<page> <title>Pseudo-démonstration d'égalité entre nombres</title> <id>947184</id> <revision> <id>25045409</id> <timestamp>2008-01-16T10:44:27Z</timestamp> <contributor> <ip>82.237.44.33</ip> </contributor> <text xml:space="preserve">Le terme '''Pseudo-démonstration d'égalité''' renvoie à l'apparente exactitude de [[démonstration]]s d'[[Égalité (mathématiques)|égalité]]s qui à l'évidence sont fausses. Étant donné que toute [[Proposition (mathématiques)|proposition]] fausse est [[Équivalence logique|équivalente]] à une autre proposition fausse, n'importe quel résultat faux est équivalent à <math>x \ne y \Rightarrow x = y</math> (un exemple célèbre est celui de [[Bertrand Russell]] avec l'égalité [[2 + 2 = 5]]). Nous nous contenterons ici de regarder le cas d'égalités entre [[nombre]]s, et nous détaillerons différents vices parmi les plus répandus qui conduisent à ces [[Erreur (pédagogie)|erreurs]]. Les méthodes proposées dans cet article se veulent en outre les méthodes les plus courantes, les plus instructives, et dans la mesure du possible, les plus directes. == Pseudo-démonstration via des identités remarquables et division par zéro == === Principe === Cette pseudo-démonstration s'appuie sur l'erreur suivante : <math>0 \cdot a = 0 \cdot b \Rightarrow a = b</math> Elle s'effectue généralement en deux étapes : * former via une [[Identités remarquables|identité remarquable]] un produit dans les deux membres d'une égalité dont l'un des facteurs est nul ; * via une division par zéro obtenir un résultat absurde. À noter que suivant l'identité remarquable utilisée et la manière dont on s'y prend, on peut obtenir n'importe quelle égalité fausse. === Exemple === {{Boîte déroulante début|titre=Exemple}} '''Étape 1:''' * Soit a et b deux réels non nuls, on pose <center><math>a = b ~</math></center> * On multiplie chaque membre par <math>a</math> <center><math>a^2=a \times b</math></center> * On soustrait <math>b^2</math> <center><math>a^2-b^2 =a \times b - b^2</math></center> * On factorise chaque membre ( dans le premier on utilise une identité remarquable) <center><math>(a-b) \times (a+b) = b \times (a-b)</math></center> '''Étape 2:''' * On divise par <math>(a-b)</math> <center><math>a+b = b ~</math></center> * Comme <math>a=b</math>, on remplace <math>a</math> par <math>b</math> <center><math>b + b = b ~</math></center> * Soit <center><math>2 \times b = 1 \times b</math></center> * On divise par <math>b</math> <center><math>2 = 1 ~</math></center> L'erreur est commise au moment ou l'on effectue la division par <math>(a-b)</math>, car comme <math>a=b</math> alors <math>a-b=0</math> donc on divise par 0 ce qui est interdit. {{Boîte déroulante fin}} {{Boîte déroulante début|titre=Variante sans identité remarquable}} * On commence avec la proposition suivante :<center><math>2=1+1</math></center> * On multiplie chaque membre par <math>(2-1)</math> :<center><math>2(2-1)=(1+1)(2-1)</math></center> * On développe :<center><math>2 \times 2-2 \times 1=2 \times 1+2 \times 1-1 \times 1-1 \times 1</math></center> * On soustrait <math>2 \times 1</math> à chaque membre : <center><math>2 \times 2-2 \times 1-2 \times 1=2 \times 1-1 \times 1-1 \times 1</math></center> * On factorise :<center><math>2 \times (2-1-1)=1 \times (2-1-1)</math></center> * On peut simplifier et on obtient :<center><math>2=1</math></center> * Il suffit d'ajouter <math>1</math> pour finalement avoir :<center><math>3=1+1</math></center> {{Boîte déroulante fin}} == Pseudo-démonstration via des équations et confusion condition nécessaire et suffisante == === Principe === Une autre pseudo-démonstration courante est de restreindre l'ensemble des solutions possibles d'une équation puis d'affirmer qu'un des éléments de l'ensemble est racine. Cela revient à faire l'erreur de logique suivante : <math>(A \Rightarrow B) \Leftrightarrow (A \Leftarrow B)</math>. Elle se déroule ainsi : * étude de l'équation (restriction de l'ensemble des solutions possibles à un faible nombre, une ou deux) ; * affirmation de l'ensemble des solutions possibles comme ensemble des solutions ; * test de l'une des supposés racines et résultat absurde. === Exemple === {{Boîte déroulante début|titre=Exemple}} '''Étape 1 :''' Considérons l'équation : :<math>x^2+x+1 = 0</math> Ses solutions sont également celles (à l'exception de zéro) de : :<math>x(x^2+x+1) = 0 \Leftrightarrow x^3+x^2+x = 0 \Leftrightarrow x^3 = -x^2-x</math> Or d'après l'équation initiale : :<math>x^2+x+1 = 0 \Leftrightarrow x^2 = -x-1</math> Donc : :<math>x^3 = -(-x-1)-x = 1</math> '''Étape 2 :''' La seule racine réelle possible est 1. '''Étape 3 :''' En remplaçant x par 1 dans l'équation initiale, on obtient l'égalité <math>3 = 0</math>. {{Boîte déroulante fin}} == Pseudo-démonstration via des [[Racine carrée|racines carrées]] non définies == === Principe === Il s'agit ici de l'erreur courante <math>x^2 = a^2 \Rightarrow x = a</math>, l'[[implication]] correcte étant <math>x^2 = a^2 \Rightarrow |x| = |a|</math>. Deux étapes : * écrire une égalité vraie entre carrés ; * appliquer l'implication fausse en écrivant l'égalité sans les carrés (en invoquant une fonction racine non définie, par exemple dans <math>\Complex</math>). On peut généraliser ce principe aux [[exponentielle]]s complexes en invoquant une fonction logarithme non définie dans l'ensemble de travail, par exemple <math>\Complex</math>. Les racines carrées s'écrivent <math>\sqrt{z} = \pm\sqrt{|z|}\exp\left(i\tfrac{\arg z}2\right)</math> [[racine de nombre complexe|dans ce dernier ensemble]]. === Exemples === {{Boîte déroulante début|titre=Exemple}} '''Étape 1 :''' Considérons l'égalité <math>-1 = -1</math>, qui peut s'écrire sous forme de [[quotient]]s : :<math>\frac{1}{-1} = \frac{-1}{1}</math> Or <math>-1 = i^2</math> (voir [[nombre complexe|nombre imaginaire]]), d'où :<math>\frac{1}{i^2} = \frac{i^2}{1}</math> '''Étape 2 :''' On prend la racine carrée des deux côtés ce qui donne : :<math>\sqrt{\frac{1}{i^2}} = \sqrt{\frac{i^2}{1}} \Leftrightarrow \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{i^2}} = \frac{\sqrt{i^2}}{\sqrt{1}} \Leftrightarrow \frac{1}{i} = \frac{i}{1}</math> En multipliant par i de part et d'autre, on obtient :<math>1 = i^2</math> Et puisque <math>i^2 = -1</math>, nous avons alors :<math>1 = -1</math> {{Boîte déroulante fin}} {{Boîte déroulante début|titre=Exemple annexe (via un [[logarithme népérien|logarithme]])}} :<math>\ln(-1)+\ln(-1)=\ln((-1)^2)=\ln(1)=0</math> Ainsi, :<math>\ln(-1)=\ln(i^2)=2\cdot\ln(i)=0 \Rightarrow e^{\ln(i)}=e^0(=1)</math> Et comme l'exponentielle est l'application réciproque du [[logarithme népérien]] : :<math>i=1</math> {{Boîte déroulante fin}} == Pseudo-démonstration via une sommation floue == === Principe === En écrivant une [[Langage formel mathématique#Somme|somme de manière floue]], c’est-à -dire non pas de manière formelle : : <math>S = \sum_{k=1}^n k</math> mais avec des points de suspensions : : <math>S = 1 + \ldots + n</math> la variable muette de sommation (notée ici <math>k</math>) est véritablement passée sous silence et le manque de formalisme des points de suspensions sert à masquer l'erreur. Méthodologie : * faire des calculs sur une somme ; * générer une erreur via l'ensemble de définition de la variable muette, autrement dit le nombre de termes ; * aboutissement à un résultat absurde. === Variantes === {{Boîte déroulante début|titre=Variante via dérivation}} La [[Dérivée|dérivation]] va s'effectuer différemment suivant le membre de l'égalité, à gauche il sera question d'une dérivation correcte, et à droite une dérivation sans tenir compte que la variable ''x'' est aussi le cardinal de l'ensemble des termes. '''Étape 1 :''' Soit <math>x</math> un entier. Par définition de la fonction carrée : : <math>x^2 = x + \cdots + x</math> (<math>x</math> termes) '''Étape 2 :''' En [[Dérivée|dérivant]] par rapport à <math>x</math> : : <math>2x = 1 + \cdots + 1</math> (<math>x</math> termes), '''Étape 3 :''' d'où en simplifiant par <math>x</math> : : <math>2 = 1</math> {{Boîte déroulante fin}} {{Boîte déroulante début|titre=Variante via une suite arithmétique}} Cette variante joue sur le nombre de termes de la somme des termes d'une [[suite arithmétique]] (ici la suite des <math>n</math> premiers entiers). '''Étape 1 :''' La somme des termes des n premiers entiers s'écrit : :<math>\forall n \in \mathbb{N}, 1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n(n+1)}{2}</math> Cela est vrai également au rang <math>n - 1</math> : :<math>\forall (n - 1) \in \mathbb{N}, 1 + 2 + 3 + ... + n - 1 = \frac{n(n-1)}{2}</math> D'où en ajoutant 1 dans chacun des membres : :<math>\forall (n - 1) \in \mathbb{N}, 1 + 2 + 3 + ... + n - 1 + 1 = \frac{n(n-1)}{2} + 1</math> '''Étape 2 :''' Cette égalité peut aussi s'écrire : :<math>\forall (n - 1) \in \mathbb{N}, 1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n(n-1)}{2} + 1 = \frac{n(n-1) + 2}{2}</math> D'après l'égalité au rang n, on a donc : :<math>\forall (n - 1) \in \mathbb{N}, \left[ \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n-1) + 2}{2} \Leftrightarrow n(n+1) = n(n-1) + 2 \right]</math> D'où : :<math>\forall (n - 1) \in \mathbb{N}, \left[ n^2 + n = n^2 - n + 2 \Leftrightarrow 2n = 2 \right]</math> '''Étape 3 :''' Finalement : :<math>\forall n \in \mathbb{N}, n \ne 0, n = 1 </math> L'erreur vient du fait que l'on compare les sommes <math>\sum_{k=1}^n k</math> et <math>\sum_{k=1}^{n-2} k + n</math>. {{Boîte déroulante fin}} == Pseudo-démonstration via un changement de variable non licite lors d'une intégration == === Principe === Lorsque l'on effectue un [[Intégration par changement de variable|changement de variable]] lors d'une intégration sur un segment, il faut que le changement de variable soit un <math>C^1</math>-[[difféomorphisme]]. Si le changement de variable est effectué trop hâtivement, il n'est pas rare de trouver un résultat absurde en fin d'intégration. Démarche : * calculer l'intégrale de manière correcte ; * effectuer un changement de variable erroné ; * confronter les deux résultats. === Exemple === {{Boîte déroulante début|titre=Exemple}} '''Étape 1 :''' Considérons l'intégrale : :<math>\int_{-1}^1 t^2 {\rm d}t</math> Par intégration en tant que [[monôme]] du second degré : :<math>\int_{-1}^1 t^2 {\rm d}t=\left[\frac{t^3}{3}\right]_{-1}^{1}=\frac{2}{3}</math> '''Étape 2 :''' Effectuons le changement de variable de classe <math>\mathcal C^1</math> (mais qui n'est pas un <math>\mathcal C^1</math>-difféomorphisme) : :<math>u=t^2 \Leftrightarrow {\rm d}u=2t\,{\rm d}t</math> Ainsi : :<math>\begin{cases} t = -1 \Rightarrow u = 1\\ t = 1 \Rightarrow u = 1 \end{cases}</math> D'où : :<math>\int_{-1}^1 t^2 {\rm d}t=\frac{1}{2}\int_{1}^1 \sqrt{u} {\rm d}u=0</math> '''Étape 3 :''' Des deux calculs de l'intégrale on en déduit : :<math>\frac{2}{3}=0</math> {{Boîte déroulante fin}} == Voir aussi == * [[Démonstration]] * [[Erreur (pédagogie)]] * [[Identités remarquables]] * [[Racine carrée]] * [[2+2=5]] {{portail mathématiques}} [[Catégorie:Raisonnement fallacieux]] [[en:Invalid proof]] [[es:Demostración inválida]] [[pt:Provas inválidas]] [[zh:ç„¡æ•ˆè‰æ˜Ž]]</text> </revision> </page>