Propagation des ondes 63873 29615368 2008-05-16T01:06:58Z Louperibot 238795 robot Modifie: [[pl:Propagacja (fizyka)]] {{Voir homonymie|propagation}} {{à recycler|physique}} En physique, la '''propagation des ondes''' est un phénomène qui est décrit par l'évolution d'une [[onde]], ou du mouvement d'une [[Particule (physique)|particule]] dans le [[temps]] et l'[[espace]], par rapport à un [[milieu]]. En considérant la direction de propagation de l'onde dans l'espace, on peut distinguer deux types d'ondes : * les ondes longitudinales, * les ondes transversales. Le principal paramètre caractérisant la propagation des ondes est la [[célérité]], c'est-à-dire la vitesse de propagation d'une onde dans un milieu donné. == Conditions de propagation == Certains types d'onde ont besoin d'un milieu matériel pour se propager. Par exemple, le [[onde sonore|son]]<ref>le son est une onde mécanique qui se propage longitudinalement dans un milieu matériel, la [[matière]].</ref> ne se propage pas dans le vide. La propagation d'une onde n'implique pas le déplacement des composants du milieu à grande échelle, mais plutôt leur oscillation. Pour les [[onde mécanique|ondes mécaniques]], ce n'est pas la [[matière]] qui est transportée, mais l'[[énergie]], on parle alors de « transport d'énergie sans transport de matière ». == Vitesse de propagation == {{Article détaillé|Vitesse d'une onde}} La vitesse de propagation d'une onde peut être définie comme la vitesse à laquelle la propagation s'effectue, elle vaut : :<math>c = \lambda \cdot f = \frac{\lambda}{T}</math> où ''λ'' est la [[longueur d'onde]] et ''f'' la [[fréquence]] de l'onde. == Équation d'onde == {{Article détaillé|équation d'onde}} L'équation d'une onde est plus ou moins compliquée suivant le nombre de dimension et le milieu ([[isotropie]], [[homogénéité]]<!-- voir [[en:Homogeneity (physics)]] -->) dans lequel elle se déplace. Notamment des termes peuvent intervenir dans l'équation. La solution peut être une fonction scalaire, mais aussi [[vecteur|vectorielle]], ou [[tenseur|tensorielle]], ou encore [[spineur|spinorielle]]. === Une dimension === Le phénomène de propagation des ondes peut être modélisé par une équation d'onde, c'est-à-dire une [[équation différentielle]] du second ordre. À une dimension, cette équation est donnée par : :<math>\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 0</math> et a pour solution : :<math>u\left(x, t\right) = f(x + ct) + g(x - ct)</math> La solution ''u(x, t)'' est une fonction à deux inconnues ''x'' et ''t'', mais le problème considéré est bien à une seule dimension spatiale, celle de ''x'', la déformation se fait par rapport à ''x''. La fonction ''f(x, t)'' correspond à la propagation de l'onde vers la gauche, et ''g(x, t)'' à la propagation vers la droite. === N dimensions === Dans un espace à n dimensions, l'équation d'onde homogène prend la forme : :<math>c_i^2 \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x_i^2} \right) - \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 0</math>. où <math>u=u(x_1, ..., x_n, t)</math> est une solution à ''n+1'' inconnues. == Ondes longitudinales et transversales == On parle d'onde longitudinale lorsque le phénomène physique s'effectue dans la même [[direction]] que la propagation de l'onde. Les [[onde sonore|ondes acoustiques]], un système de ressort en sont des exemples. Le terme d'onde transversales est employé lorsque le phénomène physique se fait perpendiculaire à la direction de propagation, comme les [[onde électromagnétique|ondes électromagnétiques]] dans le vide, ou les [[vague]]s. == Ondes progressives et ondes stationnaires == {{Voir aussi|onde stationnaire|onde mécanique progressive}} [[Image:onde progressive.gif|thumbnail|right|Onde progressive]] Il est d'usage dans la communauté scientifique de distinguer les ondes progressives des ondes stationnaires. Les ondes progressives, ''avancent'' dans l'espace. Les [[onde stationnaire|ondes stationnaires]], au contraire, oscillent sans se déplacer. Ainsi, elles ne dépendent plus du seul paramètre <math>z-ct</math>, mais des paramètres d'espace <math>z</math> et de temps <math>t</math> de façon indépendante. Une expression simple d'une onde stationnaire harmonique à une dimension est la suivante : :<math>U(z, t)=U_0\cos\left(2\pi \frac {t}{T}\right)\cos\left(2\pi \frac {z}{\lambda}\right)</math> [[Image:Standing wave 2.gif|thumbnail|right|Onde stationnaire]] on appele la [[pulsation]] <math> \omega = { 2 \pi \over T} </math> et le [[nombre d'onde]] <math> k = {2 \pi \over \lambda }</math> À un temps {{math|t}} fixé, une onde stationnaire ressemble à une onde progressive. En revanche, son évolution temporelle est totalement différente. Une onde stationnaire possède des minima (nœuds) et des maxima (ventres) d'[[amplitude]] ''fixes'' dans l'espace. Ainsi, si on se place aux nœuds de cette onde, l'amplitude est nulle quel que soit le temps. Avec une onde progressive, nous aurions vu l'amplitude évoluer, de façon sinusoïdale avec le temps dans le cas d'une onde harmonique. Une façon simple de construire une onde stationnaire est de superposer deux ondes progressives se propageant en sens inverse. C'est d'ailleurs ce qui se passe lorsque une onde se réfléchit sur un miroir parfait. Les ondes stationnaires sont des objets physiques très courants et se rencontrent notamment dans les cavités [[laser]] ou les lignes hyperfréquence. <!-- A RECYCLER dans un autre article == Ondes électromagnétiques == === Équation d'onde === {{Article détaillé|Équation d'onde}} L'équation d'onde s'intéresse aux déplacements des ondes électromagnétiques dans les milieux. On distingue généralement deux catégories de propagation : *La propagation dans l'espace libre (vide, air, milieu massif comme le verre, etc.) *La propagation guidée ([[fibre optique]], guide d'onde, etc.) L'équation générale qui décrit la propagation d'une onde <math>\vec E</math> dans l'espace libre, dans un milieu [[homogène]], linéaire et [[isotrope]] est : :<math>\nabla^2 \vec E=\Delta\vec E=\frac {1}{c^2}\frac {\partial ^2\vec E}{\partial t^2}</math>([[établissement de l'équation de propagation à partir des équations de Maxwell]]) <math>\vec E</math> décrit à la fois l'amplitude de l'onde, et sa polarisation (par son caractère vectoriel). C'est assimilable à la vitesse de propagation de l'onde, comme nous le verrons plus bas. Si l'on s'intéresse à ce qui se passe pour chacune des composantes de <math>\vec E</math> (en projetant la relation dans chacune des directions de l'espace), nous obtenons une équation portant sur un scalaire, appelée '''[[équation de d'Alembert]]''' : :<math>\Delta U=\frac {1}{c^2}\frac {\partial ^2 U}{\partial t^2}</math> Intéressons nous à la propagation selon la seule direction <math>z</math> : :<math>\frac {\partial ^2 U}{\partial z^2}=\frac {1}{c^2}\frac {\partial ^2 U}{\partial t^2}</math> Pour une [[onde plane]], la solution générale de cette équation est la somme de deux fonctions : :<math>U(z, t)=f(z-ct)+g(z+ct)</math> En effet, on peut écrire : :<math>\left(\frac {\partial ^2}{\partial z^2}-\frac {1}{c^2}\frac {\partial ^2}{\partial t^2}\right) U(z, t) = 0</math> soit : :<math>\left(\frac {\partial}{\partial z}-\frac {1}{c}\frac {\partial}{\partial t}\right)\left(\frac {\partial}{\partial z}+\frac {1}{c}\frac {\partial}{\partial t}\right) U(z, t) = 0</math> Et si l'on pose ''a=z-ct'' et ''b=z+ct'', on obtient : :<math>\left(\frac {\partial}{\partial a}\right)\left(\frac {\partial}{\partial b}\right) U(a, b) = 0</math> Qui se résout en : <math>U(a, b) = f(a) + g(b)</math> soit <math>U(z, t) = f(z-ct) + g(z+ct)</math> Le premier terme est une onde se propageant dans le sens des z croissants (appelée onde progressive), et le deuxième terme dans le sens des z décroissants (appelée onde régressive). === Vitesse de propagation === Il est intéressant de voir qu'en réalité, l'onde <math>U(z, t)</math> ne dépend pas simplement de <math>z</math> et de <math>t</math>, mais des quantités <math>z-ct</math> et <math>z+ct</math>. Pour comprendre ce que cela signifie, considérons le cas d'une onde plane progressive vers les z croissants : :<math>U(z, t)=f(z-ct)</math> Regardons la structure de l'onde au point <math>z+\Delta z</math> : :<math>U(z+\Delta z, t)=f(z+\Delta z-ct)=f\left(z-c\left(t-\frac {\Delta z}{c}\right)\right)=f(z-c(t-\Delta t))</math> L'expression ci-dessus nous montre que la structure de l'onde au point <math>z+\Delta z</math> est la ''même'' qu'au point <math>z</math> à l'instant <math>t-\Delta t</math>, avec <math>\Delta t=\Delta z/c</math>. Ce raisonnement nous permet de comprendre pourquoi une dépendance en <math>z \pm ct</math> de l'onde signifie que celle-ci se déplace sans déformation, i.e qu'il s'agit d'une onde progressive. Nous pouvons alors définir la vitesse de propagation de l'onde par : :<math>\frac {\Delta z}{\Delta t}=c</math> === Onde harmonique - période et fréquence === Une onde harmonique est une onde [[monochromatique]] dont l'expression est donnée dans notre cas par : :<math>U(z, t) = U_0\cos\left(\omega\left(t-\frac{z}{c}\right)\right)</math> La propriété essentielle de cette onde est sa double périodicité, spatiale et temporelle : :<math>U(z, t+2\tfrac\pi\omega) = U(z+2\pi \tfrac c\omega, t)=U(z, t)</math> On définit alors les quantités suivantes : * La [[fréquence]] de l'onde <math>\nu=\omega/2\pi </math> &nbsp;(<math>\omega</math> est appelé ''pulsation'') * La [[longueur d'onde]] <math>\lambda=c/\nu</math> * Le [[nombre d'onde]] <math>k=2\pi/\lambda</math> À trois dimensions, le [[nombre d'onde]] est remplacé par le [[vecteur d'onde]], dont le sens est celui de la propagation de l'onde. {{Voir aussi|Onde|Rayonnement électromagnétique}} === Phénomènes affectant la propagation des ondes === * [[Réflexion des ondes|Réflexion]] * [[Réfraction]] * [[Diffusion des ondes|Diffusion]] * [[Interférence]]s * [[Diffraction]] === Plusieurs équations d'onde === ==== Équation d'onde classique ==== L'équation d'onde classique correspond à une propagation non perturbée. Par exemple, corde vibrante sans frottement, onde électromagnétique dans le vide. Elle s'écrit <math>\Delta s = 0</math> La relation de dispersion associée est <math>k^2 = \frac{\omega^2}{c^2}</math> ==== Équation de Klein-Gordon ==== {{Article détaillé|Équation de Klein-Gordon}} C'est une équation du type <math>\Delta s = \frac{s}{a^2}</math>. On la rencontre en particulier pour la propagation d'une onde électromagnétique dans un plasma. Soit <math>n</math> la densité particulaire du plasma et <math>m</math> la masse de l'électron. On introduit la pulsation plasma :<math>\omega_p = \sqrt{\frac{ne^2}{m \varepsilon_0}}</math>, grandeur caractéristique du plasma. L'équation de propagation du champ <math>\vec E</math> dans ce plasma est :<math>\Delta \vec E = \frac{\omega_p^2}{c^2} \vec E</math>. La relation de dispersion associée est :<math>k^2 = \frac{\omega^2 - \omega_p^2}{c^2}</math> ''Remarque'' : on peut également rencontrer cette équation de dispersion dans le cadre de la propagation guidée. Par exemple, une onde guidée entre deux plans infinis et parfaitement conducteurs distants de <math>a</math> vérifie l'équation d'onde classique entre les deux conducteurs, mais la relation de dispersion s'écrit <math>k^2 = \frac{\omega^2}{c^2} - \frac{\pi^2}{a^2}</math> On rencontre également cette équation pour la propagation d'une onde mécanique : par exemple pour une série de pendules régulièrement espacés et reliés entre eux par des ressorts. ==== Équation des télégraphistes ==== Équation du type :<math>\Delta s = \alpha + \beta \frac{\partial s}{\partial t}</math> On la rencontre dans le cas d'une onde dans une ligne électrique. Pour une ligne électrique de résistance linéique <math>r</math>, d'inductance linéique <math>l</math>, de conductance de fuite linéique <math>g</math> et de capacité linéique <math>c</math>, on a : :<math>\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - lc \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = (rc+lg) \frac{\partial u}{\partial t} + rg \cdot u</math> Cela traduit une propagation avec atténuation. Relation de dispersion associée : <math>k^2 = lc \omega^2 + i \omega (rc+lg) - rg</math> == Équation de diffusion == Équation du type :<math>\frac{\partial s}{\partial t} = D \vec \nabla^2 s</math> Le coefficient <math>D</math> est appelé ''coefficient de diffusivité''. On le rencontre typiquement dans deux cas : #L'[[équation de la chaleur]] <math>\frac{\partial T}{\partial t} = D \vec \Delta T</math>, où le coefficient de diffusivité thermique <math>D</math> est défini par <math>D = \frac{\lambda}{\rho c}</math> #Propagation d'un champ électromagnétique dans un métal de conductivité <math>\gamma</math>. Équation d'onde : <br/><math>\vec \nabla^2 \vec B = \mu_0 \gamma \frac{\partial \vec B}{\partial t}</math>. <br />Relation de dispersion : <math>k^2 = - i \omega \mu_0 \gamma</math>. Il s'agit d'une propagation avec atténuation. --> == Notes et références == {{références}} == Voir aussi == === Articles connexes === * [[Onde]] * [[Célérité]] * [[Vitesse d'une onde]] * [[Équation d'onde]] ===Bibliographie === {{landau|tome 7}} [[Catégorie:Mécanique ondulatoire]] [[de:Ausbreitung]] [[en:Wave propagation]] [[es:Propagación de ondas]] [[fa:سرعت موج]] [[nl:Propagatie (radio)]] [[pl:Propagacja (fizyka)]] [[stq:Ferspreedenge fon Radiowoogen]]