Proposition contraposée
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2008-04-11T20:50:48Z
Loveless
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La '''contraposition''' (ou ''modus tollens'') est un [[raisonnement]] [[logique]] basé sur la négation du conséquent d'une [[implication]]. C’est-à-dire que puisque la cause d'une implication engendre la conséquence, alors l'absence de la conséquence implique automatiquement l'absence de la cause.
La contraposition est [[équivalence logique|équivalente]] à une [[implication]] dont elle est considérée comme une règle dérivée. Ainsi, la '''proposition contraposée''' de la proposition
: « ''A'' implique ''B'' » ("s'il pleut, alors le sol est mouillé")
est
: « non-''B'' implique non-''A'' ». ("si le sol n'est pas mouillé, alors il ne pleut pas")
Si la première est vraie, alors la seconde l'est aussi. Inversement, si la seconde est vraie, la première est vraie en [[logique classique]] (cette dernière affirmation n'est cependant pas acceptée en [[logique intuitionniste]], qui établit une différence entre les deux implications).
La contraposition exprime le fait que ''B'' est une [[Implication|condition nécessaire]] de ''A'' : on ne peut pas avoir ''A'' sans avoir ''B''. Dans notre exemple, il n'est pas possible qu'il pleuve et que le sol ne soit pas mouillé.
Il faut bien distinguer la contraposée de la [[réciproque]] : la réciproque de « ''A'' implique ''B'' » est « ''B'' implique ''A'' ». Le fait que l'une soit vraie ne dit rien sur l'autre à moins qu'on ait montré, par ailleurs, qu'il existe une [[Équivalence logique|équivalence]] entre A et B (« ''A'' si et seulement si ''B'' ») auquel cas, l'implication et la réciproque sont toutes deux vraies. Ainsi, même si l'implication "s'il pleut, alors le sol est mouillé" est vraie, on ne peut pas rien dire sa réciproque ("si le sol est mouillé, alors il pleut").
Il ne faut pas confondre non plus la contraposition avec la [[négation de l'antécédent]] « non-''A'' implique non-''B'' » ("s'il ne pleut pas, alors le sol n'est pas mouillé") qui, elle, n'est pas équivalente à l'implication. Utiliser la négation de l'antécédent conduit à un raisonnement faux ou [[sophisme]]. En effet, dans notre exemple le sol peut avoir été mouillé par autre chose et donc ce n'est pas parce qu'il ne pleut pas que le sol n'est pas mouillé.
== Notation ==
La proposition : « ''A'' [[implication|implique]] ''B'' » se note
: <math>A \Rightarrow B</math>.
Nous avons donc :
: <math>A \Rightarrow B \equiv \neg{B} \Rightarrow \neg{A}</math>
Remarquons que l'implication logique ne présuppose aucune hiérarchie, même chronologique, entre ses éléments constituants, et est donc à bien distinguer de la [[causalité]], en particulier si l'on note en abrégé cette dernière par le même signe « ⇒ ».
== Démonstration ==
En [[logique classique]], les [[lois de De Morgan]] résument la façon dont il faut permuter en logique les opérations « [[et logique|et]] » et « [[ou logique|ou]] » lors de transformations de formules. La ''définition'' logique de l'implication est la suivante :
: <math>A \Rightarrow B \equiv \neg{A} \lor B</math>
On obtient la même formulation avec <math>\neg B \Rightarrow \neg A</math>
En [[logique intuitionniste]], logique qui refuse le [[raisonnement par l'absurde]] ou l'élimination de la double négation, ou en [[logique minimale]], logique qui n'accorde aucun traitement particulier à la contradiction, les deux implications <math>A \Rightarrow B</math> et <math>\neg B \Rightarrow \neg A</math> n'ont pas le même statut. En effet, en définissant la négation d'une proposition par le fait que cette proposition conduit à une contradiction, on montre en logique intuitionniste que la première implication entraîne la seconde mais que la réciproque est fausse. Supposons donc que <math>A \Rightarrow B</math>, et montrons que <math>\neg B \Rightarrow \neg A</math>. Si on a <math>\neg B</math>, alors A (qui entraîne B) conduit à une contradiction. Donc on a <math>\neg A</math>. On a donc montré que, sous l'hypothèse <math>A \Rightarrow B</math>, on a <math>\neg B \Rightarrow \neg A</math>.
La réciproque nécessite l'utilisation du raisonnement par l'absurde (ou sa variante, l'élimination de la double négation). Supposons en effet que <math>\neg B \Rightarrow \neg A</math>. Si on a A, alors <math>\neg B</math> (qui entraîne <math>\neg A</math>) conduit à une contradiction. On a donc montré que <math>A \Rightarrow \neg \neg B</math>. Mais pour montrer que <math>A \Rightarrow B</math>, on doit utiliser le fait que, si <math>\neg B</math> conduit à une contradiction, alors B est vrai, ce qui est l'essence même du raisonnement par l'absurde.
La suite de l'article se place dans le cadre de la logique classique, où les deux implications sont équivalentes.
== Applications ==
L'équivalence entre implication et contraposition est fréquemment utilisée en logique, au même titre que les [[identités remarquables]] en algèbre.
Les deux propositions sont [[équivalence|équivalentes]] [[Logique|logiquement]] mais elles n'ont pas le même rôle dans une [[démonstration]].
Ainsi, je prends pour exemple le théorème « ''si un [[quadrilatère]] est un [[rectangle]] alors il est un [[parallélogramme]]'' ». Il sert à démontrer qu'un rectangle a toutes les propriétés du parallélogramme (côtés opposés [[parallélisme|parallèles]] et de même longueur, …).
Sa contraposée, « ''si un quadrilatère n'est pas un parallélogramme alors il n'est pas un rectangle'' » sert à démontrer qu'un quadrilatère ne vérifiant pas une des propriétés caractéristiques du parallélogramme alors il ne peut pas être un rectangle.
Comme on l'a dit plus haut, bien que la contraposée d'un théorème vrai soit toujours vraie, sa réciproque peut être fausse : « ''si un quadrilatère est un parallélogramme alors il est un rectangle'' » est faux.
== Exemple ==
=== Enoncé ===
L'affirmation
''Ceux qui parlent ne savent pas''
est strictement équivalente à l'affirmation
''Ceux qui savent ne parlent pas''
=== Preuve ===
On substitue simplement ''A''="(''parler'')" et ''B''="non(''savoir'')":
: '''('''(''parler'') ⇒ non(''savoir'')''')'''
:⇔ '''('''non(non(''savoir'')) ⇒ non(''parler'')''')'''
:⇔ '''('''(''savoir'') ⇒ non(''parler'')''')'''
== Appellations différentes ==
Dans certains établissements d'enseignement, la preuve par contraposition est appelée "preuve par transposition".
== Voir aussi ==
* [[Analyse constructive]]
* [[Démonstration]]
* [[Logique]]
* [[Logique intuitionniste]]
* [[Loi de Peirce]]
* [[Paradoxe de Hempel]] ''(utilise la contraposition pour reformuler l'hypothèse)''
{{Portail|logique|philosophie}}
[[Catégorie:Raisonnement mathématique]]
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