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    <title>Pseudo-démonstration d'égalité entre nombres</title>
    <id>947184</id>
    <revision>
      <id>25045409</id>
      <timestamp>2008-01-16T10:44:27Z</timestamp>
      <contributor>
        <ip>82.237.44.33</ip>
      </contributor>
      <text xml:space="preserve">Le terme '''Pseudo-démonstration d'égalité''' renvoie à l'apparente exactitude de [[démonstration]]s d'[[Égalité (mathématiques)|égalité]]s qui à l'évidence sont fausses. Étant donné que toute [[Proposition (mathématiques)|proposition]] fausse est [[Équivalence logique|équivalente]] à une autre proposition fausse, n'importe quel résultat faux est équivalent à &lt;math&gt;x \ne y \Rightarrow x = y&lt;/math&gt; (un exemple célèbre est celui de [[Bertrand Russell]] avec l'égalité [[2 + 2 = 5]]).

Nous nous contenterons ici de regarder le cas d'égalités entre [[nombre]]s, et nous détaillerons différents vices parmi les plus répandus qui conduisent à ces [[Erreur (pédagogie)|erreurs]]. Les méthodes proposées dans cet article se veulent en outre les méthodes les plus courantes, les plus instructives, et dans la mesure du possible, les plus directes.

== Pseudo-démonstration via des identités remarquables et division par zéro ==
=== Principe ===

Cette pseudo-démonstration s'appuie sur l'erreur suivante : &lt;math&gt;0 \cdot a = 0 \cdot b \Rightarrow a = b&lt;/math&gt;

Elle s'effectue généralement en deux étapes :

* former via une [[Identités remarquables|identité remarquable]] un produit dans les deux membres d'une égalité dont l'un des facteurs est nul ;
* via une division par zéro obtenir un résultat absurde.

À noter que suivant l'identité remarquable utilisée et la manière dont on s'y prend, on peut obtenir n'importe quelle égalité fausse.

=== Exemple ===
{{Boîte déroulante début|titre=Exemple}}
'''Étape 1:'''
* Soit a et b deux réels non nuls, on pose &lt;center&gt;&lt;math&gt;a = b ~&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
* On multiplie chaque membre par &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; &lt;center&gt;&lt;math&gt;a^2=a \times b&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
* On soustrait &lt;math&gt;b^2&lt;/math&gt; &lt;center&gt;&lt;math&gt;a^2-b^2 =a \times b - b^2&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
* On factorise chaque membre ( dans le premier on utilise une identité remarquable) &lt;center&gt;&lt;math&gt;(a-b) \times (a+b) = b \times (a-b)&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
'''Étape 2:'''
* On divise par &lt;math&gt;(a-b)&lt;/math&gt; &lt;center&gt;&lt;math&gt;a+b = b ~&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
* Comme &lt;math&gt;a=b&lt;/math&gt;, on remplace &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; &lt;center&gt;&lt;math&gt;b + b = b ~&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
* Soit &lt;center&gt;&lt;math&gt;2 \times b = 1 \times b&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
* On divise par &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; &lt;center&gt;&lt;math&gt;2 = 1 ~&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
L'erreur est commise au moment ou l'on effectue la division par &lt;math&gt;(a-b)&lt;/math&gt;, car comme &lt;math&gt;a=b&lt;/math&gt; alors &lt;math&gt;a-b=0&lt;/math&gt; donc on divise par 0 ce qui est interdit.
{{Boîte déroulante fin}}
{{Boîte déroulante début|titre=Variante sans identité remarquable}}
* On commence avec la proposition suivante :&lt;center&gt;&lt;math&gt;2=1+1&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
* On multiplie chaque membre par &lt;math&gt;(2-1)&lt;/math&gt; :&lt;center&gt;&lt;math&gt;2(2-1)=(1+1)(2-1)&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
*  On développe :&lt;center&gt;&lt;math&gt;2 \times 2-2 \times 1=2 \times 1+2 \times 1-1 \times 1-1 \times 1&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
* On soustrait &lt;math&gt;2 \times 1&lt;/math&gt; à chaque membre : &lt;center&gt;&lt;math&gt;2 \times 2-2 \times 1-2 \times 1=2 \times 1-1 \times 1-1 \times 1&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
* On factorise :&lt;center&gt;&lt;math&gt;2 \times (2-1-1)=1 \times (2-1-1)&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
* On peut simplifier et on obtient :&lt;center&gt;&lt;math&gt;2=1&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
* Il suffit d'ajouter &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; pour finalement avoir :&lt;center&gt;&lt;math&gt;3=1+1&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
{{Boîte déroulante fin}}

== Pseudo-démonstration via des équations et confusion condition nécessaire et suffisante ==
=== Principe ===

Une autre pseudo-démonstration courante est de restreindre l'ensemble des solutions possibles d'une équation puis d'affirmer qu'un des éléments de l'ensemble est racine. Cela revient à faire l'erreur de logique suivante : &lt;math&gt;(A \Rightarrow B) \Leftrightarrow (A \Leftarrow B)&lt;/math&gt;.

Elle se déroule ainsi :

* étude de l'équation (restriction de l'ensemble des solutions possibles à un faible nombre, une ou deux) ;
* affirmation de l'ensemble des solutions possibles comme ensemble des solutions ;
* test de l'une des supposés racines et résultat absurde.

=== Exemple ===
{{Boîte déroulante début|titre=Exemple}}
'''Étape 1 :'''

Considérons l'équation :
:&lt;math&gt;x^2+x+1 = 0&lt;/math&gt; 
Ses solutions sont également celles (à l'exception de zéro) de :
:&lt;math&gt;x(x^2+x+1) = 0 \Leftrightarrow x^3+x^2+x = 0 \Leftrightarrow x^3 = -x^2-x&lt;/math&gt; 
Or d'après l'équation initiale :
:&lt;math&gt;x^2+x+1 = 0 \Leftrightarrow x^2 = -x-1&lt;/math&gt; 
Donc :
:&lt;math&gt;x^3 = -(-x-1)-x = 1&lt;/math&gt;

'''Étape 2 :''' La seule racine réelle possible est 1. 

'''Étape 3 :''' En remplaçant x par 1 dans l'équation initiale, on obtient l'égalité &lt;math&gt;3 = 0&lt;/math&gt;.
{{Boîte déroulante fin}}
== Pseudo-démonstration via des [[Racine carrée|racines carrées]] non définies ==
=== Principe ===

Il s'agit ici de l'erreur courante &lt;math&gt;x^2 = a^2 \Rightarrow x = a&lt;/math&gt;, l'[[implication]] correcte étant &lt;math&gt;x^2 = a^2 \Rightarrow |x| = |a|&lt;/math&gt;.

Deux étapes :

* écrire une égalité vraie entre carrés ;
* appliquer l'implication fausse en écrivant l'égalité sans les carrés (en invoquant une fonction racine non définie, par exemple dans &lt;math&gt;\Complex&lt;/math&gt;).

On peut généraliser ce principe aux [[exponentielle]]s complexes en invoquant une fonction logarithme non définie dans l'ensemble de travail, par exemple &lt;math&gt;\Complex&lt;/math&gt;. Les racines carrées s'écrivent &lt;math&gt;\sqrt{z} = \pm\sqrt{|z|}\exp\left(i\tfrac{\arg z}2\right)&lt;/math&gt; [[racine de nombre complexe|dans ce dernier ensemble]].

=== Exemples ===
{{Boîte déroulante début|titre=Exemple}}
'''Étape 1 :'''

Considérons l'égalité &lt;math&gt;-1 = -1&lt;/math&gt;, qui peut s'écrire sous forme de [[quotient]]s :

:&lt;math&gt;\frac{1}{-1} = \frac{-1}{1}&lt;/math&gt;

Or &lt;math&gt;-1 = i^2&lt;/math&gt; (voir [[nombre complexe|nombre imaginaire]]), d'où

:&lt;math&gt;\frac{1}{i^2} = \frac{i^2}{1}&lt;/math&gt;

'''Étape 2 :'''

On prend la racine carrée des deux côtés ce qui donne :

:&lt;math&gt;\sqrt{\frac{1}{i^2}} = \sqrt{\frac{i^2}{1}} \Leftrightarrow \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{i^2}} = \frac{\sqrt{i^2}}{\sqrt{1}} \Leftrightarrow \frac{1}{i} = \frac{i}{1}&lt;/math&gt;

En multipliant par i de part et d'autre, on obtient

:&lt;math&gt;1 = i^2&lt;/math&gt;

Et puisque &lt;math&gt;i^2 = -1&lt;/math&gt;, nous avons alors

:&lt;math&gt;1 = -1&lt;/math&gt;
{{Boîte déroulante fin}}
{{Boîte déroulante début|titre=Exemple annexe (via un [[logarithme népérien|logarithme]])}}
:&lt;math&gt;\ln(-1)+\ln(-1)=\ln((-1)^2)=\ln(1)=0&lt;/math&gt; 
Ainsi, 
:&lt;math&gt;\ln(-1)=\ln(i^2)=2\cdot\ln(i)=0 \Rightarrow e^{\ln(i)}=e^0(=1)&lt;/math&gt;
Et comme l'exponentielle est l'application réciproque du [[logarithme népérien]] :
:&lt;math&gt;i=1&lt;/math&gt;
{{Boîte déroulante fin}}

== Pseudo-démonstration via une sommation floue ==
=== Principe ===

En écrivant une [[Langage formel mathématique#Somme|somme de manière floue]], c’est-à-dire non pas de manière formelle :
: &lt;math&gt;S = \sum_{k=1}^n k&lt;/math&gt; 
mais avec des points de suspensions :
: &lt;math&gt;S = 1 + \ldots + n&lt;/math&gt; 
la variable muette de sommation (notée ici &lt;math&gt;k&lt;/math&gt;) est véritablement passée sous silence et le manque de formalisme des points de suspensions sert à masquer l'erreur.

Méthodologie :

* faire des calculs sur une somme ;
* générer une erreur via l'ensemble de définition de la variable muette, autrement dit le nombre de termes ;
* aboutissement à un résultat absurde.
=== Variantes ===
{{Boîte déroulante début|titre=Variante via dérivation}}
La [[Dérivée|dérivation]] va s'effectuer différemment suivant le membre de l'égalité, à gauche il sera question d'une dérivation correcte, et à droite une dérivation sans tenir compte que la variable ''x'' est aussi le cardinal de l'ensemble des termes.

'''Étape 1 :''' 
Soit &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; un entier.  Par définition de la fonction carrée :
: &lt;math&gt;x^2 = x + \cdots + x&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;x&lt;/math&gt; termes)
'''Étape 2 :''' 
En [[Dérivée|dérivant]] par rapport à &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; :
: &lt;math&gt;2x = 1 + \cdots + 1&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;x&lt;/math&gt; termes),
'''Étape 3 :''' 
d'où en simplifiant par &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; :
: &lt;math&gt;2  = 1&lt;/math&gt;
{{Boîte déroulante fin}}
{{Boîte déroulante début|titre=Variante via une suite arithmétique}}
Cette variante joue sur le nombre de termes de la somme des termes d'une [[suite arithmétique]] (ici la suite des &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; premiers entiers).

'''Étape 1 :'''

La somme des termes des n premiers entiers s'écrit :
:&lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, 1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n(n+1)}{2}&lt;/math&gt;
Cela est vrai également au rang &lt;math&gt;n - 1&lt;/math&gt; :
:&lt;math&gt;\forall (n - 1) \in \mathbb{N}, 1 + 2 + 3 + ... + n - 1 = \frac{n(n-1)}{2}&lt;/math&gt;
D'où en ajoutant 1 dans chacun des membres :
:&lt;math&gt;\forall (n - 1) \in \mathbb{N}, 1 + 2 + 3 + ... + n - 1 + 1 = \frac{n(n-1)}{2} + 1&lt;/math&gt;

'''Étape 2 :'''

Cette égalité peut aussi s'écrire :
:&lt;math&gt;\forall (n - 1) \in \mathbb{N}, 1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n(n-1)}{2} + 1 = \frac{n(n-1) + 2}{2}&lt;/math&gt;
D'après l'égalité au rang n, on a donc :
:&lt;math&gt;\forall (n - 1) \in \mathbb{N}, 	\left[ \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n-1) + 2}{2} \Leftrightarrow n(n+1) = n(n-1) + 2 \right]&lt;/math&gt;
D'où :
:&lt;math&gt;\forall (n - 1) \in \mathbb{N}, \left[ n^2 + n = n^2 - n + 2 \Leftrightarrow 2n = 2 \right]&lt;/math&gt;
'''Étape 3 :''' 

Finalement :
:&lt;math&gt;\forall n \in \mathbb{N}, n \ne 0, n = 1 &lt;/math&gt;

L'erreur vient du fait que l'on compare les sommes &lt;math&gt;\sum_{k=1}^n k&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\sum_{k=1}^{n-2} k + n&lt;/math&gt;.
{{Boîte déroulante fin}}

== Pseudo-démonstration via un changement de variable non licite lors d'une intégration ==
=== Principe ===

Lorsque l'on effectue un [[Intégration par changement de variable|changement de variable]] lors d'une intégration sur un segment, il faut que le changement de variable soit un &lt;math&gt;C^1&lt;/math&gt;-[[difféomorphisme]]. Si le changement de variable est effectué trop hâtivement, il n'est pas rare de trouver un résultat absurde en fin d'intégration.

Démarche :
* calculer l'intégrale de manière correcte ;
* effectuer un changement de variable erroné ;
* confronter les deux résultats.

=== Exemple ===
{{Boîte déroulante début|titre=Exemple}}
'''Étape 1 :'''

Considérons l'intégrale :
:&lt;math&gt;\int_{-1}^1 t^2 {\rm d}t&lt;/math&gt;
Par intégration en tant que [[monôme]] du second degré :
:&lt;math&gt;\int_{-1}^1 t^2 {\rm d}t=\left[\frac{t^3}{3}\right]_{-1}^{1}=\frac{2}{3}&lt;/math&gt;

'''Étape 2 :'''

Effectuons le changement de variable de classe &lt;math&gt;\mathcal C^1&lt;/math&gt; (mais qui n'est pas un &lt;math&gt;\mathcal C^1&lt;/math&gt;-difféomorphisme) : 
:&lt;math&gt;u=t^2 \Leftrightarrow {\rm d}u=2t\,{\rm d}t&lt;/math&gt;
Ainsi :
:&lt;math&gt;\begin{cases} t = -1 \Rightarrow u = 1\\ t = 1 \Rightarrow u = 1 \end{cases}&lt;/math&gt;
D'où :
:&lt;math&gt;\int_{-1}^1 t^2 {\rm d}t=\frac{1}{2}\int_{1}^1 \sqrt{u} {\rm d}u=0&lt;/math&gt;

'''Étape 3 :'''

Des deux calculs de l'intégrale on en déduit :
:&lt;math&gt;\frac{2}{3}=0&lt;/math&gt;
{{Boîte déroulante fin}}
== Voir aussi ==

* [[Démonstration]]
* [[Erreur (pédagogie)]]
* [[Identités remarquables]]
* [[Racine carrée]]
* [[2+2=5]]

{{portail mathématiques}}


[[Catégorie:Raisonnement fallacieux]]

[[en:Invalid proof]]
[[es:Demostración inválida]]
[[pt:Provas inválidas]]
[[zh:無效證明]]</text>
    </revision>
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