1 + i\sqrt 3)(1 - i\sqrt 3)\;</math></center>
Les trois nombres utilisés n'ont pas de diviseurs autre que 1 ou le nombre lui-même (à un [[groupe des unités|nombre inversible]] près). [[Ferdinand Eisenstein]] <small>([[1823 en science|1823]] [[1852 en science|1852]])</small> finit par trouver le bon anneau d'entiers équivalent, il est formé des [[entier d'Eisenstein|nombres de la forme α + ''j''.β]] où ''j'' désigne une racine cubique de l'unité.
La ''bonne définition'' d'un entier algébrique d'une extension finie de ''Q'' est celle des nombres dont les coefficients du polynôme minimal sont des entiers naturels. Cet ensemble forme un anneau. Si dans le cas général, il n'est pas euclidien, il possède néanmoins suffisamment de propriétés pour permettre de bâtir une théorie. L'anneau est dit de [[anneau de Dedekind|Dedekind]]. Si l'anneau n'est en général ni euclidien ni factoriel, le passage à la notion d'[[idéal fractionnaire]] montre que tout idéal est le produit, d'une manière unique d'[[idéal premier|idéaux premiers]]. Cette propriété est fondatrice de la théorie algébrique classique des nombres, elle remplace la [[théorème fondamental de l'arithmétique|décomposition en facteurs premiers]] perdue dans le cas général.
Le polynôme minimal est ainsi l'outil de définition d'un entier algébrique. Ses propriétés, dérivées de l'arithmétique, l'algèbre linéaire et la théorie de Galois, sont utilisées pour établir les théorèmes clé de la théorie comme celui [[théorème des unités de Dirichlet|de Dirichlet]] ou celui sur le [[groupe des classes d'idéaux]].
== Théorie de Galois ==
=== Propriétés élémentaires ===
{{Article détaillé|Extension algébrique}}
Ici ''K'' est un corps, ''L'' une extension de ''K'' et ''m'' un élément de ''L''.
La structure euclidienne de ''K''[''X''] permet d'établir une première propriété :
:* ''Soit ''P''[''X''] un polynôme irréductible et unitaire de ''K''[''X''], alors il existe une extension ''E'' de ''K'' de dimension le degré ''n'' de ''P''[''X''] contenant un élément ''e'' tel que ''P''[''X''] soit le polynôme minimal de ''E''.''
En effet, l'idéal engendré par ''P''[''X''] est [[idéal maximal|maximal]] car ''P''[''X''] n'admet pas d'autre diviseurs que 1 et lui-même (à un facteur multiplicatif près). Le [[anneau quotient|quotient]] de ''K''[''X''] par cet idéal est un corps. Si ''e'' désigne la classe de ''X'' dans ce corps, ''e'' est racine de ''P''[''X'']. La dimension de cette extension est égal au degré de ''P''[''X''] car 1, ''e'', ..., ''e''<sup>n-1</sup> est une [[base (algèbre linéaire)|base]] du quotient. L'ensemble des polynômes à coefficients dans ''K'' admettant ''e'' pour racine est un idéal de ''K''[''X''], il contient ''P''[''X'']. Comme ''K''[''X''] est [[idéal principal|principal]] car euclidien, l'idéal est engendré par un polynôme, de degré minimal, non constant et qui divise ''P''[''X'']. Ce polynôme est nécessairement ''P''[''X''] car il est irréductible.
L'algèbre linéaire permet d'établir quelques propriétés sur les polynômes minimaux. Supposons que ''m'' soit algébrique sur ''K'', c'est à dire qu'il possède un polynôme minimal à coefficients dans ''K''.
:* ''La dimension ''n'' de la plus petite extension contenant ''m'' est égal au degré du polynôme minimal ''M''[''X''].''
Il suffit de remarquer que 1, ''m'', ..., ''m''<sup>n-1</sup> est une base de la plus petite extension.
:* Si ''m'' est élément d'une extension finie ''E'' sur ''K'' (c'est à dire de dimension finie), alors il admet un polynôme minimal à coefficients dans ''K''.
L'application ''f'' de ''E'' dans ''E'' qui à ''x'' associe ''m.x'' est un endomorphisme. Tout endomorphisme sur un espace vectoriel de dimension fini possède un polynôme minimal et en particulier ''f''. Le polynôme minimal de l'endomorphisme ''f'' est par construction le polynôme minimal du nombre algébrique ''m''.
:* Si ''m''<sub>1</sub> et ''m''<sub>2</sub> sont deux entiers algébriques, alors ''m''<sub>1</sup>.''m''<sub>2</sub> et ''m''<sub>1</sub> + ''m''<sub>2</sub> admettent des polynômes minimaux à coefficients dans ''K''. Si ''m''<sub>1</sub> est inversible, alors ''m''<sub>1</sub><sup>-1</sup> l'est aussi.
:* Soit ''E'' une extension finie de ''K'' et si ''m'' admet un polynôme minimal à coefficients dans ''E'', il admet aussi un polynôme minimal à coefficients dans ''K''.
Les deux dernières propriétés sont démontrés dans l'article détaillé.
=== Extension séparable ===
{{Article détaillé|extension séparable}}
Un polynôme est dit séparé s'il admet autant de racines distincts que son degré. Il est donc scindé. S'il existe toujours une extension contenant toutes les racines d'un polynôme minimal, il n'est pas nécessairement séparable. Il peut en effet posséder des racines multiples. Tel n'est pas le cas si le corps est [[corps parfait|parfait]], par exemple si ''K'' est fini ou de [[caractéristique d'un anneau|caractéristique]] nulle. Les extensions séparables possèdent des propriétés supplémentaires importantes. Dans le cas général la proposition suivante est vraie :
:* ''Soit ''E'' une extension finie de ''K'' et ''e'' un élément de ''E'', le degré du polynôme minimal ''n'' de ''e'' à coefficients dans ''K'' divise la dimension de ''E''.
Cette propriété est démontrée dans l'article [[Extension algébrique]]. Elle permet par exemple de démontrer que la [[trisection de l'angle]] ou la [[duplication du cube]] est en général impossible à la règle est au compas ''(cf l'article [[Tour d'extension quadratique]]).
Une propriété plus forte est vraie si l'extension est séparable :
:* ''Soit ''E'' une extension séparable et finie, alors il existe un élément ''e'' dont le polynôme minimal sur ''K'' est de degré la dimension de ''E''.''
L'élément engendre l'extension. Ce résultat est connu sous le nom de [[théorème de l'élément primitif]].
=== Groupe de Galois ===
{{Article détaillé|Groupe de Galois}}
Le groupe de Galois ''G'' est formée de l'ensemble des automorphismes de ''L'' laissant invariants ''K''. Si σ est un élément du groupe de Galois de ''L'' et ''P''[''X''] le polynôme minimal de ''m'', alors σ(''m'') est aussi une racine de ''P''[''X'']. En effet, les propriétés de morphisme des membres du groupe de Galois montrent que :
<center><math>P[\sigma(m)] = \sigma_i(P[m]) = \sigma_i(0) = 0\;</math></center>
Les propriétés sont plus fortes si ''L'' est une [[extension de Galois|extension galoisienne]]. Une extension galoisienne, si ''L'' est de dimension finie est une extension séparable et dont le groupe de Galois contient autant d'éléments que la dimension de ''L''. Dans le cas général une extension galoisienne est une extension séparable tel que tout automorphisme d'une extension de ''L'' laissant invariant ''K'' laisse aussi ''globalement'' invariant ''L'' (c'est à dire que l'image de ''L'' par l'automorphisme est égal à ''L'').
Supposons que ''L'' soit une extension finie galoisienne de dimension ''d'' en tant que ''K'' espace vectoriel et notons σ<sub>1</sub>, σ<sub>2</sub>, ..., σ<sub>d</sub> les différents éléments de ''G''. Alors le polynôme ''P''[''X''] est scindé dans ''L'' et ne contient aucune racine multiple. De plus, pour toute racine ''r'' de ''P''[''X''], il existe au moins un entier ''i'' entre 1 et ''d'' tel que σ<sub>i</sub>(''m'') est égal à ''r''. Plus précisément :
:* ''Il existe un entier ''n'' tel que l'égalité polynomiale suivante soit vraie :
<center><math>P^n[X] = \prod_{i=1}^d \Big(X - \sigma_i(m)\Big)</math></center>
La valeur ''n'' est égal au rapport entre l'ordre du groupe ''G'' et le degré de ''P''[''X''].
{{boîte déroulante début|align=left|titre=Démonstration}}
En effet, le polynôme de droite est invariant par le groupe de Galois car la composée par un élément d'un groupe est une permutation des éléments du groupe. Les seuls éléments invariants par le groupe le Galois est ''K'' ''(cette propriété est démontrée dans l'article détaillé)''. Le polynôme de droite est un polynôme à coefficients dans ''K'' et annulant ''m'' donc multiple du polynôme minimal. Soit ''H'' le sous-groupe de ''G'' laissant invariant ''K''[''m''], le plus petit corps de ''L'' contenant ''K'' et ''m'' et appelé [[corps de rupture]]. Soit ''K'' l'ensemble des classes à droite du quotient de ''G'' par ''H''. Si ''K'' n'est en général pas un sous-groupe car ''H'' n'est pas nécessairement [[sous-groupe distingué|distingué]], ''K'' forme une partition de ''H'' et si ''k''<sub>r</sub> est le représentant d'une classe, alors la translation à gauche de ''k''<sub>r</sub> est une bijection de ''H'' dans la classe de ''k''<sub>r</sub>. Si ''K''<sub>r</sup> est un ensemble contenant un unique représentant pour chaque classe de ''K'' et ''n'' désigne l'ordre de ''H'', on a :
<center><math>\prod_{h\in H}\prod_{k_r\in K_r} \Big(X - \sigma_{k_rh}(m)\Big)=\prod_{h\in H}\prod_{k_r\in K_r}\Big(X - \sigma_{k_r}(\sigma_h(m))\Big)=\left(\prod_{k_r\in K_r}\Big(X - \sigma_{k_r}(m)\Big)\right)^n=Q^n[X]</math></center>
On en déduit les égalités suivantes :
<center><math>\prod_{i=1}^d \Big(X - \sigma_i(m)\Big)=Q^n[X]\quad \text{si}\quad Q[X] = \prod_{k_r\in K_r}\Big(X - \sigma_{k_r}(m)\Big)</math></center>
Puisque ''Q''<sup>n</sup>[X] admet ''m'' pour racine, il en est de même pour ''Q''[''X'']. On remarque que la composée du polynôme ''Q''[''X''] par un élément du groupe de Galois donne un produit sur un autre jeu de représentants pour chaque classe de ''K'' et donc est invariant par cet élément. Comme ''Q''[''X''] est invariant par tous les éléments du groupe de Galois, c'est un polynôme de ''K''[''X'']. Toutes les racines de ''Q''[''X''] sont des racines de ''P''[''X''], le polynôme ''Q''[''X''] divise ''P''[''X''], le seul polynôme unitaire ayant ''m'' pour racine et divisant ''P''[''X''] est ''P''[''X''], on en déduit que les deux polynômes sont confondus.
{{Boîte déroulante fin}}
== Outils issus de l'algèbre linéaire ==
Dans tout ce paragraphe, on suppose que l'extension ''L'' est finie et galoisienne.
=== Théorème de Cayley-Hamilton ===
{{Article détaillé|Théorème de Cayley-Hamilton}}
L'algèbre linéaire offre de nombreux outils, une remarque permet de les utiliser. ''L'' est un espace vectoriel sur ''K'', l'application φ<sub>m</sub> de ''L'' dans ''L'' qui à ''x'' associe ''m.x'' est un [[endomorphisme]]. Son [[polynôme minimal d'un endomorphisme|polynôme minimal]] en tant qu'endomorphisme est le même que celui du nombre algébrique ''m''.
Soit ''P''[''X''] le polynôme minimal de ''m'' dans ''K'' et ''K''[''m''] le corps de rupture de ''P''[''X''] contenant ''m''. Le corps ''L'' est un ''K''[''m''] espace vectoriel soit ''n'' sa dimension et (''l''<sub>1</sub>, ... ''l''<sub>n</sub>) une base de ''L'' en tant que ''K''[''m''] espace vectoriel. Tout vecteur ''l'' de ''L'' s'exprime comme une combinaison linéaire des éléments de la base avec des coefficients dans ''K''[''m''], c'est à dire s'exprimant comme l'image de polynômes de degré inférieur ou égal à ''d'' le degré de ''P''[''X''] :
<center><math>\forall l \in \mathbb L,\;\exists P_j[X] \in \mathbb K[X] \quad / \quad l = \sum_{i=j}^nP_j[m].l_j \quad \text{avec}\quad
\text{deg } (P_j[X]) < d</math></center>
On en déduit que la famille (''m''<sup>i</sup>.''l''<sub>j</sub>) si ''i'' varie de 0 à ''d'' - 1 et ''j'' de 1 à ''n'' forme une base de ''L'' en tant que ''K'' espace vectoriel.
Dans ces bases l'expression matricielle de φ<sub>m</sub> et de sa restriction à ''K''[''m''] est simple. Soit M<sub>K[m]</sub> la matrice de la restriction de φ<sub>m</sub> à ''K''[''m''] dans la base (1, ''m'', ... ''m''<sup>d-1</sup>), on a :
<center><math>P[X] = a_0 + a_1X + \cdots + a_dX^d \quad \text{et}\quad M_{\mathbb K[m]}=
\begin{pmatrix} 0 & \cdots & \cdots & -a_0 \\ 1 & 0 & \cdots & -a_1 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 1 & -a_{d-1}
\end{pmatrix}</math></center>
On en déduit la proposition suivante :
:* ''Sur son corps de rupture, le polynôme minimal et le [[polynôme caractéristique]] de φ<sub>m</sub> sont confondus.''
Dans ''L'', on obtient une expression matricielle ''M''<sub>L</sub> en matrices blocs analogue à la [[réduction de Jordan]], ainsi que celle du polynôme caractéristique χ[''X''] :
<center><math> M_{\mathbb L} =
\begin{pmatrix}
M_{\mathbb K[m]} & 0 & \cdots & 0 \\
0 & M_{\mathbb K[m]} & \ddots & \vdots \\
\vdots & \ddots & \ddots & 0 \\
0 & \cdots & 0 & M_{\mathbb K[m]} \\
\end{pmatrix}</math></center>
Ce résultat fournit une preuve, dans un cas particulier du théorème de Cayley-Hamilton, ainsi que l'égalité suivante :
<center><math>\chi[X] = (-1)^n P^n[X]\quad \text{et}\quad \chi[X] =\prod_{i=1}^d \Big(\sigma_i(m) - X\Big)</math></center>
Ici la famille (σ<sub>1</sub>, σ<sub>2</sub>, ..., σ<sub>d</sub>) décrit les éléments du groupe de Galois.
=== Norme ===
{{Article détaillé|Norme (arithmétique)}}
Dans ce paragraphe ''L'' est de dimension finie ''d'' en tant que ''K'' espace vectoriel, ''l'' est un élément de ''L'' et φ<sub>l</sub> désigne l'endomorphisme du ''K'' espace vectoriel ''L'' qui à ''x'' associe ''l.x''.
L'algèbre linéaire fournit des outils supplémentaires à la théorie de Galois et à la théorie algébrique des nombres. La norme est un exemple.
La '''norme relative''' à ''L'' dans ''K'' de ''l'' correspond au [[déterminant (mathématiques)|déterminant]] de l'endomorphisme φ<sub>l</sub>. Elle est en général notée ''N''<sub>L/K</sub>(''l''). Avec les notations précédentes, si l'extension est galoisienne, elle vérifie :
<center><math>\mathcal N_{\mathbb L/\mathbb K}(l) = \prod_{i=1}^d \sigma_i(l)</math></center>
En effet, le déterminant est égal au coefficient constant du polynôme caractéristique calculé précédemment. Par définition, elle prend ses valeurs dans ''K''.
A la différence de la norme relative, la '''norme''' est indépendante de l'extension. Elle correspond au déterminant précédent si ''L'' est le [[corps de rupture]] de ''l''. Si ''D'' est le corps de décomposition de ''l'' et si ''G'' désigne son groupe de Galois, l'égalité suivante est vérifiée :
<center><math>\mathcal N(l) = \prod_{g\in G} g(l)</math></center>
Les résultats précédents montrent que si ''n'' est la dimension de ''D'' en tant que ''L'' espace vectoriel, la norme à la puissance ''n'' est égale à la norme relative. La norme est aussi un élément de ''K''.
=== Forme trace ===
{{Article détaillé|Forme trace}}
La trace est une application un peu de même nature que la précédente. La '''trace''' de ''L'' sur ''K'' de l'élément ''l'' est égal à la [[Trace (algèbre)|trace]] de l'endomorphisme φ<sub>l</sub>. La trace d'un élément ''l'' est donc égale au coefficient sous dominant du polynôme minimal. L'application qui à deux éléments ''a'' et ''b'' de ''L'' associe la trace de ''a.b'' est appelée forme trace. Elle joue un rôle important en [[théorie algébrique des nombres]], par exemple pour définir le discriminant.
=== Anneau des entiers algébriques ===
{{Article détaillé|Entier algébrique}}
Il est possible de définir le polynôme minimal dans un cadre plus vaste que le précédent. Soit ''A'' et ''B'' deux anneaux commutatifs unitaires et intègres, tel qu'il existe un morphisme ψ de ''A'' vers ''B''. Souvent le morphisme est injectif et ''A'' est un sous anneau de ''B''.
La donnée de ce morphisme permet de considérer ''B'' comme un ''A'' module. la multiplication externe d'un élément ''a'' par un élément ''b'' est donnée par ''a''.''b'' = ψ(''a'').''b''. On vérifie bien qu'une telle structure confère à ''B'' le statut de ''A'' module. La multiplication interne de ''B'' permet de considérer cet ensemble comme une ''A'' [[algèbre sur un anneau]].
:* Le '''polynôme minimal''' d'un élément ''b'' de ''B'' est un polynôme ''P''[''X''] de ''A''[''X''] unitaire tel que ψ(''P''[''b'']) est égal à zéro.
Si ''P''[''X''] = ''a''<sub>0</sub> + ''a''<sub>1</sub>''X'' + ... + ''X''<sup>n</sup>, alors ψ(''P''[''b'']) = ψ(''a''<sub>0</sub>) + ψ(''a''<sub>1</sub>)''b'' + ... + ''b''<sup>n</sup>. On encore avec la notation associée à un ''A'' module ''P''[''b''] = ''a''<sub>0</sub> + ''a''<sub>1</sub>''b'' + ... + ''b''<sup>n</sup>.
:* Un élément de ''b'' admettant un polynôme minimal à coefficients dans ''A'' est dit '''entier dans ''A''.'''
Un exemple important est celui où ''A'' est égal à ''Z'' et ''B'' est une extension de ''Q''. Les entiers de ''Q'' si l'anneau ''A'' est égal à ''Z'' est l'ensemble ''Z'' lui même. Le cas où ''B'' est égal à ''Q''[''i''] est traité dans l'article [[Entier de Gauss]], le cas où ''B'' est égal à ''Q''[''j''], si ''j'' désigne une racine cubique de l'unité dans l'ensemble des complexes est traité dans l'article [[Entier d'Eisenstein]], le cas ''Q''[√5] dans [[Entier de Dirichlet]]. Le cas général des entiers des [[extension quadratique|extensions quadratiques]] de ''Q'' dans [[entier quadratique|corps quadratique]].
Un propriété importante est le fait que si ''b''<sub>1</sub> et ''b''<sub>2</sub> sont deux éléments de ''B'' entiers dans ''A'' alors ''b''<sub>1</sub> + ''b''<sub>2</sub>, ''b''<sub>1</sub>.''b''<sub>2</sub> et -''b''<sub>1</sub> admettent des polynômes minimaux dans ''A''. Ainsi l'ensemble des entiers de ''B'' forme un anneau.
:* ''Les quatre conditions suivantes sont équivalentes :''
#''L'élément ''b'' admet un polynôme minimal.''
#''La A-algèbre ''A''[''b''] possède une [[famille génératrice]] finie.''
#''Il existe une sous-algèbre ''C'' de ''B'' contenant ''b'' et possédant une famille génératrice finie.''
#''Il existe un existe un sous-A module ''D'' de ''B'' stable par multiplication par ''b'', contenant un élément qui n'est pas diviseur de zéro et possédant une famille génératrice finie.''
Le terme famille génératrice est pris ici au sens de ''A'' module. Cela signifie que tout élément de la sous-algèbre est combinaison linéaire de la famille, avec des coefficients choisis dans ''A''.
Ainsi, si ''b''<sub>1</sub> et ''b''<sub>2</sub> admettent chacun un polynôme minimal, il existe deux familles génératrices finies générant chacune une sous-algèbre contenant l'une ''b''<sub>1</sub> et l'autre ''b''<sub>2</sub>. La famille composée des produits d'un élément de chaque famille est une sous algèbre admettant une famille génératrice finie et contenant ''b''<sub>1</sub> + ''b''<sub>2</sub>, ''b''<sub>1</sub>.''b''<sub>2</sub> et -''b''<sub>1</sub>, ce qui montre que ces éléments sont des entiers sur ''A'' et permet d'énoncer la propriété suivante :<ref>Les démonstrations proviennent du site [http://perso.univ-rennes1.fr/laurent.moret-bailly/docpedag/polys/tano04.pdf Cours de maîtrise de mathématiques : Théorie algébrique des nombres] B. Edixhoven, L. Moret-Bailly Université de Rennes 1</ref>
:* ''L'ensemble des éléments de ''B'' entiers sur ''A'' forme un anneau.''
{{boîte déroulante début|align=left|titre=Démonstrations}}
:* '''(1) => (2) :'''
Tout élément <math>\beta</math> de ''A''[''b''] s'exprime comme l'image d'un polynôme ''Q''[''X''] en ''b'' : β = ''Q''[''b'']. Comme le polynôme minimal ''P''[''X''] de ''b'' est unitaire, il est possible de réaliser une [[division euclidienne]] de ''Q''[''X''] par ''P''[''X''] et il existe deux polynôme ''D''[''X''] et ''R''[''X''] de ''A''[''X''] tel que, si ''n'' désigne le degré de ''P''[''X''] :
<center><math>Q[X] = P[X]\cdot D[X] + R[X],\;\text{avec}\quad \text{deg}(R[X]) < n\;</math></center>
On remarque que ''P''[''b''] est égal à 0 car ''P''[''X''] est le polynôme minimal de ''b''. On en déduit que β est égal à ''R''[''b''], autrement dit β est combinaison linéaire de la famille : (1, ''b'', ..., ''b''<sub>n-1</sub>). Cette famille est génératrice de ''A''[''b''], comme elle est finie, la proposition ''(2)'' est établie.
:* '''(2) => (3) :'''
Il suffit de choisir ''A''[''b''] pour sous-algèbre ''C''.
:* '''(3) => (4) :'''
La sous-algèbre ''C'' est stable par multiplication par ''b'' car ''b'' est un élément de ''C'', ''C'' contient 1 : un élément qui n'est pas diviseur de zéro. Enfin elle possède une famille génératrice finie par hypothèse. Il suffit de choisir ''C'' comme sous-A module ''D''.
:* '''(4) => (1) :'''
Soit (d<sub>j</sub>) pour ''j'' variant de 1 à ''n'' une famille génératrice ''G'' de ''D''. Pour tout ''j'', ''b.d''<sub>j</sub> est un élément de ''D'' et s'exprime comme une combinaison linéaire de ''G'' à coefficients dans ''A'' :
<center><math>\forall j \in [1, n],\; \exists (a_{ij})\in \mathbb A^n \quad \text{tel que }bd_j = \sum_{j=1}^n a_{ij}d_j</math></center>
Hélas, la matrice (''a''<sub>ij</sub>) ne peut être considérée comme celle de φ<sub>b</sub>, l'endomorphisme de ''D'' qui à ''x'' associe ''b.x''. La famille ''G'' n'est pas nécessairement libre. Considérons l'endomorphisme α de ''A''<sup>n</sup> de matrice (''a''<sub>ij</sub>) dans sa base canonique et γ l'application linéaire de ''A''<sup>n</sup> dans ''D'' qui, à la base canonique de ''A''<sup>n</sup> associe la famille ''G''. On a l'égalité :
<center><math>\varphi_b\circ\gamma=\gamma\circ\alpha\quad\text{et}\quad \alpha = \gamma^{-1}\circ\varphi_b\circ\gamma</math></center>
Notons χ[''X''] le polynôme caractéristique de α. Le théorème de Cayley-Hamilton montre qu'il annule α, on en déduit que :
<center><math>\chi[\gamma^{-1}\circ\varphi_b\circ\gamma] = 0</math></center>
Il existe un élément ''c'' qui n'est pas diviseur de zéro. il s'exprime comme combinaison linéaire de la famille ''G'', soit (c<sub>j</sub>) les coefficients de cette combinaison linéaire et p<sub>i</sub> le coefficient du monôme de degré ''i'' de χ[''X'']:
<center><math>\chi[\gamma^{-1}\circ\varphi_b\circ\gamma]((c_j))=0\Rightarrow \sum_i p_i \gamma^{-1}\circ\varphi_b^i\circ\gamma ((c_j)))=0 \Rightarrow \gamma^{-1}(\sum_i p_i b^i.c) =0 \Rightarrow \chi(b).c = 0</math></center>
Le fait que ''c'' ne soit pas diviseur de zéro montre que χ[''X''] est un polynôme annulant ''b'', unitaire au facteur (-1)<sup>n</sup> près et à coefficients dans ''A''. χ[''X''] est bien le polynôme minimal recherché.
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== Voir aussi ==
=== Notes ===
<references />
=== Liens externes ===
==== Galois ====
* {{fr}} [http://serge.mehl.free.fr/anx/corps_nb_alg.html Corps de nombres algébriques] par S. Mehl
* {{fr}} [http://perso.univ-rennes1.fr/bernard.le-stum/Documents/galois.pdf Le théoreme fondamental de la théorie de Galois] par B. le Stum Université de Rennes 1 2001
* {{fr}} [http://www.institut.math.jussieu.fr/dea/aa/dea01-02/Galois.pdf Un cours de DEA sur la théorie de Galois] par Alain Kraus Université de Paris VI 1998
* {{fr}} [http://agreg-maths.univ-rennes1.fr/documentation/docs/agreg-tr.pdf Trace, formes quadratiques et extensions de corps] par Y Coudene de l'Université de Renne 1 2003
==== Arithmétique ====
* {{fr}} [http://perso.univ-rennes1.fr/laurent.moret-bailly/docpedag/polys/tano04.pdf Cours de maîtrise de mathématiques : Théorie algébrique des nombres] B. Edixhoven, L. Moret-Bailly Université de Rennes 1
* {{fr}} [http://archive.numdam.org/ARCHIVE/BSMF/BSMF_1928__56_/BSMF_1928__56__7_0/BSMF_1928__56__7_0.pdf Sur l'arithmétique du corps de tous les nombres algébriques] par E. Cahen (1928)
=== Références ===
==== Galois ====
* {{fr}} R. et [[Adrien Douady|A. Douady]] ''Algèbre et théories galoisiennes'' Cassini 2005 — ISBN 2-84225-005-2
* {{en}} E. Artin ''Galois Theory'' Notre Dame Press, Londres 1971
* {{en}} J. Bewersdorff ''Galois Theory for Beginners: A Historical Perspective'', AMS 2006
==== Arithmétique ====
* {{fr}} {{Samuel1}}
* {{fr}} {{Serre1}}
* {{fr}} {{Lang1}}
{{Mathématiques}}
[[Catégorie:Théorie de Galois]]
[[Catégorie:Polynôme]]
[[en:Minimal polynomial (field theory)]]