Réseau réciproque
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2008-06-08T18:24:52Z
Deep silence
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Restauration des [[Projet:Restauration des ancres brisées|ancres brisées]]
{{ébauche|physique|chimie}}
Un [[cristal]] peut se décrire comme un [[Réseau de Bravais|réseau]] aux nœuds duquel se trouvent des motifs : [[atome]], [[ion]], [[molécule]].
Si l'on appelle <math>(\vec{e_1}, \vec{e_2},\vec{e_3})</math> les vecteurs définissant la [[Maille (cristallographie)|maille élémentaire]], ces vecteurs définissent une [[base (algèbre linéaire)|base]] de l'espace. On peut définir une [[base réciproque]] par <math>(\vec{e^*_1}, \vec{e^*_2}, \vec{e^*_3})</math>
vérifiant <ref>il existe deux manières de définir le vecteur d'onde ; soit sa norme est 1/λ, on a alors les formules indiquées ; soit sa norme est 2π/λ et on a alors
<math>\vec{e_i}.\vec{e^*_j} = 2\pi\delta_{ij}</math>
et
<math>\vec{e_m^*} = \frac{2 \pi}{V} \cdot \vec{e_n} \wedge \vec{e_p}</math> où (''m'', ''n'', ''p'') est une [[permutation circulaire]] de (1, 2, 3)</ref>
<math>\vec{e_i}.\vec{e^*_j} = \delta_{ij} = \begin{cases} 1, & \text{si }i=j \\ 0 & \text{si }i\ne j \end{cases}</math>
ce qui donne
:<math>\vec{e^*_1} = \frac{1}{V} \cdot \vec{e}_2 \wedge \vec{e}_3</math>
:<math>\vec{e^*_2} = \frac{1}{V} \cdot \vec{e}_3 \wedge \vec{e}_1</math>
:<math>\vec{e^*_3} = \frac{1}{V} \cdot \vec{e}_1 \wedge \vec{e}_2</math>
où ''V'' est le [[volume]] de la [[Maille (cristallographie)|maille]].<ref>
<math>V = \vec{e_m}.(\vec{e_n} \wedge \vec{e_p})</math></ref>
Les points ayant des coordonnées entières dans le [[repère (mathématiques)|repère]] <math>(O, \vec{e^*_1}, \vec{e^*_2},\vec{e^*_3})</math> forment un réseau appelé '''réseau réciproque'''.
== Application ==
L'étude des cristaux se fait en général par [[diffraction]] d'un rayonnement ayant une longueur d'onde de l'ordre de la distance inter-atomique. À partir de la figure de diffraction obtenue, on peut déterminer la forme du réseau, et donc la structure du cristal.
Si l'on appelle
* <math>\vec{k}</math> le vecteur d'onde du rayonnement incident ;
* <math>\vec{k'}</math> le vecteur des ondes [[diffusion de Rayleigh|diffusées]] dans une direction donnée ;
* <math>\vec{K}</math> le vecteur de diffusion (ou vecteur de diffraction) défini par <math>\vec{K} = \vec{k'} - \vec{k}</math> ;
alors la condition de diffraction sur un monocristal est donnée par le [[théorème de Bloch]] :
: il y a diffraction si <math>\vec{K}</math> est un vecteur du réseau réciproque.
== Table des réseaux réciproques ==
Pour trouver le réseau réciproque il faut considérer la [[Maille (cristallographie)|maille]] primitive. On utilise par contre couramment des réseaux non-primitifs, comme le ''[[Cubique à corps centré|cubique centré]]'' (2 nœuds par maille) et le ''[[Cubique à faces centrées|cubique faces centrées]]'' (4 nœuds par maille).
{| border="1"
| Réseau (paramètre) :
| Réseau réciproque (paramètre) :
|-
| cubique <math>\left(a\right)</math>
| cubique <math>\left(\frac{2\pi}{a}\right)</math>
|-
| cubique centré <math>\left(a\right)</math>
| cubique faces centrées <math>\left(\frac{4\pi}{a}\right)</math>
|-
| cubique faces centrées <math>\left(a\right)</math>
| cubique centré <math>\left(\frac{4\pi}{a}\right)</math>
|}
Ici on a posé <math>\vec{a^*}.\vec{a}=2.\pi</math>
== Note ==
<references/>
== Voir aussi ==
* [[Espace réciproque]]
* [[Théorie de la diffraction sur un cristal#Facteur de forme et réseau réciproque|Théorie de la diffraction sur un cristal > Facteur de forme et réseau réciproque]]
{{Portail|chimie|physique}}
[[Catégorie:Cristallographie]]
[[de:Reziprokes Gitter]]
[[en:Reciprocal lattice]]
[[he:סריג הופכי]]
[[ja:逆格子ベクトル]]
[[ru:Обратная решётка]]
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