Racine carrée de deux
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2008-07-12T21:03:19Z
Jean-Luc W
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/* Développement en fraction continue */ meilleur lien
[[Image:Square root of 2 triangle.png|thumb|right|L'[[hypoténuse]] d'un [[triangle rectangle]] isocèle de côté 1 vaut √2]]
La '''[[racine carrée]] de deux''', notée √2 ou 2{{exp|1/2}}, est un [[nombre réel]] remarquable en [[mathématiques]] et valant approximativement 1,4142. √2 est défini comme étant le seul [[nombre réel]] [[Nombre positif|positif]] qui, lorsqu'il est multiplié par lui-même, donne le nombre [[2 (nombre)|2]], autrement dit √2 × √2 = 2.
Il est vraisemblable que √2 ait été le premier nombre reconnu comme [[nombre irrationnel|irrationnel]], c'est-à-dire ne pouvant être exprimé comme une [[fraction]] de [[nombre entier|nombres entiers]]. La découverte des [[nombre irrationnel|nombres irrationnels]] est généralement attribuée à l'école de [[Pythagore]], dont l'un des membres aurait produit la toute première démonstration d'irrationalité. Sans pouvoir affirmer avec certitude que celle-ci concernait √2, le fait que les propriétés de ce nombre soient connues et étudiées depuis très longtemps, et aussi qu'il est particulièrement simple d'en démontrer l'irrationalité, est un argument pour faire de √2 « le premier irrationnel ».
:Le nombre intervient dans des applications de la vie courante :
*les feuilles de papier européennes au standard ([[format de papier|format A4]]) ont une [[Notion de module|proportion]] longueur/largeur égale à √2 ;
*en [[musique]], le rapport des fréquences de la [[Quarte (musique)|quarte]] augmentée de la [[gamme tempérée]] vaut √2 ;
*en [[électricité]], la [[tension électrique|tension]] maximale du [[courant alternatif]] domestique vaut √2 de la [[tension efficace]] indiquée (généralement 110 ou 220 V) ;
*en photographie, la suite des valeurs d'[[Ouverture (photographie)|ouverture]] du diaphragme sont les valeurs approchées d'une [[suite géométrique]] de [[Raison d'une suite|raison]] √2.
== Éléments introductifs ==
=== Définition, notation et prononciation ===
*√2 se prononce ''racine carrée de 2'' ; se prononçait aussi "radical de deux".
*√2 est le [[nombre réel]] [[positif]]<ref>Dans R : (-√2)² = 2.</ref> qui multiplié par lui même donne 2. Autrement dit, c'est le nombre positif x tel que x²=2, soit : (√2)²=√2×√2=2.
*√2 se note également 2{{exp|1/2}} : ''deux puissance un demi''. (notation Unicode : 2<sup>½</sup>)
=== Premières propriétés ===
Si les mécanismes<ref>Il s'agit du [[Produit mathématique|produit]], du [[2 (nombre)|nombre deux]], et du concept d'[[égalité (mathématiques)|égalité]]</ref> entrant en jeu dans la définition de la ''racine carrée'' de deux peuvent être compris très tôt, l'évaluation de la solution est bien plus complexe.
La recherche d'une valeur de √2 sous forme de [[fraction]] (''ratio'') est [[Racine carrée de deux#Irrationalité|vaine]]. Ce constat est à l'origine d'un des problèmes [[Nombre réel#Problèmes d'incomplétude|fondamentaux des mathématiques]]. √2 est un nombre ''[[Nombre irrationnel|irrationnel]]''. C'est en outre le premier nombre dont l'irrationalité a été prouvée.
=== Existence et construction ===
Quelques constructions classiques de √2.
# Le ''[[Théorème de Pythagore]]'' énonce que dans un triangle ABC rectangle en C, AB²=AC²+BC². Si ce triangle est un carré coupé en diagonale, la mesure de ses côtés peut être ramenée à l'unité, AC=BC=1, d'où AB²=1+1=2. Par conséquent AB=√2.
# Dans un carré, la diagonale est multiple de √2 par rapport aux côtés.
# On peut construire un carré de surface 2. L'aire d'un carré est égale au produit de ses côtés (''c'' × ''c'' = ''c''²). La ''racine'' de sa surface du carré est son côté et par construction, celui-ci est égal à √2. ''c''² = 2 donne ''c'' = √2 ~ 1,4142. Cette construction est à l'origine de l'expression ''racine carrée''.
# La ''[[#Duplication du carré|duplication du carré]]'' est une construction géométrique qui vérifie l'existence du nombre √2.
=== Étymologie ===
L'expression racine carrée est issue de la notation géométrique européenne qui prévalait avant la notation [[algèbre|algébrique]], et plus particulièrement de l'une des constructions de √2 présentée au paragraphe précédent.
Les problèmes mathématiques ont souvent été présentés sous forme géométrique avant d'être ramenés à des expressions algébriques.
=== Valeur approchée ===
√2 vaut [[Racine carrée de deux#Méthodes numériques d'approximation|approximativement]] 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569 671 875 376 948 073 176 679 737 990 732 478 462 107 038 850 387 534 327 641 572 7
Le calcul d'une valeur approchante de √2 a été un problème mathématique pendant des siècles. Ces recherches ont permis de perfectionner les [[Algorithmique|algorithmes]] de calculs d'extraction de racines carrées. En informatique, ces recherches se sont poursuivies afin d'optimiser ces algorithmes : réduire les temps de calcul et la consommation de mémoire<ref>La plupart des logiciels mathématiques, sur ordinateurs ou sur machines à calculer, utilisent des approximations pré-établies de cette constante - au moins jusqu’à un certain rang.</ref> afin d'utiliser ces outils dans des domaines aussi variés que l'animation vectorielle, [[Racine carrée de deux#Musique|la musique]] ou les statistiques<ref>√2 intervient dans la [[loi normale]]</ref> .
==√2 dans la vie courante==
===Format de papier===
[[Image:A size illustration.svg|thumb|right|Le rapport longueur/largeur d'une feuille de format A est une bonne approximation de √2]] {{article détaillé|format de papier}}
Les formats de papier A, B et C de la norme [[ISO 216]], d'emploi courant hors de l'[[Amérique du Nord]], ont été conçus pour vérifier une propriété remarquable : une feuille coupée en deux parties égales par la largeur, produit deux feuilles [[homothétie|homothétiques]] à l'original ; c'est-à-dire avec le même rapport longueur/largeur. L'aire étant diminuée d'un facteur 2, ceci n'est possible que si ce rapport vaut √2 ; dans la pratique, les dimensions sont arrondies.
Ci-dessous sont données les valeurs approximatives des formats A0 à A5 en fonction de √2.
::{| class="wikitable"
|+ ''Valeurs approximatives des dimensions des formats A0 à A5 exprimées en fonction de √2. Dans la pratique, les dimensions sont arrondies.''
|-
| format || longueur (m) || largeur (m) || aire (m²)
|-
| A0 || √√2 || √√2/√2 || 1
|-
| A1 || √√2/√2 || √√2/2 || 1/2
|-
| A2 || √√2/2 || √√2/(2√2) || 1/4
|-
| A3 || √√2/(2√2) || √√2/4 || 1/8
|-
| A4 || √√2/4 || √√2/(4√2) || 1/16
|}
Dans la pratique les dimensions sont arrondies. Les séries B et C diffèrent de la série A respectivement d'un facteur √√2 (~ 1,19) et √√√2 (~ 1,09).
Les facteurs d'agrandissement de 200%, 141%, 71%, 50% proposés par les [[photocopieuse]]s sont des approximations de (√2){{exp|''n''}} qui permettent le passage à des formats de papier supérieurs ou inférieurs — que ce soit physiquement ou par impression de 2{{exp|''n''}} pages par feuille.
===Musique===
{{article détaillé|gamme tempérée}}
La gamme du tempérament égal se construit ainsi : le rapport de [[fréquence]]s entre les notes extrêmes de l'[[octave (musique)|octave]] est 2 ; et la gamme est divisée en douze-demi tons
de rapports de fréquence égaux ''f''. Le rapport de fréquences entre la note la plus haute et la
plus basse est donf <math>f^{12}</math>, qui vaut, comme indiqué précédemment, 2. Le demi-ton a ainsi un rapport <math>f = 2^{\frac{1}{12}}</math>.
::{| class="wikitable"
|+ ''Rapports de fréquences des notes de la gamme tempérée par rapport à la note la plus basse.''
|-
|style="width: 3em"|do
|style="width: 3em"|do#
|style="width: 3em"|ré
|style="width: 3em"|ré#
|style="width: 3em"|mi
|style="width: 3em"|fa
|style="width: 3em"|fa#
|style="width: 3em"|sol
|style="width: 3em"|sol#
|style="width: 3em"|la
|style="width: 3em"|la#
|style="width: 3em"|si
|style="width: 3em"|do
|-
|1
|2<sup>1/12</sup>
|2<sup>1/6</sup>
|2<sup>1/4</sup>
|2<sup>1/3</sup>
|2<sup>5/12</sup>
|√2
|2<sup>7/12</sup>
|2<sup>2/3</sup>
|2<sup>3/4</sup>
|2<sup>5/6</sup>
|2<sup>11/12</sup>
|2
|}
Dans ce système, la [[triton (musique)|quarte augmentée]] (do–fa#) et la [[quinte]] diminuée (do-sol♭), égaux et valant six demi-tons, ont un rapport de fréquences de <math>\sqrt{2}</math>. Cet intervalle, porteur de tension et considéré comme "dissonance parfaite" au Moyen-Âge, fut nommé Diabolus in Musica.
===Électricité===
[[Image:sin.svg|thumb|right|Tension sinusoïdale : valeur efficace]]
{{article détaillé|tension efficace}}
En [[électricité]], la [[tension efficace]] ''U''<sub>eff</sub> d'un [[courant alternatif]] [[sinusoïde|sinusoïdal]] — par exemple les 110 V ou 220 V du courant domestique — est reliée à l'amplitude de la tension ''U''<sub>max</sub> par
:''U''<sub>max</sub> = ''U''<sub>eff</sub>√2, noté aussi Û=U√2,
soit, dans la plupart des applications courantes :
:''U''<sub>eff</sub> ≅ 0,7 ''U''<sub>max</sub>.
Cela est valable plus généralement pour la valeur efficace des grandeurs linéaires d'une [[onde]] sinusoïdale.
{{clr}}
===Photographie===
[[Image:Jdd diaphragme photo.jpg|thumb|right|Diaphragme contrôlant l'ouverture d'un appareil photo]]
{{article détaillé|Ouverture (photographie)}}
Les [[ouverture (photographie)|ouverture]]s des [[appareil photographique|appareils photographiques]] suivent la séquence normalisée f/1,4, f/2 f/2,8 f/4 f/5,6 f/8 f/11 f/16 f/22, f/32, etc. Le rapport entre deux ouvertures consécutives est une valeur proche de √2, qui a été choisie de sorte à ce que le rapport de [[flux lumineux]] soit dans un rapport 2 (flux = diamètre²) . En diminuant d'un « cran » l'ouverture on double le temps de pose nécessaire ou diminue d'un facteur 2 la sensibilité de la [[pellicule photographique|pellicule]] requise.<ref>{{en}} ''[http://www.uscoles.com/fstop.htm A Tedious Explanation of the f/stop]'', Matthew Cole, [[2005]] <small>(visté le [[29 août]] 2006)</ref>
Dans la pratique, l'ouverture indiquée est un arrondi ; l'ouverture réelle peut coller au plus proche de <math>\sqrt{2}</math><ref>{{en}} ''[http://tangentsoft.net/fcalc/help/ f/Calc Manual]''</ref>. Il existe des subdivisions sur les appareils modernes, souvent dans des rapports <math>\sqrt{\sqrt{2}}</math> ou <math>\sqrt{2}^{\frac{1}{3}}</math>.
{{clr}}
::{| class="wikitable" style="text-align: center"
|+ ''Lien entre ouverture, diamètre du diaphragme et flux lumineux reçu à pose et sensibilités fixés.''
! style="text-align: left" | Ouverture
| f/1,4 || f/2 || f/2,8 || f/4 || f/5,6 || f/8 || f/11 || f/16 || f/22 || f/32
|-
! style="text-align: left" | Diamètre
| ''d'' || ''d''/√2 || ''d''/2 || ''d''/2√2 || ''d''/4 || ''d''/4√2 || ''d''/8 || ''d''/8√2 || ''d''/16 || ''d''/16√2
|-
! style="text-align: left" | Flux
| ''I'' || ''I''/2 || ''I''/4 || ''I''/8 || ''I''/16 || ''I''/32 || ''I''/64 || ''I''/128 || ''I''/256 || ''I''/512
|}
==Histoire==
===Babylone===
[[Image:YBC 7289 sketch.svg|thumb|right|Schéma de la tablette [[YBC 7289]]]] {{article détaillé|YBC 7289}}
La première représentation connue de ce nombre date du début du {{IIe millénaire av. J.-C.}}. Il apparaît sur la [[tablette]] [[Babylone|babylonienne]] [[YBC 7289]] datant de -1700 ± 100. Il s'agit du tracé d'un carré avec ses diagonales, avec les mesures des segments et accompagné d'une valeur approchée de √2 écrite en [[système sexagésimal]] [[cunéiforme]] :
:{{Nombre babylonien|1|24|51|10}},
ce qui signifie très probablement 1 + 24/60 + 51/60² + 10/60³ — l'absence de [[zéro]] et de [[virgule]] dans la [[numération babylonienne]] rend la [[notation positionnelle]] ambiguë — soit environ 1,41421296. Il s'agit d'une valeur approchée au six dix-millionièmes de <math>\sqrt{2}</math>, ce qui indique qu'elle avait été obtenue de manière [[algorithmique]], car une telle précision de mesure leur était hors de portée.
On sait d'ailleurs que les Babyloniens savaient extraire des racines carrées d'entiers non [[nombre carré|carrés]] en exploitant des formules du type de la [[méthode de Héron]]<ref name="RF">{{en}} [http://www.hps.cam.ac.uk/dept/robson-fowler-square.pdf ''Square root approximations in Old Babylonian mathematics : YBC 7289 in context''] - Eleanor Robson & David Fowler, Historia Mathematica, 25, pp. 366-378, 1998 {{pdf}}</ref> (ces formules sont un cas particulier de la [[méthode de Newton]]).
===Grèce antique===
{{article détaillé|mathématiques de la Grèce antique|École pythagoricienne|mode=approfondir}}
Les [[École pythagoricienne|pythagoriciens]] attribuèrent une grande importance à la notion de grandeurs [[Commensurabilité (mathématiques)|commensurables]] et s'y tinrent longtemps comme à un principe philosophique. Ils ne pouvaient concevoir qu'un nombre ne soit pas un rapport d'entiers, le rapportant le plus souvent à des figures géométriques. Mais d'après [[Aristote]] ({{IVe siècle av. J.-C.}}), ce sont les pythagoriciens eux-mêmes qui démontrèrent pour la première fois que <math>\sqrt{2}</math> est irrationnel, à la fin du {{Ve siècle av. J.-C.}}, à savoir qu'il ne peut s'écrire comme le rapport de deux grandeurs commensurables. Cette démonstration de l'incommensurabilité de <math>\sqrt{2}</math>, supposée pour une grande part géométrique, est souvent attribuée à [[Pythagore]], mais elle aurait en fait été rédigée par l'un de ses disciples. Une légende rapporte que, parce que contraire aux pensées de [[Pythagore]] sur le caractère absolu des nombres, la découverte d'un nombre irrationnel jeta un trouble au sein de l'école et la démonstration fut dissimulée. Une autre légende mise en doute par [[Proclus]] raconte qu'[[Hippase de Métaponte]] fut jeté à la mer et mourut noyé pour avoir révélé l'existence de cette démonstration.
Beaucoup de doutes subsistent sur ces récits. D'ailleurs certains émettent l'hypothèse qu'il ne s'agissait pas de <math>\sqrt{2}</math> mais plutôt du [[nombre d'or]] <math>(1+\sqrt{5})/2</math>. [[Platon]] rapporte dans son [[Théétète (Platon)|Théétète]], que [[Théodore de Cyrène|Théodore]] utilisait une méthode générale pour démontrer l'incommensurabilité à un des racines carrées de 3, 5, ... 17 mais sans nous la révéler. Ainsi l'incommensurabilité de <math>\sqrt{2}</math> à 1, pourrait bien avoir tout de même été établie par les pythagoriciens.
La plus ancienne preuve de l'incommensurabilité de <math>\sqrt{2}\,</math> avec 1 qui ait traversé le temps, figure dans les textes d'[[Aristote]] (Aristote, Analytiques Postérieurs I), qui affirme que si la diagonale du carré était commensurable avec le côté, alors un même nombre serait pair et impair. Une autre démonstration se trouve dans le livre 10 des ''[[Éléments]]'' d'[[Euclide]] et repose sur la méthode d'antiphérèse, aussi appelée méthode de soustraction réciproque.
On suppose que l'algorithme de [[Théon de Smyrne]], inspiré de la méthode d'antiphérèse, aurait été utilisé à l'époque pour calculer des valeurs approchées de <math>\sqrt{2}</math>. Il permet, en considérant les rapports de termes des deux suites introduites par Théon et en utilisant le principe de l'encadrement, d'obtenir des valeurs approchées de <math>\sqrt{2}</math> comme 3/2, 7/5, ou 17/12.
Précisons qu'il faudra attendre [[Diophante]] pour que <math>\sqrt{2}</math> et les autres irrationnels, ainsi que les [[nombre rationnel|rationnels]] soient considérés comme des nombres à part entière, algébriquement parlant.
===Monde indien===
{{Article détaillé|Mathématiques indiennes|mode=approfondir}}
On peut trouver dans le ''Śulbasutra'' de Baudhayana une approximation de <math>\sqrt{2}\,</math> antérieure au {{Ve siècle av. J.-C.}} <ref>Voir
{{fr}} Quelques aspects arithmétiques du commentaire de Dvarakanatha sur la géométrie du Sulbasutra, Jean-Michel Delire, Oriens-Occidens, n°4 (2002) ; {{en}} ''[http://www.math.cornell.edu/~dwh/papers/sulba/sulba.html Square Roots in the Sulbasutra]'', avid W. Henderson ; {{fr}} ''[http://www.enseignement.be/@librairie/documents/ressources/100/diagonalecarre.pdf La Diagonale du carré]'', 5.2 {{pdf}}</ref>.
===Monde arabo-musulman===
{{article détaillé|mathématiques arabes|mode=approfondir}}
Le monde arabo-musulman connaissait l'irrationalité √2, au moins par traduction des textes grecs. Les travaux de [[Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi]] introduisent la notation algébrique la généralise les problèmes et [[équation]]s du [[second ordre]]<ref>{{en}} [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/history/Mathematicians/Al-Khwarizmi.html Abu Ja'far Muhammad ibn Musa Al-Khwarizmi]</ref>. Un de ses successeurs, [[Abu Kamil]] systématise la manipulation des irrationnels. Ces deux mathématiciens développent et perfectionnent les algorithmes d'approximation des irrationnels, dont √2.
===Occident===
==Géométrie==
=== Duplication du carré ===
[[Image:Duplication.svg|thumb|right|En rouge le carré initial<br/>En pointillé, les tracés de Socrate<br/>En bleu, la réponse de l'esclave]]
<math>\sqrt{2}</math> intervient dans la duplication du carré. C’est-à-dire la résolution du problème :
: Un carré étant donné, comment construire un carré dont la surface est double ?
Ce problème, dont la résolution géométrique est relativement simple, offre un double intérêt historique : d'une part, il a servi de base à une démarche [[pédagogie|pédagogique]] célèbre racontée dans le ''[[Ménon]]'' de [[Platon]] (vers 400 av. J.-C.). D'autre part, il a poussé les mathématiciens à s'intéresser à un problème qui semblait similaire mais qui se révéla insoluble dans le cadre de la [[construction à la règle et au compas]] : la [[duplication du cube]].
Dans le Ménon de Platon, [[Socrate]] cherche à prouver à Ménon que la vertu ne s'enseigne pas mais est intrinsèque. Il pose à un [[esclave]] le problème de la duplication du carré et va l'amener à trouver « seul » la solution du problème. La démarche de l'esclave suit une voie assez classique. Il propose de multiplier le côté par deux. Socrate l'amène à trouver qu'alors l'aire est multipliée par 4. L'esclave propose ensuite de considérer un carré dont le côté est la moyenne arithmétique du côté initial et de son double. Socrate l'amène à trouver que l'aire vaut alors les 9/4 de l'aire initiale. L'esclave arrive à une impasse : il ne peut trouver un nombre solution du problème. Socrate le guide alors vers la voie géométrique, il reproduit 3 carrés semblables au premier et trace une diagonale. L'esclave poursuit le raisonnement et construit enfin la solution au problème. D'après Socrate, l'esclave a retrouvé en lui une vérité qu'il possédait ; la démarche employée ressortit à la [[maïeutique]].
On peut donc affirmer :
:Le rapport entre le côté et la diagonale d'un carré est <math>\sqrt{2}</math>
Autrement dit, si ''d'' est la longueur de la diagonale et ''c'' celle du côté
: <math>d = c \sqrt{2}</math>
{{clr}}
===Triangle rectangle isocèle===
[[Image:Isosceles right triangle.svg|thumb|right|Triangle rectangle isocèle de côté 1]]
Dans un [[triangle rectangle]], si les deux côtés adjacents à l'angle droit ont une longueur égale à l'unité, l'hypoténuse a pour longueur de √2. Ce résultat est un cas particulier du [[théorème de Pythagore]].
La [[théorème de Pythagore]] affirme en effet que dans un [[triangle rectangle]], le carré de l'[[hypoténuse]] — côté opposé à l'[[angle droit]] — est égal à la somme des carrés des côtés adjacents à l'angle droit. Sur la figure ci-contre, cela se traduit par
: <math>a^2 + b^2 = c^2</math>
Sur le triangle ci-contre cela donne ainsi
: <math>1^2 + 1^2 = c^2</math>.
Cela veut dire que le carré de l'hypoténuse <math>c^2</math> vaut 2. On en déduit que l'hypoténuse elle-même est de longueur
: <math>c = \sqrt{2}</math>.
=== Trigonométrie ===
[[Image:Trigonometry 45 degrees.svg|thumb|right|√2/2 = sin 45° = cos 45°]]
La moitié de √2 est une quantité commune en géométrie et en trigonométrie, car le vecteur unitaire qui fait un angle de 45° avec l'axe des abscisses, dans un [[repère orthonormé]], a pour coordonnées :
:<math>\left( \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} \right) </math>
Ce nombre satisfait cette relation :
:√2/2 = 1/√2 = cos 45° = sin 45°
<!--
Cette propriété est une conséquence du [[théorème de Pythagore]] dans le cercle trigonométrique. Soit le triangle rectangle de sommets o, l'origine du repère, c, l'intersection du rayon r avec le cercle, et x' l'intersection de la perpendiculaire y avec l'axe horizontal. xyr est un triangle rectangle, donc x²+y²=r=1. Par définition x=cos
-->
{{clr}}
===Construction de √2 à la règle et au compas===
[[Image:Square root of two with ruler and compass.svg|right|thumb|Construction à la règle et au compas]] Comme toutes les racines carrées de nombre entier, <math>\sqrt{2}</math> est [[construction à la règle et au compas|constructible à la règle et au compas]] ; ''a contrario'', ce n'est pas le cas de la [[racine cubique]] de 2, par exemple.
Étant donné un [[Segment (mathématiques)|segment]] AB de longueur unité, voici les différentes étapes pour construire un segment de longueur <math>\sqrt{2}</math> avec une [[règle (instrument de géométrie)|règle non graduée]] et un [[compas (géométrie)|compas]] :
# Tracer le symétrique B' de B par rapport à A
#* Tracer le cercle C<sub>1</sub> de centre A et de rayon AB, il coupe la [[demi-droite]] ]BA) en B'
# Tracer la médiatrice (AH) de [BB']
#* Tracer le cercle C<sub>2</sub> de centre B et de rayon ''r'' > AB
#* Tracer le cercle C<sub>3</sub> de centre B' et de rayon ''r'', il coupe C<sub>2</sub> en deux points, H et H'
#* Tracer le segment [AH] il intersecte C<sub>1</sub> en un point C.
À cette étape le segment [BC] de longueur <math>\sqrt{2}</math> est construit.
{{clr}}
===Construction de √2 au compas seul===
[[Image:Square root of two with compass only.svg|right|thumb|Construction au compas seul]]
Comme tout nombre constructible à la règle et au compas, <math>\sqrt{2}</math> est constructible au compas seul. Les étapes d'une construction possible sont :
# Tracer quatre sommets consécutifs B, G, H, I de l'hexagone régulier de centre A et de sommet B ; ceci permet de construire √3, l'unité étant la longueur AB.
#* Tracer le cercle C<sub>1</sub> de centre A et de rayon AB ;
#* Tracer le cercle C<sub>2</sub> de centre B et de rayon AB, il coupe C<sub>1</sub> en deux points, soit G l'un d'entre eux ;
#* Tracer le cercle C<sub>3</sub> de centre G et de rayon AB, il coupe C<sub>1</sub> en B et H ;
#* Tracer le cercle C<sub>4</sub> de centre H et de rayon AB, il coupe C<sub>1</sub> en G et I ;
# Construire un triangle rectangle ABC d'hypoténuse AC = √3 (AB = 1) ; C est l'un des deux points tel que IC = IG et BC = BH (sachant que IG = BH = √3 > IB/2 = 1).
#* Tracer le cercle C<sub>5</sub> de centre I et de rayon IG ;
#* Tracer le cercle C<sub>6</sub> de centre B et de rayon BH (= IG), il coupe C<sub>5</sub> en C.
À cette étape le segment [AC] de longueur <math>\sqrt{2}</math> est construit.
<small>Éléments de démonstration : IC = IG = √3, car d'après le [[théorème de Pythagore]], les hauteurs en I et G des triangle équilatéraux de côté 1, IHA et HAG, qui sont portées par la médiatrice de (H, A), ont pour longueur √3/2. Par construction (A et C sur la médiatrice de BI) (AC) est perpendiculaire à (AI) et le [[théorème de Pythagore]] dans IAC donne AC² = 2.</small>.
==Propriétés mathématiques principales==
===Irrationalité===
{{article détaillé|nombre irrationnel}}
<math>\sqrt{2}</math> est un [[nombre irrationnel]], c'est-à-dire qu'il n'est pas possible de l'écrire <math>\sqrt{2} = \frac{p}{q}</math>, c'est-à-dire sous la forme d'une [[fraction]] de deux [[nombres entiers]] ''p'' et ''q''.
Anciennement, on parlait d'[[commensurabilité (mathématiques)|incommensurabilité]] de <math>\scriptstyle{\sqrt{2}}</math> et 1 : il n'existe pas d'unité ''u'' permettant de mesurer à la fois le côté d'un carré et sa diagonale ; ce qui se traduit mathématiquement par la proposition suivante : il n'existe pas ''p'' et ''q'' entiers tels que :
::<math>\sqrt{2} = pu \text{ et }1 = qu</math>.
Ces deux formulations sont équivalentes.
Il existe de multiples démonstrations de l'irrationalité ; de part leur simplicité, elles sont souvent utilisées à des fins pédagogiques comme introduction à la [[théorie des nombres]]. Elles procèdent le plus souvent par l'[[démonstration par l'absurde|absurde]]. L'incohérence typique est l'existence d'une [[descente infinie]] d'[[entier naturel|entiers naturels]] ou la simplification d'une [[fraction irréductible]]. La forme de la preuve peut utiliser des arguments purement arithmétiques ou utiliser une représentation géométrique.
[[Image:Right isosceles triangle with integer sides.svg|thumb|right|Triangle isocèle rectangle à côtés entiers si <math>\sqrt{2}</math> est rationnel : une étape de descente infinie]]
==== Démonstration géométrique ====
On suppose <math>\textstyle{\sqrt{2} = \frac{q}{p}}</math> avec ''p'' et ''q'' entiers.
On construit un triangle AOB rectangle isocèle en O de côté ''OA'' = ''OB'' = ''p'', son hypoténuse est ainsi ''AB'' <math>= \scriptstyle{OA\sqrt{2}}</math> <math>= q</math>.
On construit un cercle de centre A et de rayon ''AO'' ; il intersecte l'hypoténuse ''[AB]'' en B'. On construit un cercle de centre A et de rayon ''AB'', il intersecte ''[AO)'' en C. On pose A' = B. On définit enfin le point O' comme le point d'intersection des droites ''(B'C)'' et ''(A'O)''. On obtient :
* ''A'B''' = ''AB'' - ''AO'' = ''q'' - ''p'',
* Donc on a : ''CO'' = ''AC'' - ''AO'' = ''AB'' - ''AO'' = ''q'' - ''p'',
* les points A, O et C jouent un rôle symétrique par rapport à A, B', A', de sorte que ''(AO')'' est un axe de symétrie ;
** <math>\scriptstyle{\widehat {A'B'O'}}</math> est droit, <math>\scriptstyle{\widehat {O'A'B'} =\widehat {ABO} = 45^\circ} </math>, donc A'B'O' est isocèle rectangle.
* ''<nowiki>B'O'</nowiki>'' = ''<nowiki>A'B'</nowiki>'' = ''q'' - ''p'' ,
* Par symétrie, ''OO''' = ''q'' - ''p'',
* ''<nowiki>A'O'</nowiki>'' = ''OB'' - ''<nowiki>OO'</nowiki>'' = ''p'' - (''q'' - ''p'') = 2''p'' - ''q''.
Le triangle A'B'O' est rectangle isocèle en B' de côté ''q'' - ''p'' et d'hypoténuse 2''p'' - ''q'', tous les deux entiers.
En continuant ainsi de suite, on obtient une descente infinie de triangles à côtés entiers
AOB, A'O'B', etc. ce qui est absurde.
Donc <math>\scriptstyle{\sqrt{2}}</math> ne peut pas s'écrire <math>\textstyle{\frac{q}{p}}</math> avec ''p'' et ''q'' entiers.
<small>Note : une autre version de la preuve ne nécessite pas l'argument de la descente infinie. On prend comme hypothèse la fraction irréductible <math>\textstyle{\frac{p}{q}}</math> ; le triangle A'O'B' donne (2''p'' − q)/(''q'' − ''p'') de plus petits numérateurs et dénominateurs, ce qui est également absurde. Il faut toutefois noter que la possibilité de choisir une fraction sous forme irréductible repose sur la propriété de [[théorème fondamental de l'arithmétique|factorialité]] et donc ''in fine'' sur un argument de descente infinie.</small>
==== Démonstration arithmétique ====
On suppose par l'absurde que la racine carrée de 2 est [[rationnel]]le. Dans ce cas on pourrait écrire √2 sous forme de fraction irréductible, c'est-à-dire que ''p'' et ''q'' n'auraient pas de [[premiers entre eux|facteurs premiers communs]]. Il en serait donc de même pour ''p''² et ''q''², ce qui signifierait que ''p''²/''q''² serait une fraction sous sa forme irréductible. Une telle forme étant unique, l'égalité ''p''²/''q''² = 2/1 entraînerait p² = 2 et q² = 1. La première de ces deux égalités est impossible pour ''p'' entier ; on a donc abouti à une contradiction.
Il existe différentes variantes de cette preuve. Sous cette forme, elle demande quelques connaissances arithmétiques, en particulier le lemme de Gauss (ou [[lemme d'Euclide]]) pour l'unicité de la forme irréductible d'une fraction. Elle se généralise directement pour montrer l'irrationalité de la racine carrée d'un entier qui n'est pas un [[carré parfait]]. Si on s'intéresse seulement à l'irrationalité de √2, on peut en ramener l'argumentation à des considérations élémentaires de parité comme suit.
Si √2 était rationnel, il pourrait s'écrire sous forme d'une fraction ''p''/''q'' telle qu'au moins l'un des deux entiers ''p'' et ''q'' soit impair. Il suffit de simplifier par 2 jusqu’à que ce ne soit plus possible (argument de descente infinie). On remarque que le carré d'un nombre impair, c'est-à-dire de la forme 2''k''+1, est impair : (2''k''+1)² = 2(2''k''² + 2''k'')+1. Comme tout nombre est pair (de la forme 2''k'') ou impair, on en déduit que, si le carré d'un nombre est pair, ce nombre ne peut être que pair. L'identité ''p''² = 2''q''² impliquerait que ''p''² et donc aussi ''p'' seraient pairs. Il s'en suivrait que ''p''² serait divisible par 4, donc ''q''² par 2. À nouveau ''q''² et donc ''q'' seraient pairs. Mais ''p'' et ''q'' seraient tous les deux pairs, ce qui est absurde.
Par l'une des trois démonstrations précédentes √2 est un irrationnel.
===Normalité===
{{article détaillé|nombre normal}}
La [[nombre normal|normalité]] est un concept se basant sur la distribution des chiffres du développement décimal d'un nombre irrationnel, à savoir si tous les chiffres de 0 à 9 apparaissent dans ce développement et avec la même fréquence. En ce qui concerne √2, on ignore s'il est normal dans le [[système décimal]] ou dans toute autre [[base (arithmétique)|base de numération]].
===Degré algébrique et degré d'irrationalité===
{{article détaillé|Entier quadratique}}
<math>\sqrt{2}\,</math> est un [[nombre algébrique]] de degré 2, dit [[entier quadratique]], car solution de l'équation [[polynôme|polynômiale]] du second degré à coefficients entiers ''x''² − 2 = 0 et de monôme dominant de coefficient égal à ''un'' , mais d'aucune de degré 1 de par son irrationalité. On sait ainsi qu'il est difficilement approchable par une suite rationnelle ''p''<sub>''n''</sub>/''q''<sub>''n''</sub> ; l'erreur est en mieux en
:|√2 − ''p''<sub>''n''</sub>/''q''<sub>''n''</sub>| ~ 1/''q''<sub>''n''</sub>².
Comme pour tout nombre algébrique irrationnel, son [[degré d'irrationalité]] est 2.
===Proportion d'argent===
{{article détaillé|proportion d'argent}}
La [[proportion d'argent]] est une constante mathématique obtenue à partir de <math>\sqrt{2}\,</math> :
: <math>\Delta = 1 + \sqrt{2} = (\sqrt{2} - 1)^{-1}\,</math>
Elle peut aussi être écrite comme une [[fraction continue]] :
:Δ = [2; 2, 2, 2, …]
On peut écrire les puissance de la proportion d'argent ainsi :
: <math>\Delta^{n + 1} = u_{n}\Delta + u_{n - 1}\,</math>
où la suite (''u''<sub>''n''</sub>) est définie par récurrence :
: <math>u_{n + 2} = 2 u_{n + 1} + u_n\,</math>
<small>Note : il y a une ressemblance avec les propriétés de la [[proportion dorée]], dont les puissances successives s'expriment en fonction de φ et 1/φ et d'une suite récurrente double.</small>
===Développement en fraction continue===
{{article détaillé|Fraction continue d'un nombre quadratique}}
√2 est relié à un certain nombre de développements en [[fraction continue|fractions continues]] périodiques, par propriété des [[entier quadratique|entiers quadratiques]].
√2 est relié au développement en [[fraction continue]] suivant
:<math>a\sqrt{2} - b = \frac1{2b + \frac1{2b + \frac1{2b + \cdots}}}\,</math>
pour 2''a''² − ''b''² = 1, (''a'', ''b'') entiers strictement positifs. On notera ce développement de manière plus concise :
:''a''√2 − ''b'' = [0; 2''b'', 2''b'', 2''b'', …]
On en tire les valeurs suivantes de √2 :
: √2 = [1; 2, 2, 2, …].
: √2 = 1/5 × [7; 14, 14, 14, …]
: √2 = 1/29 × [41; 82, 82, 82, …]
Plus généralement, <math>\sqrt{2}</math> se relie à la fraction continue généralisée suivante :
:<math>a\sqrt{2} - b = \frac k{2b + \frac k{2b + \frac k{2b + \cdots}}}\,</math>
notée sous forme plus concise
: ''a''√2 − ''b'' = [0; ''k'', 2''b''; ''k'', 2''b''; ''k'', 2''b''; …]
avec ''k'' = 2''a''² − ''b''², et (''a'', ''b'') entiers strictement positifs. On en déduit les quelques développements de <math>\sqrt{2}\,</math> suivants :
:√2 = 1/2 × [3; -1, 6; -1, 6; -1, 6; …]
:√2 = 1/12 × [17; -1, 34; -1, 34, -1, 34; …]
:√2 = 1/70 × [90; -1, 180; -1, 180, -1, 180; …]
<small>Éléments de démonstration : soit la suite (''u''<sub>''n''</sub>) définie par la relation de récurrence ''u''<sub>''n'' + 1</sub> = −k/(2''b'' + ''u''<sub>''n''</sub>) et ''ε''<sub>''n''</sub> = |''u''<sub>''n''</sub> − (''a''√2 − ''b'')|. Alors on peut montrer que ''ε''<sub>''n'' + 1</sub> < ''Kε''<sub>''n''</sub>, avec 1/|1 + 2''b''/(''a''√2 − ''b'')| < ''K'' < 1 dans un voisinage de ''a''√2 − ''b''.</small>
===Développements en série et produit infini===
==== Produits infinis ====
L'identité cos(π/4) = sin(π/4) = 1/√2 et la représentation en [[produit infini]] du [[Fonction trigonométrique|sinus]] et du [[Fonction trigonométrique|cosinus]] mènent aux développements suivants
:<math>\sqrt 2 = 2\prod_{k=0}^\infty
\frac{(4k+1)(4k+3)}{(4k+2)^2} =
2
\left(1-\frac{1}{4}\right)
\left(1-\frac{1}{36}\right)
\left(1-\frac{1}{100}\right) \cdots</math>
:<math>\sqrt{2} =
\prod_{k=0}^\infty
\frac{(4k+2)^2}{(4k+1)(4k+3)} =
\left(\frac{2 \cdot 2}{1 \cdot 3}\right)
\left(\frac{6 \cdot 6}{5 \cdot 7}\right)
\left(\frac{10 \cdot 10}{9 \cdot 11}\right)
\left(\frac{14 \cdot 14}{13 \cdot 15}\right) \cdots</math>
Le dernier produit peut s'écrire de manière équivalente :
:<math>\sqrt{2} =
\prod_{k=0}^\infty
\left(1+\frac{1}{4k+1}\right)
\left(1-\frac{1}{4k+3}\right)
=
\left(1+\frac{1}{1}\right)
\left(1-\frac{1}{3}\right)
\left(1+\frac{1}{5}\right)
\left(1-\frac{1}{7}\right) \cdots.</math>
==== Séries ====
Le nombre peut aussi être évalué sous forme de [[Série (mathématiques)|série]] par le [[développement de Taylor]] d'une fonction trigonométrique en <math>\left({\pi}/{4}\right)</math> :
:<math>\frac{1}{\sqrt{2}} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k \left(\frac\pi4\right)^{2k}}{(2k)!}.</math>
:<math>\frac{1}{\sqrt{2}} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k \left(\frac\pi4\right)^{2k+1}}{(2k+1)!}.</math>
On peut aussi utiliser la fonction <math>\sqrt{1+x}\,</math> en 1:
:<math>\sqrt{2} = \sum_{k=0}^\infty (-1)^{k+1} \frac{\prod_{n=1}^{n=k-1} (2n-1)}{\prod_{n=1}^{n=k} 2n} =
1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2\cdot4} + \frac{1\cdot3}{2\cdot4\cdot6} -
\frac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6\cdot8} + \cdots.</math>
La convergence de la dernière série peut être accélérée par le biais d'une [[transformation d'Euler]] pour donner :
:<math>\sqrt{2} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(2k+1)!}{(k!)^2 2^{3k+1}} = \frac{1}{2} +\frac{3}{8} +
\frac{15}{64} + \frac{35}{256} + \frac{315}{4096} + \frac{693}{16384} + \cdots.</math>
==Méthodes numériques d'approximation==
Les [[calcul numérique|méthodes numériques]] d'approximation présentées ci-dessous sont destinées au calcul d'un nombre important de décimales. Elles se basent généralement sur une [[suite (mathématiques)|suite]] convergente de [[nombre rationnel|nombres rationnels]] ; ainsi l'itération s'affranchit du coût de calcul sur des [[nombre à virgule flottante|nombres à virgule flottante]] — dont il faudrait en plus connaître la précision ''a priori''. Les meilleures approximations par une suite rationnelle ''p''<sub>''n''</sub>/''q''<sub>''n''</sub> donnent une erreur en 1/''q''<sub>''n''</sub>², une propriété de l'[[approximation diophantienne]] des [[entier quadratique|entiers quadratiques]].
===Méthodes à convergence linéaire===
==== Méthode de Théon de Smyrne ====
On doit à [[Théon de Smyrne]] ces deux suites (''p''<sub>''n''</sub>) et (''q''<sub>''n''</sub>) définies par récurrence :
: ''p''<sub>''n'' + 1</sub> = ''p''<sub>''n''</sub> + 2''q''<sub>''n''</sub>, ''p''<sub>0</sub> = 1 ;
: ''q''<sub>''n'' + 1</sub> = ''p''<sub>''n''</sub> + ''q''<sub>''n''</sub>, ''q''<sub>0</sub> = 1.
Ces suites sont à valeur entière strictement positive, donc strictement croissantes par récurrence, et vérifient
:''p''<sub>''n''</sub>² − 2''q''<sub>''n''</sub>² = (−1)<sup>''n''</sup>(''p''<sub>0</sub>² − 2''q''<sub>0</sub>²)
de sorte que ''p''<sub>''n''</sub>/''q''<sub>''n''</sub> tend vers √2.
On ne sait pas si l'intention de Théon de Smyrne était de calculer une valeur approchée de √2.
==== Solutions de l'équation diophantienne ''a''²− 2''b''² <nowiki>=</nowiki> ''k'' ====
Les solutions entières de l'équation ''a''² − 2''b''² = ''k'' sont générées par récurrence
:''a''<sub>''m'' + 1</sub> = 3''a''<sub>''m''</sub> + 4''b''<sub>''m''</sub>
:''b''<sub>''m'' + 1</sub> = 2''a''<sub>''m''</sub> + 3''b''<sub>''m''</sub>
à partir des valeurs initiales (''a''<sub>0</sub>, ''b''<sub>0</sub>) = (1, 1) pour ''k'' = −1 et (3, 2) pour ''k'' = 1.
Cette méthode est déduite de celle de Théon : chaque itération de la présente correspond à deux itérations de celle-là. Ainsi, ''a''<sub>''n''</sub>/''b''<sub>''n''</sub> tend linéairement vers √2.
Les premières solutions sont :
* ''k'' = −1 : (1, 1), (7, 5), (41, 29), (239, 169), (1393,985),
* ''k'' = 1 : (3, 2), (17, 12), (99, 70), (577, 408), (3363, 2378).
==== Méthode de Théon généralisée ====
On se donne (''a'', ''b''), obtenues par la méthode de Théon, qui sont donc solutions de l'une des deux [[équation diophantienne|équations diophantiennes]] précédente ''2b''² = ''a²'' - ''k'' = ''K'', avec ''k'' = ±1 et ''K''> 1. On peut alors écrire
:√2 = ''a''/''b'' √[''K''/(''K'' + ''k'')]
Les suites ''p''<sub>''n''</sub> et ''q''<sub>''n''</sub> définies par
: ''p''<sub>''n'' + 1</sub> = (2''K'' + ''k'')''p''<sub>''n''</sub> + 2''Kq''<sub>''n''</sub>, ''p''<sub>0</sub> = 1 ;
: ''q''<sub>''n'' + 1</sub> = (2''K'' + 2''k'')''p''<sub>''n''</sub> + (2''K'' + ''k'')''q''<sub>''n''</sub>, ''q''<sub>0</sub> = 1.
vérifient
:(''K'' + ''k'')''p''<sub>''n'' + 1</sub><sup>2</sup> - ''K'' ''q''<sub>''n'' + 1</sub><sup>2</sup> = (''K'' + ''k'')''p''<sub>''n''</sub><sup>2</sup> - ''K'' ''q''<sub>''n''</sub><sup>2</sup> = … = k,
et donc, de la même façon que ci-dessus, la suite ''p''<sub>''n''</sub>/''q''<sub>''n''</sub> converge vers √[''K''/(''K'' + ''k'')]. De plus, si ''k'' = 1, cette suite est croissante donc approche cette valeur par défaut, et si ''k'' = -1, elle est décroissante donc approche cette valeur par excès.
On peut utiliser cette relation pour estimer l'erreur :
:''ε''<sub>''n'' + 1</sub> ≈ ''ε''<sub>''n''</sub> (4''K'' + 3''k'')<sup>−2</sub>
et c'est une majoration si ''k''= 1.
La [[convergence]] est donc linéaire : elle fait gagner un nombre à peu près constant de décimales à chaque itération.
Cette méthode correspond à une généralisation de la méthode du paragraphe précédent au radical √[''K''/(''K'' + ''k'')]. Pour ''K'' plus grand, la suite ''q''<sub>n</sub> croit plus rapidement, donc la convergence est accélérée.
::{| class="wikitable"
|+ ''Premières approximations de √2 = 17/12 √(288/289) par approximation linéaire de √(288/289). Les paramètres sont a = 17, b = 12, K = 288, k = 1. On a <br/> ε<sub>n + 1</sub> < 7,5 × 10<sup>-7</sup>ε<sub>n</sub> (avant approximation décimale des quotients).''
|-style="text-align: center"<small></small>
| itération || valeur fractionnaire || décimales exactes
|-
| 0 || 1 || 1
|-
| 1 || 19601/13860 || 1,41421356
|-
| 2 || 22619537/15994428 || 1,41421356237309
|-
| 3 || 26102926097/18457556052 || 1,41421356237309504880
|-
| 4 || 30122754096401/21300003689580 || 1,41421356237309504880168872
|}
==== Développement en fraction continue ====
Une autre méthode consiste à approcher ''a''√2 − ''b'' par sa [[fraction continue]] généralisée pour (''a'', ''b'') solutions de l'équation diophantienne 2''a''² = ''b''² + ''k'', avec ''k'' = ± 1 :
:''a''√2 − ''b'' = [0; ''k'', 2''b''; ''k'', 2''b''; ''k'', 2''k'', …].
''m''√2 − ''n'' est approximé à l'aide de la suite (''p''<sub>''n''</sub>/''q''<sub>''n''</sub>) déterminée par la relation de récurrence
: ''p''<sub>''n'' + 1</sub> = ''q''<sub>''n''</sub>
: ''q''<sub>''n'' + 1</sub> = 2''bq''<sub>''n''</sub> + ''kp''<sub>''n''</sub>
L'erreur vérifie [[asymptote|asymptotiquement]]
:''ε''<sub>''n'' + 1</sub> < |''a''√2 − ''b''|/(2''b'' − 1) ''ε''<sub>''n''</sub>
::{| class="wikitable"
|+ ''Premières approximations de √2 par approximation linéaire de 169√2 − 239. Les paramètres sont a = 169, b = 239, k = 1, ε<sub>n + 1</sub> ~ 4 × 10<sup>−6</sup> ε<sub>n</sub>.''
|-style="text-align: center"<small></small>
| itération || valeur fractionnaire || décimales exactes
|-
| 0 || 1 || 1
|-
| 1 || 114243/80782 || 1,414213562
|-
| 2 || 54608393/38613965 || 1,41421356237309
|-
| 3 || 26102926097/18457556052 || 1,41421356237309504880
|-
| 4 || 12477253282759/8822750406821 || 1,4142135623730950488016887
|}
==== Développement de Taylor ====
On se donne (''a'', ''b'') solutions de l'[[équation diophantienne]] ''2a''² = ''b²'' + ''k'' = ''K'', avec ''k'' = ±1. On peut alors écrire le [[développement de Taylor]] de √[''K''/(''K'' − ''k'')]
:√[''K''/(''K'' − ''k'')] = 1 + 1/2 (k/K) + (1×3)/(2×4) (k/K)² + (1×3×5)/(2×4×6) (k/K)³ + …
et utiliser √2 = ''a''/''b'' √[''K''/(''K'' − ''k'')]
Dans le cas √2 = 7/5 √(50/49), ce développement se simplifie de façon remarquable comme l'a fait remarquer [[Leonhard Euler]] en [[1755]] :
:√2 = 7/5 [1 + 1/100 + (1×3)(1×2) 10<sup>-4</sup>+ (1×3×5)/(1×2×3) 10<sup>-6</sup>+ … ]
::{| class="wikitable"
|+ ''Approximation √2 = 239/169 √(57122/57121) par le [[développement de Taylor]] du radical fractionnaire. Les paramètres sont a = 239, b = 169, K = 57122, k = 1.''
|-style="text-align: center"<small></small>
| itération || valeur fractionnaire || décimales exactes
|-
| 0 || 1 || 1
|-
| 1 || 239/169 || 1,4142
|-
| 2 || 6238763163557/4411471739168 || 1.41421356237309
|-
| 3 ||712741258857407103/503984177369508992 || 1.414213562373095048
|-
| 4 ||325705649507622468308893/230308673437608741128192 || 1.414213562373095048801688
|}
==== Dichotomie ====
Il est possible d'approcher √2 par [[méthode de dichotomie|bissection]]. Cette méthode est de convergence linéaire lente : on gagne trois décimales à chaque dizaine d'itérations.
===Méthode à convergence quadratique===
{{article détaillé|méthode de Héron|méthode de Newton}}
La [[méthode de Newton]] appliquée à la fonction racine carrée permet de calculer une valeur approchée de √2 de manière itérative avec une convergence quadratique, c'est-à-dire doublant le nombre de décimales à chaque itération. La récurrence a la forme
:''u''<sub>''n'' + 1</sub> = ''u''<sub>''n''</sub>/2 + 1/''u''<sub>''n''</sub>
Cet algorithme s'appelle [[méthode de Héron]] ou méthode babylonienne car il semble que ce soit celle utilisée par les babyloniens pour trouver des valeurs approchées de racines carrées. .
Si l'on s'intéresse aux fractions successives à partir d'une valeur initiale ''p''<sub>0</sub> et ''q''<sub>0</sub>, la récurrence sur le numérateur et le dénominateur sont
:''p''<sub>''n'' + 1</sub> = ''p''<sub>''n''</sub>² + 2''q''<sub>''n''</sub>²
:''q''<sub>''n'' + 1</sub> = 2''p''<sub>''n''</sub>''q''<sub>''n''</sub>
::{| class="wikitable"
|+ ''Premières approximations de √2 données par la méthode de Newton''.
|-style="text-align: center"
| itération || valeur fractionnaire || décimales exactes
|-
| 0 || 1 || 1
|-
| 1 || 3/2 || 1
|-
| 2 || 17/12 || 1,41
|-
| 3 || 577/408 || 1,41421
|-
| 4 || 665857/470832 || 1,41421356237
|-
| 5 || 886731088897/627013566048 || 1,41421356237309504880168
|}
===Méthodes cubiques===
{{article détaillé|méthode de Halley|itération de Householder}}
==== Méthode de Halley ====
Un exemple de méthode cubique s'obtient par l'[[itération de Halley]]. Elle cherche le zéro de ''f''(''x'') = ''x''² − 2 en utilisant les deux premières [[dérivée]]s. La solution itérative est
:''x''<sub>''n'' + 1</sub> = ''x''<sub>''n''</sub> × (''x''<sub>''n''</sub>² + 6)/(3''x''<sub>''n''</sub>² + 2)
soit en posant ''x''<sub>''n''</sub> = ''p''<sub>''n''</sub>/''q''<sub>''n''</sub> :
:''p''<sub>''n'' + 1</sub> = ''p''<sub>''n''</sub>(''p''<sub>''n''</sub>² + 6''q''<sub>''n''</sub>²)
:''q''<sub>''n'' + 1</sub> = ''q''<sub>''n''</sub>(3''p''<sub>''n''</sub>² + 2''q''<sub>''n''</sub>²)</sub>
Cette méthode est de convergence cubique : le nombre de décimales exactes triple à chaque itération.
::{| class="wikitable"
|+ ''Premières approximations de √2 données par la méthode cubique''.
|-style="text-align: center"
| itération || valeur fractionnaire || décimales exactes
|-
| 0 || 1 || 1
|-
| 1 || 7/5 || 1,4
|-
| 2 || 1393/985 || 1,414213
|-
| 3 || 10812186007/7645370045 || 1,414213562373095048
|-
| 4 || — || 1,4142135623730950488<br />016887242096980785696<br />718753769480731766797
|}
==== Méthode de Householder ====
L'[[itération de Householder]] appliquée à f(x) = 1/x² − 1/√2 donne une suite convergeant vers 1/√2 :
:''x''<sub>''n'' + 1</sub> = ''x''<sub>''n''</sub> + ''x''<sub>''n''</sub>/8 × (2''x''<sub>''n''</sub>² − 1)(6''x''<sub>''n''</sub>² − 7)
===Méthodes d'ordre supérieur===
On utilise une [[méthode de Newton]] modifiée<ref name="GOU01a">{{en}} ''[http://numbers.computation.free.fr/Constants/Algorithms/newton.html Newton's iteration]'', Xavier Gourdon & Pascal Sebah, [[2001]], visité le [[24 août]] [[2006]]</ref> pour trouver le zéro de ''f''(''x'') = 1/''x''² − 1/2. Cela donne la suite récurrente :
:''x''<sub>''n'' + 1</sub> = ''x''<sub>''n''</sub> + ''x''<sub>''n''</sub>/16 × (8''h''<sub>''n''</sub> + 6''h''<sub>''n''</sub>² + 5''h''<sub>''n''</sub>³)
avec
:''h''<sub>''n''</sub> = 1 − ''x''<sub>''n''</sub>²/2
Cette méthode est de convergence quartique, i.e. d'ordre 4 : le nombre de décimales exactes quadruple à chaque itération.
::{| class="wikitable"
|+ ''Premières approximations de √2 données par la méthode quartique''.
|-style="text-align: center"
| itération || valeur fractionnaire || décimales exactes
|-
| 0 || 3/2 || 1
|-
| 1 || 23169/2<sup>14</sup> || 1,414
|-
| 2 ||57367317478181003155381859082363/2<sup>105</sup> || 1,41421356237309
|-
| 3 || — || 1,41421356237309<br />5048801688724209<br />6980785696718753<br />76948073176679737
|}
Il existe des méthodes d'ordre supérieur<ref name="GOU01b">{{en}} ''[http://numbers.computation.free.fr/Constants/Sqrt2/sqrt2.html Pythagoras' Constant √2]'', Xavier Gourdon & Pascal Sebah, [[2001]], visité le [[24 août]] [[2006]]</ref>, notamment parmi les méthodes de Householder.
==Notes et références==
<references />
==Bibliographie==
* Benoît Rittaud, ''Le fabuleux destin de √2'', Le Pommier, 2006, {{ISBN|2746502755}}
* Nicolas Bourbaki, ''Éléments d'histoire des mathématiques'', Hermann, 1974, {{ISBN|978-2705657789}}
* Bertrand Hauchecorne et Daniel Suratteau, ''Des mathématiciens de A à Z'', Ellipses, {{ISBN|978-2729846831}}
* Denis Daumas, « Sur la démonstration de l'irrationalité chez les grecs », in ''La démonstration mathématique dans l'histoire'', [[IREM]] de Lyon
* {{en}} Eleanor Robson & David Fowler, « Square root approximations in Old Babylonian mathematics : YBC 7289 in context », ''Historia Mathematica'', 25, pp. 366-378, 1998 {{lire en ligne|lien=http://www.hps.cam.ac.uk/dept/robson-fowler-square.pdf}} {{pdf}}
* Dominique Bertrand, "Le Diabolus des Sages, un dissonance interdite", Signatura, 2006,{{ISBN|2-951369-07-0}}
==Voir aussi==
{{Nombre}}
* [[Racine carrée]]
* [[Nombre irrationnel]]
* [[Nombre algébrique]]
==Liens externes==
* {{fr}} ''[http://www.math.univ-paris13.fr/~rittaud/RacineDeDeux Racine de 2]'', Benoît Rittaud <small>(ressources en ligne autour du livre ''Le Fabuleux destin de √2'', visité le [[24 août]] [[2006]])</small>
* {{fr}} ''[http://www.reunion.iufm.fr/Recherche/irem/histoire/pythagore_de_samos.htm Pythagore de Samos]''
* {{en}} ''[http://www.cut-the-knot.org/proofs/sq_root.shtml Square root of 2 is irrational]'', Alexander Bogomolny <small>(9 démonstrations de l'irrationalité de √2, visité le [[23 août]] [[2006]])</small>
* {{en}} ''[http://numbers.computation.free.fr/Constants/Sqrt2/sqrt2.html Pythagoras' Constant √2]'', Xavier Goudon et Pierre Sebah <small>(diverses approximations rationnelles de 2, visité le [[23 août]] [[2006]])</small>
* {{en}} ''[http://mathworld.wolfram.com/PythagorassConstant.html Pythagoras's Constant on Math World]'' <small>(visité le [[23 août]] [[2006]])</small>
* {{en}} ''[http://www.math.cornell.edu/~dwh/papers/sulba/sulba.html Square Roots in the Sulbasutra]'', David Henderson <small>(visité le [[23 août]])</small>
* {{fr}} ''[http://www.trouveurdor.com]'', Dominique Bertrand <small>("Le Diabolus des Sages; une dissonance interdite"]])</small>
{{Portail mathématiques}}
{{Bon article|vote=BA|oldid=15994985|date=19 avril 2007 }}
[[Catégorie:Nombre remarquable]]
[[da:Irrationale tal#Irrationaliteten af kvadratrod 2]]
[[de:Wurzel 2]]
[[en:Square root of 2]]
[[es:Raíz cuadrada de 2]]
[[it:Numero irrazionale#Irrazionalità della radice quadrata di 2]]
[[ja:2の平方根]]
[[ko:2의 제곱근]]
[[nl:Bewijs dat wortel 2 irrationaal is]]
[[no:Kvadratroten av 2]]
[[pt:Raiz quadrada de 2]]
[[sv:Kvadratroten ur 2]]