Principe fondamental de la dynamique
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2008-07-16T07:14:55Z
Pamputt
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Le '''principe fondamental de la dynamique''', ou '''PFD''', dérive de la [[Lois du mouvement de Newton#Seconde loi de Newton ou principe fondamental de la dynamique de translation|deuxième loi de Newton]]. On parle aussi parfois de la '''relation fondamentale de la dynamique''', ou '''RFD'''. On peut aussi le voir comme découlant du [[Principe des Puissances Virtuelles|principe des puissances virtuelles]] qui en est une formulation [[Dualité_(mathématiques)|duale]].
== Principe fondamental de la dynamique en translation ==
Il s'agit de la deuxième loi de Newton. Elle s'énonce ainsi :
: Soit un corps de masse ''m'' constante, l'[[accélération]] subie par un corps dans un référentiel galiléen est proportionnelle à la résultante des forces qu'il subit, et inversement proportionnelle à sa masse ''m''.
Ceci est souvent récapitulé dans l'équation :
:<math> \vec{a} = \frac{1}{m} \sum{\vec{\mathrm{F}}_i} </math>
: — ou —
:<math>\sum{\vec{\mathrm{F}}_i} = m \vec{a}</math>
où
* <math>\vec{\mathrm{F}}_i</math> désigne les forces extérieures exercées sur l'objet,
* ''m'' est sa masse, et
* <math>\vec{a}</math> correspond à l'[[accélération]] de son [[centre d'inertie]] G.
Ainsi, la force nécessaire pour accélérer un objet est le produit de sa masse et de son accélération : plus la masse d'un objet est grande, plus grande est la force requise pour l'accélérer à une vitesse déterminée (en un laps de temps fixé). Quelle que soit la masse d'un objet, toute force nette non-nulle qui lui est appliquée produit une accélération.
=== Théorème de la quantité de mouvement ===
Une forme plus générale du PFD, valable également si la masse change au cours du temps est
:''La force est égale aux changements de [[quantité de mouvement]] par unité de temps.''
Ceci est souvent récapitulé dans l'équation :
:<math>\sum{\vec{\mathrm{F}}_i} = \frac{d\vec{p}}{dt}</math>
où
* <math>\vec{\mathrm{F}}_i</math> désigne les forces exercées sur l'objet,
* <math>\vec{p} = m \vec{v}</math> est la [[quantité de mouvement]], égale au produit de sa [[masse]] ''m'' et de sa [[vitesse]] <math>\vec{v}</math>.
Ce théorème est appelé théorème de la quantité de mouvement. Pour un solide de masse fixe en mécanique newtonienne, il est équivalent à la deuxième loi de Newton.
Cette forme est intéressante dans le cas où la masse n'est pas constante, comme par exemple dans le cas de la [[propulsion par réaction]].
=== Principe de d'Alembert ===
On peut aussi écrire le PFD sous la forme :
: <math>\sum{\vec{\mathrm{F}}_i} - m \vec{a} = \vec{0}</math>.
Cela permet une traduction graphique du PFD (voir l'article ''[[Statique graphique]]'') : si l'on met les vecteurs forces bout à bout, on obtient un polygone ouvert (puisque la somme des forces est non nulle) ; le vecteur <math>- m \vec{a}</math> est le vecteur qui ferme le polygone.
On retrouve cette forme en se plaçant dans le référentiel de l'objet étudié : si l'accélération est non nulle, le référentiel n'est plus galiléen (voir [[#Référentiels non-galiléens|ci-après]]), on introduit donc la force d'inertie
: <math>\vec{\mathrm{F}}_{\mathrm{I}} = - m \vec{a} = \frac{d\vec{p}}{dt}</math>
et l'on retrouve le [[principe fondamental de la statique]] (le solide étant immobile dans son propre référentiel)
: <math>\sum{\vec{\mathrm{F}}_i} + \vec{\mathrm{F}}_{\mathrm{I}} = \vec{0}</math>.
L'écriture du PFD sous cette forme facilite la résolution de certains problèmes.
Ceci constitue un cas particulier du [[principe de d'Alembert]] : puisque
: <math>\vec{\mathrm{F}}(x) - \frac{d\vec{p}}{dt} = \vec{0}</math>,
''a fortiori''
: <math>\int_{\mathrm{C}} \left ( \vec{\mathrm{F}}(x) - \frac{d\vec{p}}{dt} \right ) \cdot \delta \vec{r}(x) dx = \vec{0}</math>.
== Principe fondamental de la dynamique en rotation ==
En [[mécanique du solide]], on considère également la rotation d'un solide. Le principe fondamental de la dynamique comporte alors un « volet » sur la rotation :
: Soit un corps de [[moment d'inertie]] par rapport à son centre de gravité J<sub>G</sub> constant, l'[[accélération angulaire]] subie par un corps dans un référentiel galiléen est proportionnelle à la résultante des [[moment d'une force|moments des forces]] qu'il subit, et inversement proportionnelle à son moment d'inertie.
Ceci est souvent récapitulé dans l'équation, pour un axe de rotation passant par G :
:<math> \vec{\alpha} = \frac{1}{\mathrm{J_G}} \sum{\vec{\mathrm{M}}_{\mathrm{G}} (\vec{\mathrm{F}}_i) }</math>,
: — ou —
:<math>\sum{\vec{\mathrm{M}}_{\mathrm{G}} (\vec{\mathrm{F}}_i}) = \mathrm{J_G} \vec{\alpha}</math>,
: — ou encore —
:<math>\sum{\vec{\mathrm{M}}_{\mathrm{G}} (\vec{\mathrm{F}}_i}) - \mathrm{J_G} \vec{\alpha} = \vec{0}</math>.
== Dynamique avec les torseurs ==
On peut résumer le PFD en translation et en rotation avec les [[torseur d'action|torseurs d'action]] et [[torseur dynamique|dynamique]] :
: <math>\sum \{ \mathcal{T}_{\mathrm{ext}} \} = \{ \mathcal{D}\}</math>.
== Référentiels non-galiléens ==
{{Article détaillé|force d'inertie}}
Notons enfin qu'il est possible de reformuler de manière plus large la deuxième loi de Newton dans un référentiel non galiléen en ajoutant des termes dans l'équation qui sont homogènes à des forces, et qu'on appelle souvent « forces d'inertie ». Ces termes ne sont pas des [[force (physique)|force]]s au sens usuel mais des termes correctifs d'origine géométrique et cinématique.
== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
* [[Lois du mouvement de Newton]]
* [[Principe fondamental de la statique]]
{{Portail|Physique}}
[[Catégorie:Dynamique]]