Problème à deux corps
283292
31070801
2008-06-27T14:34:24Z
193.55.10.104
[[Image:Eclipsing binary star animation 2.gif|thumb|étoile binaire]]
Le '''problème à deux corps''', ou '''mouvement képlerien''' est un point de départ de la [[mécanique]] classique, et un sujet essentiel de la [[mécanique céleste]]. Il concerne l'étude du mouvement relatif de deux points matériels <math>M_1</math> et <math>M_2</math> affectés de masses respectives ''m''<sub>1</sub> et ''m''<sub>2</sub> en interaction gravitationnelle. La solution était connue de [[Isaac Newton|Newton]], qui a énoncé la loi fondamentale de la mécanique classique : le résultat est annoncé dans les propositions 57 à 65 de ses ''Principia''.
Si le système est supposé isolé dans l'espace, les points ''M''<sub>1</sub> et ''M''<sub>2</sub> décrivent par rapport au centre de masse des ellipses homothétiques dont l'un des foyers est le centre de masse. Les caractéristiques (excentricité, position du second foyer) s'expriment en fonction de la [[masse réduite]] <math>\mu</math> et de la masse totale. Ce résultat, loin d'être scolaire, est employé dans la détection des planètes extrasolaires.
== Brève explication ==
{{Article détaillé|Mouvement keplerien}}
On pose :
* <math>\vec{r}=\vec{M_1 M_2}</math>
* <math>\vec{F}</math> la force de <math>M_1</math> sur <math>M_2</math>
* <math>C</math> le [[centre de masse]] de <math>M_1</math> et <math>M_2</math>
<math>\mu=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}</math> où <math>m_1,m_2</math> sont les masses respectives des points <math>M_1,M_2</math>
<br />
Les propriétés suivantes sont alors vérifiées :
* <math>\vec{r}=\vec{CM}</math>
* le point <math>M</math> subit la force <math>\vec{F}</math>. En effet, le [[Mécanique du point|principe fondamental de la dynamique]] est vérifié : <math>\mu\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}=\vec{F}</math>
* La [[quantité de mouvement]] de <math>M</math> vaut <math>\vec{P}=\mu\vec{\dot{r}}</math>
Le problème est donc ramené à un [[mouvement à force centrale]], qui a été largement étudié.
== Autre méthode ==
On décide d'étudier le mouvement de M2 dans le référentiel accéléré en translation d'origine M1 : il faut rajouter à la force centrale F(de1/2), la force d'inertie centrale -M2 a1 .
Or M1 a1 = F( de 2/1) = - F( de 1/2) :
Donc le PFD s'écrit : M2 a2 = F(de1/2) + F(1/2).(M2/M1) ; soit <math>\mu</math>.a2 = F( de 1/2) : CQFD.
== Observations astronomiques ==
[[Image:Plutoncharon.jpg|thumb|(134340) Pluton et Charon]]
* les [[Étoile binaire|étoiles binaires]]
* [[(134340) Pluton]] et [[Charon (lune)]]
Dans le cas de systèmes massifs en orbite très resserée, l'approximation newtonienne devient insuffisante pour décrire le mouvement des deux corps, et des effets de [[relativité générale]] doivent être pris en compte. C'est notamment le cas dans les [[pulsar binaire|pulsars binaires]]. L'orbite des deux corps doit alors être décrite en faisant intervenir des paramètres supplémentaires appelés [[paramètre post-képlerien|paramètres post-képleriens]].
{{clr}}
== Illustrations ==
Quelques animations représentants les orbites de deux corps (rond blanc) autour du barycentre (croix rouge).
{|
| valign="top" | [[Image:Orbit1.gif|framed|Deux corps identiques]]
| valign="top" | [[Image:Orbit2.gif|framed|Un corps un peu plus gros que l'autre]]
| valign="top" | [[Image:Orbit3.gif|framed|Un corps plus gros que l'autre]]
|-
| valign="top" colspan="2" | [[Image:Orbit5.gif|framed|center|Deux corps identiques, orbites elliptiques]]
| valign="top" | [[Image:Orbit4.gif|framed|Un corps beaucoup plus gros que l'autre]]
|}
=== Voir aussi ===
* [[Problème à N corps]]
* [[Mouvement à force centrale]]
* [[Cinématique#Mouvement elliptique|Cinématique > Mouvement elliptique]]
* [[Lois de Kepler]]
{{Portail|physique|astronomie}}
[[Catégorie:Physique théorique]]
[[Catégorie:Mécanique céleste]]
[[cs:Problém dvou těles]]
[[de:Zweikörperproblem]]
[[en:Two-body problem]]
[[es:Problema de los dos cuerpos]]
[[he:בעיה דו-גופית]]
[[it:Problema dei due corpi]]
[[ja:二体問題]]
[[pt:Problema dos dois corpos]]
[[ru:Задача двух тел]]
[[sk:Problém dvoch telies]]
[[sl:Problem dveh teles]]
[[sv:Tvåkropparsproblemet]]
[[tr:İki cisim problemi]]
[[zh:二體問題]]