Relation de Mayer 242326 26902206 2008-03-01T19:55:27Z MMBot 37832 Bot : Remplacement de texte automatisé (-{{[Ss] *\|([^|} ]+ *)}} +{{\1e siècle}}) La '''relation de Mayer''', établie au {{XIXe siècle}} par [[Julius Robert von Mayer]], est une des [[formules de thermodynamique]] parmi les plus importantes. Elle relie entre elles les [[capacité calorifique|capacités calorifiques]] à [[pression]] constante ''C{{sub|p}}'' et à [[volume]] constant ''C{{sub|V}}'' : :<math>C_p - C_V = T \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_{V,N} \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{p,N} </math>, où ''p'', ''V'', ''N'' et ''T'' sont respectivement la [[pression]], le [[volume]] le nombre de particules et la [[température]] du système considéré. {{boîte déroulante|titre=Démonstration|contenu=Le résultat est une application simple des propriétés des [[dérivée partielle|dérivées partielles]]. La définition des capacités calorifiques s'écrit : :<math>C_p = T \left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{p, N}</math>, :<math>C_p = T \left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{V, N}</math>, L'[[entropie]] ''S'' pouvant s'écrire au choix comme une fonction de ''T'', ''p'', ''N'' ou ''T'', ''V'', ''N''. Or le volume, la température, la pression et le nombre de particules sont reliés par l'équation d'état du système considéré. Ainsi, la fonction <math>S (T, V, N)</math> s'écrit-elle formellement :<math>S (T, V, N) = S (T, V(p, T, N), N) = S (T, p, N)</math>. En dérivant ces deux formules par rapport à ''T'', en gardant ''N'' et ''p'' contant, on a :<math>\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{p, N} = \left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{V, N} + \left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_{T, N} \times \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{p, N}</math>, soit, en remplaçant par les définitions des capacités calorifiques, :<math>\frac{1}{T} C_p = \frac{1}{T} C_V + \left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_{T, N} \times \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{p, N}</math>. Le dernier terme peut être simplifié en considérant la [[différentielle]] de l'[[énergie libre]] ''F'', :<math>{\rm d} F = - S {\rm d} T - p {\rm d} V + \mu {\rm d} N</math>, &mu; étant le [[potentiel chimique]]. Cette différentielle étant exacte, on a :<math>\frac{\partial F}{\partial T \partial V} = -\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_{T, N} = -\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_{V, N}</math>. En reportant ceci dans l'expression de la relation de Mayer, il vient :<math>C_p = C_V + T \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_{V, N} \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{p, N}</math>. }} == Autre écriture == En utilisant les propriétés des dérivées partielles, on peut réécrire la relation précédente en :<math>C_p = C_V - T \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)^2_{V, N} \left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_{p, N}</math>. {{boîte déroulante|titre=Démonstration|contenu=Ceci provient immédiatement de la relation :<math>\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{p,N} \left(\frac{\partial T}{\partial p}\right)_{V,N} \left(\frac{\partial p}{\partial V}\right)_{T,N} = - 1</math>, dont on déduit :<math>\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{p,N} = \frac{-1}{\left(\frac{\partial T}{\partial p}\right)_{V,N} \left(\frac{\partial p}{\partial V}\right)_{T,N}}</math>. Utilisant ensuite la relation :<math>\frac{1}{\left(\frac{\partial X}{\partial Y}\right)_{Z}} = \left(\frac{\partial Y}{\partial X}\right)_{Z}</math> pour les deux quantités du dénominateur, on obtient :<math>\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{p,N} = - \left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_{V,N} \left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_{T,N}</math>. La nouvelle forme de la relation de Mayer se déduit en remplaçant le membre de gauche dans l'équation de départ. }} == Cas d'un gaz parfait == Pour un [[gaz parfait]], d'[[équation d'état]] :<math>P V = n R T~</math>, où ''n'' est le nombre de [[mole]]s du gaz et ''R'' la [[constante des gaz parfaits]], on obtient immédiatement :<math>\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_{V,N} = \frac{n R}{V}</math>, :<math>\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{p,N} = \frac{n R}{p}</math>, d'où :<math>C_p - C_V = n R~</math>. On obtient alors les expressions de <math>C_V</math> et <math>C_p</math> en fonction de ''n'', ''R'' et de <math>\gamma</math> : :<math>C_V=\frac{n R}{\gamma-1}</math> :<math>C_p=\frac{\gamma\, n R}{\gamma-1}</math> == Utilisation == La relation de Mayer permet en particulier de calculer ''C{{sub|V}}'' connaissant ''C{{sub|p}}''. En effet pour les liquides et les solides ''C{{sub|V}}'' est difficile à obtenir expérimentalement alors que ''C{{sub|p}}'' ne pose pas de problèmes. Cette relation est également utilisée pour calculer les fluctuations statistiques d'énergie dans une portion de gaz parfait. <!-- * Pour un fluide quelconque, il existe une formule de Mayer généralisée : :<math>C_p - C_V = p\,VT\alpha\beta </math> --> <!-- ==Articles connexes== * [[coefficient thermoélastique]] --> == Référence == * {{Livre Diu etal}}, page 753 et 754. [[Catégorie : Thermodynamique]] {{Portail physique}}