Représentations d'un groupe fini
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[[Image:Ferdinand Georg Frobenius.jpg|300px|thumb|right|Ferdinand Georg Frobenius fondateur de la théorie de la représentation des groupes]]
La théorie de la '''représentation des groupes finis''' est un cas particulier de [[représentation des groupes]]. Il traite du cas où le groupe étudié est d'ordre fini.
==Histoire==
===Avant les représentations===
====Théorie des groupes finis====
[[Image:evariste galois.jpg|thumb|right|Évariste Galois 1811-1832]]
[[Image:Carl Friedrich Gauss.jpg|thumb|left|Carl Friedrich Gauss]]
La théorie des groupes trouve son origine dans l'étude du groupe des [[bijection]]s d'un ensemble fini. Cette notion, appelée [[permutation]] date au moins du {{XVIIe siècle}}. Le japonais<ref>T Hamada, Y Michiwaki and M Oyama ''On the influence of the 'Seki's School versus the Saijo School controversy' in the provinces (Japanese)'' Sugakushi Kenkyu 64 1975</ref> [[Kowa Seki]] <small>([[1642]]-[[1708]])</small> et l'allemand<ref>L Couturat ''La logique de Leibniz'' (Hildesheim, 1961)</ref> [[Gottfried Leibniz|Leibniz]] <small>([[1646]]-[[1716]])</small> utilisent les permutations et la notion de [[Signature d'une permutation|signature]] pour définir un [[déterminant (mathématiques)|déterminant]] dans des espaces de dimension trois et quatre. Une utilisation plus systématique est l'œuvre de [[Joseph-Louis Lagrange|Lagrange]]<ref>[[Joseph-Louis Lagrange]] ''Réflexions sur la résolution algébrique des équations'' 1770</ref> <small>([[1736]] [[1813 en science|1813]])</small> et [[Alexandre-Théophile Vandermonde|Vandermonde]]<ref>[[Alexandre-Théophile Vandermonde]] ''Mémoire sur la résolution des équations '' [[1771]]</ref> <small>([[1735]] [[1796 en science|1796]])</small> dans le cadre de l'[[équation polynomiale]]. En revanche, l'ensemble des permutations n'est, dans aucun des cas cités, considéré comme une structure disposant d'une loi interne.
L'aube du {{XIXe siècle}} voit un apport de première importance pour ce qui deviendra la théorie des groupes finis. En [[1801 en science|1801]], [[Carl Friedrich Gauss]] <small>([[1777 en science|1777]]-[[1855 en science|1855]])</small> utilise<ref>[[Carl Friedrich Gauss]] ''Disquisitiones arithmeticae'' [[1801 en science|1801]]</ref> les [[groupe cyclique|groupes cycliques]] pour fonder l'[[arithmétique modulaire]] et résoudre l'[[équation algébrique|équation]] [[polynôme cyclotomique|cyclotomique]] d'indice un [[nombre premier de Fermat]]. Un ensemble fini muni d'une opération interne conférant une structure de groupe est enfin utilisée. La connaissance d'une telle structure devient indispensable pour tout mathématicien étudiant l'[[arithmétique]]. Cependant, tout au long de sa vie, Gauss ne verra pas l'intérêt d'une formalisation.
[[Evariste Galois]] <small>([[1811 en science|1811]]-[[1832 en science|1832]])</small>, à la suite des travaux<ref>[[Niels Henrik Abel]] ''Mémoire sur les équations algébriques, où l'on démontre l'impossibilité de la résolution de l'équation générale du cinquième degré'' [[1824 en science|1824]]</ref> du mathématicien norvégien [[Niels Henrik Abel|Niels Abel]] <small>([[1802 en science|1802]] [[1829 en science|1829]])</small> permet la réalisation d'un bond prodigieux.
A travers la problématique de l'[[équation algébrique]], il découvre<ref>[[Evariste Galois]] ''Sur les conditions de résolubilité des équations algébriques'' [[1846 en science|1846]] Journal de Liouville</ref> non seulement la portée du champ applicatif de la structure, mais de plus, évoque un nouveau formalisme avec la notion de groupe abstrait. Ce n'est que quinze ans plus tard que la dimension de ses travaux est perçue par la communauté. La redécouverte<ref>[[Joseph Liouville]] ''Œuvres Mathématiques d'Évariste Galois Suivie d'un avertissement de Liouville'' [[1846 en science|1846]] Journal des Mathématiques pures et appliquées Vol. XI</ref> par [[Joseph Liouville]] <small>([[1809 en science|1809]]-[[1882 en science|1882]])</small> des écrits de Galois en [[1846 en science|1846]] place la théorie des groupes finis comme un sujet de premier plan. [[Augustin Louis Cauchy|Augustin Cauchy]] <small>([[1789 en science|1789]] [[1857 en science|1857]])</small> publie vingt-cinq articles sur la question dont un sur son célèbre [[théorème de Cauchy (groupes)|théorème]]<ref>[[Augustin Louis Cauchy]] ''Sur le nombre de valeurs égale ou inégales que peut acquérir une fonction de n variables indépendantes, quand on permute ces variables entre elles d'une manière quelconque'' [[1845 en science|1845]]</ref>. [[Arthur Cayley]] <small>([[1821 en science|1821]] [[1895 en science| 1895]])</small> donne une première définition abstraite d'un groupe<ref>[[Arthur Cayley]] ''Sur la théorie des groupes comme dépendance de l'équation symbolique <math>\theta^n=1</math>.'' [[1854 en science|1854]]</ref>. Le domaine d'application s'étend, en [[1877 en science|1877]] [[Felix Klein]] <small>([[1849 en science|1849]] [[1925 en science| 1925]])</small> remarque<ref>[[Felix Klein|Klein]] ''Conférences sur l'icosaèdre et les solutions de l'équation du cinquième degré'' [[1877 en science|1877]]</ref> que le groupe des isométries laissant invariant l'[[icosaèdre]] est isomorphe au groupe de Galois d'une équation quintique, la [[géométrie algébrique]] naît et les groupes finis y jouent un rôle clé. La connaissance du sujet s'accroît, [[Ludwig Sylow]] <small>([[1832 en science|1832]] [[1918 en science| 1918]])</small> énonce ses célèbres théorèmes<ref>[[Ludwig Sylow]] ''Théorèmes sur les groupes de substitutions'' Mathematische Annalen Volume 5 (pages 584 à 594)</ref> et [[Heinrich Weber]] <small>([[1842 en science|1842]] [[1913 en science|1913]])</small> donne la définition<ref>[[Heinrich Weber]] ''Lehrbuch der Algebra'' Braunschweig [[1924]]</ref> moderne d'un groupe en [[1895 en science|1895]].
====Caractère et groupe d'automorphismes====
[[Image:Dedekind.jpeg|thumb|right|Richard Dedekind fondateur de la théorie des déterminants de groupe, ancêtre des représentations]]
Un outil essentiel aux représentations des groupes est celui du [[Caractère d'une représentation d'un groupe fini|caractère]]. Il correspond, avec notre regard moderne à la [[trace (algèbre)|trace]] des différents automorphismes correspondant au groupe représenté. Une fois encore, le sujet n'est pas vierge au moment de la naissance de la théorie des représentations.
On peut citer le [[symbole de Legendre]] du siècle précédent pour l'explicitation de la [[loi de réciprocité quadratique]], comme premier exemple de caractère avant la lettre. [[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet|Gustav Dirichlet]] <small>([[1805 en science|1805]] [[1859 en science| 1859]])</small> utilise pour la première fois le terme de caractère<ref>[[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]] ''Vorlesungen über Zahlentheorie'' 3{{e}} édition Vieweg Braunschweig [[1879 en science|1879]]</ref> pour une [[fonction multiplicative]], proche du symbole précédent.
[[Richard Dedekind]] <small>([[1831 en science|1831]] [[1916 en science|1916]])</small> transporte les idées associées aux groupes finis. Il définit formellement la notion de caractère comme un morphisme d'un [[groupe abélien]] à valeur dans le [[corps (mathématiques)|corps]] des [[nombre complexe|nombres complexes]] non nulle. Les caractères sont parfaitement connus ainsi que leur relations d'[[orthogonalité]], mais uniquement dans le contexte [[commutativité|commutatif]].
Enfin, l'idée de groupe fini d'[[automorphisme]]s n'est pas non plus inconnue. [[Camille Jordan]] <small>([[1838 en science|1838]] [[1922 en science|1922]])</small>, étudie les [[groupe de Galois|groupes de Galois]]<ref>[[Camille Jordan]] ''Traité des substitutions et des équations algébriques'' [[1870 en science|1870]]</ref> comme un groupe de matrices en [[1870 en science|1870]] qu'il appelle le groupe linéaire. Il étudie le cas sur les [[corps fini]]s premiers, c’est-à-dire de cardinal un nombre premier et traite le cas de la factorisation d'un unique automorphisme. Felix Klein, depuis son célèbre [[programme d'Erlangen]] est aussi un familier du concept. [[Leopold Kronecker]] <small>([[1823 en science|1823]] [[1891 en science|1891]])</small> et Richard Dedekind développent les prémisses de la théorie des anneaux et des [[corps (mathématiques)|corps]]<ref>[[Richard Dedekind]] ''Sur la théorie des nombres entiers algébriques'' [[1871 en science|1871]]</ref>. Le groupe de Galois n'est défini qu'à partir d'[[automorphisme]]s et non plus comme un groupe de permutations de [[racine (mathématiques)|racines]].
Si l'idée d'une incarnation d'un groupe fini comme une famille d'automorphismes est parfaitement comprise à la fin du siècle, elle se heurte à une difficulté réelle. Par exemple, pour une équation du quatrième degré, le groupe comprend déjà 24 éléments correspondant chacun à une matrice ''24x24''. Dedekind développe la méthode des déterminants de groupes<ref>K. W. Johnson, ''The Dedekind-Frobenius group determinant, new life in an old method'' Groups St Andrews 97 in Bath, II, London Math. Soc. Lecture Note Series 261 pages 417 à 428 1999</ref>. S'il réussit à factoriser le [[groupe symétrique]] d'ordre trois, il est dans une impasse pour le cas général.
En [[1896 en science|1896]] la théorie des groupes finis, ainsi que les outils nécessaires à l'élaboration de la théorie des représentations sont largement développés. Cependant, la taille ainsi que la complexité calculatoire représentent une barrière que Dedekind ne voit pas comment franchir. Il envoie deux lettres à ce sujet<ref>T. Y. Lam ''Representation of finite groups : A Hundred years, Part I'' Notice of the AMS Vol 45 p 365</ref> adressées à [[Ferdinand Georg Frobenius|Georg Frobenius]] <small>([[1849 en science|1849]]-[[1917 en science|1917]])</small> le 25 mars et le 6 avril [[1896 en science|1896]]. Le destinataire n'est pas un novice. Il a, par exemple, démontré les [[théorèmes de Sylow]] dans le cas des groupes abstraits<ref>[[Ferdinand Georg Frobenius|Georg Frobenius]] ''Neuer Beweis des Syloschen Satzes'' Berlin Journal für die reine und angewandte Mathematik. 100 pages179 à 181 [[1887 en science|1887]]</ref> et déterminé la structure des [[groupe abélien de type fini|groupes abéliens de type fini]]<ref>[[Ferdinand Georg Frobenius|Georg Frobenius]] ''Über Gruppen von vertauschbaren Elementen'' [[1879 en science|1879]]</ref>.
===Naissance de la théorie 1896===
[[Image:Lettre fondatrice de la théorie des représentations.jpg|thumb|250px|right|Lettre de Frobenius à Dedekind du 12 avril 1896]]
Peu de théories possèdent une date de naissance précise. Les groupes apparaissent par exemple petit à petit, depuis Lagrange jusqu’à la définition exacte de Weber, l'évolution est lente et continue. La théorie des représentation est une exception, les historiens associent systématiquement sa naissance au mois d'avril<ref>C. W. Curtis ''Representation theory of finite groups, from Frobenius to Brauer'' Math. Intelligencer p 48-57 1992</ref> [[1896 en science|1896]].
Frobenius répond à Dedekind par trois missives<ref>T. Hawkins ''The origins of the theory of group characters'' Archive Hist. Exact Science 8 p143-287 [[1971 en science|1971]]</ref> daté du 12, 17 et 26 du mois. Il parvient à factoriser les [[représentations du groupe symétrique d'ordre quatre|groupes symétriques d'ordre quatre]] et cinq ainsi que leurs sous-groupes alternés et le [[groupe simple]] d'ordre 168. Il comprend que son approche est à la base d'une vaste théorie et rédige rapidement les traités fondateurs.
Le 16 juillet, il publie un premier article<ref>[[Ferdinand Georg Frobenius]] ''Uber Gruppencharaktere'' Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin 1896</ref>. On peut y lire ''je développerai ici le concept (de caractère pour un groupe fini quelconque) avec la croyance que, à travers cette introduction, la théorie des groupes sera substantiellement enrichie''. Les caractères ne se limitent plus au cas abélien, voilà la première clé de son succès.
Cette généralisation permet une factorisation de déterminant de groupe, ce qui amène une deuxième publication<ref>[[Ferdinand Georg Frobenius]] ''Uber die Primfactoren der Gruppendeterminante'', Sitzungsber. Preuss Akad. Wiss Berlin 1896</ref>. Enfin il existe une [[produit hermitien]] naturel pour lequel les caractères irréductibles forment une [[base orthonormale]] est le sujet d'un troisième article<ref>[[Ferdinand Georg Frobenius]] ''Zur Theorie der Scharen bilinearer Formen'' Zürich 1896</ref>. Tous ces résultats sont publiés la même année.
A la fin de l'année 1896, beaucoup reste à faire. La notion de représentation n'est pas apparente, l'objet d'étude reste le déterminant de groupe. La notion d'irréductibilité n'est pas là, aucune technique d'extension ne permet d'analyser un groupe à partir de ses [[sous-groupe]]s, le rapport entre la représentation et l'arithmétique n'est pas établi et seul le cas des nombres complexes sont étudiés. Cependant, La généralisation des caractères a permis un saut important et laisse présager de la naissance d'une théorie aux conséquences riches.
===Essor 1897 1917===
====Frobenius====
L'idée fondatrice est fertile, les différentes questions associées à la théorie trouvent des réponses rapides et Frobenius reste un acteur majeur. Il publie jusqu'à la fin de sa vie vingt articles sur la théorie des groupes finis<ref>T. Y. Lam ''Representation of finite groups : A Hundred years, Part I'' Notice of the AMS Vol 45 p 370</ref>, essentiellement sur le sujet des représentations.
En [[1897 en science|1897]], les notions de représentation et d'irréductibilité apparaissent<ref>[[Ferdinand Georg Frobenius]] ''Uber die Darstellung der Endlichen Gruppen durch linear Substitutionen'', Sitzungsber. Preuss Akad. Wiss Berlin 1897 </ref> même si de nombreuses évolutions seront encore nécessaire pour que les caractères prennent notre définition moderne, à savoir la [[trace (algèbre)|trace]] d'une représentation. L'enrichissement de la structure, à travers l'ancêtre de notion d' [[Algèbre d'un groupe fini|algèbre de groupe]] est aussi présente dans cet article, dans le cas des [[nombre complexe|nombres complexes]] ou [[quaternion|hyper-complexes]]. Frobenius l'emprunte aux travaux du mathématicien [[Theodor Molien]] <small>([[1861 en science|1861]]-[[1941 en science|1941]])</small> qui a, de manière totalement indépendante<ref>T. Molien ''Über Systeme höherer complexer Zahlen'' [[1893 en science|1893]]</ref><sup>et</sup><ref>T. Molien ''Über die Invarianten der linearen Substitutionsgruppen'' [[1897 en science|1897]]</ref> travaillé sur le caractère [[Module semi-simple|semi-simple]] de l'[[algèbre sur un corps|algèbre]] associée. Si Frobenius reconnaît l'importance de ses travaux, Molien reste essentiellement dans l'obscurité.
L'année suivante, Frobenius découvre une première méthode d'extension<ref>[[Ferdinand Georg Frobenius]] ''Uber Relationen zwischen den Charakteren einer Gruppe und denen ihrer Untergruppen'', Sitzungsber. Preuss Akad. Wiss Berlin 1898</ref> correspondant à notre [[Représentation induite d'un groupe fini|représentation induite]], il établit la remarquable formule de [[réciprocité de Frobenius|réciprocité]] qui porte maintenant son nom. En [[1899 en science|1899]], il établit<ref>[[Ferdinand Georg Frobenius]] ''Uber die Composition der Charaktere einer Gruppe'', Sitzungsber. Preuss Akad. Wiss Berlin 1899</ref> les formules du [[Produit tensoriel et représentations de groupes finis|produit tensoriel de caractères]] alors que la notion de [[produit tensoriel]] n'est pas encore formalisée, il parle de ''composition''.
En [[1900 en science|1900]] le mathématicien détermine<ref>[[Ferdinand Georg Frobenius]] ''Uber die Charaktere der symmetrischen Gruppen'', Sitzungsber. Preuss Akad. Wiss Berlin 1900</ref> les caractères des [[groupe symétrique|groupes symétriques]] et l'année suivante ceux des [[groupe alterné|groupes alternés]]<ref>[[Ferdinand Georg Frobenius]] ''Uber die Charaktere der alternirenden Gruppen'', Sitzungsber. Preuss Akad. Wiss Berlin 1901</ref>.
Au début de {{XXe siècle}}, les travaux de Frobenius assurent à la théorie une base solide, les caractères sont généralisés aux groupes non abéliens, les théorèmes d'orthogonalité sont présents, et les techniques d'extension soit par produit tensoriel soit par induction sont comprises. Un regard rétrospectif y voit néanmoins encore trois lacunes. La théorie garde les traces de son origine, les déterminants de groupes forment toujours la structure fondamentale. L'aspect lourd et calculatoire reste inévitable. Les seuls corps véritablement étudiés sont de caractéristique nulle, évacuant ainsi un pan qui apparaît maintenant comme essentiel. Enfin, la dimension arithmétique est quasiment absente. Si le troisième point est juste esquissé et doit attendre les années 1920 avec les travaux d'[[Emil Artin]] <small>([[1898 en science|1898]]-[[1962 en science|1962]])</small> pour prendre son essor, les deux autres sont largement traités dans la période de temps du paragraphe. Cependant, les contributions majeures sur ces domaines sont le fruit d'autres mathématiciens.
====Université de Chicago====
[[Image:Campus Spring.jpg|300px|thumb|left|Université de Chicago en automne]]
Une jeune école mathématique, l'école américaine influence la théorie naissante. Durant cette époque, l'[[Université de Chicago]] est à la pointe de la recherche sur le nouveau continent. R C Archibald écrit : ''Durant la période [[1892 en science|1892]]-[[1908 en science|1908]] l'Université de Chicago est insurpassable aux États-Unis comme institution pour l'étude des mathématiques avancées''<ref>R C Archibald ''A semicentennial history of the American Mathematical Society 1888-1938'' New York pages 144 à 150 1980</ref>. La théorie est étudiée à partir d'un autre angle, [[Leonard Eugene Dickson|Leonard Dickson]] <small>([[1874 en science|1874]]-[[1954 en science|1954]])</small> écrit en [[1896 en science|1896]] sa thèse de doctorat à l'université de Chicago à propos des groupes linéaires sur des corps finis quelconques, généralisant ainsi les résultats de Jordan. Il démontre que tout corps fini commutatif est une [[extension de Galois]] d'un corps premier. Elle est publiée<ref>[[Leonard Eugene Dickson|Leonard Dickson]] ''Linear Groups- With an Exposition of the Galois Field Theory'' Courier Dover Publications 2003</ref> en Europe en [[1901 en science|1901]]. [[Heinrich Maschke]] <small>([[1853 en science|1853]] [[1908 en science|1908]])</small>, un élève de Klein, rejoint l'Université de Chicago en [[1892 en science|1892]], il démontre son [[théorème de Maschke|théorème]]<ref>[[Heinrich Maschke]] ''Beweiss des Satzes, dass diejenigen endlichen linearen Substitutionesgruppen, in welchen einige durchgehends verschwindende Coefficienten auftenen intransitiv sind'' [[1899 en science|1899]]</ref> qui stipule que toute représentation est somme directe de représentations irréductibles. En suivant l'esprit de l'école de Chicago, la démonstration est aussi donnée pour les corps finis (avec une inévitable condition sur l'ordre du groupe). Il est à noter qu'un mathématicien allemand Alfred Loewy avait, sans preuve, publié ce résultat deux ans auparavant en [[1896 en science|1896]]. Enfin [[Joseph Henry Maclagan Wedderburn|Joseph Wedderburn]] <small>([[1882 en science|1882]] - [[1948 en science|1948]])</small> rejoint l'université de Chicago durant les années [[1904 en science|1904]]-[[1905 en science|1905]] et travaille avec Dickson sur les structures d'algèbres semi-simples dont un exemple important est donné par les algèbres de groupes finis. C'est cependant en [[1907 en science|1907]] à [[Édimbourg]] qu'il publie son article<ref>[[Joseph Henry Maclagan Wedderburn|Joseph Wedderburn]] ''On hypercomplex numbers'' London Mathematical Society [[1907 en science|1907]]</ref>, peut-être le plus célèbre, classifiant toutes les algèbres semi-simples et finalisant les travaux de Molien et Frobenius. L'apport de Chicago peut se résumer en deux points essentiels pour la théorie des représentations : l'approche par les déterminants de groupes tombe en désuétude au profit de la notion de représentation, simplifiant largement les calculs et la théorie est étudiée sur les corps de caractéristiques quelconques.
====Issai Schur====
Une autre figure de la théorie de la représentation est essentielle pour la simplification des démonstrations et l'enrichissement de la théorie. [[Issai Schur]] <small>([[1875 en science|1875]]-[[1941 en science|1941]])</small> est un élève de Frobenius. En [[1901 en science|1901]] il soutient sa thèse<ref>[[Issai Schur]] ''Uber eine Klasse von Matrizen, die sich einer gegebenen Matrix zuordnen lassen'' Gottingen [[1901 en science|1901]]</ref> sur les représentations [[nombre rationnel|rationnelles]] d'un groupe fini sur un espace vectoriel complexe.
Il travaille sur le sujet entre les années [[1904 en science|1904]] et [[1907 en science|1907]] et utilise le [[lemme de Schur|lemme]] à son nom. Si quelques lignes suffisent à sa démonstration, il simplifie considérablement bon nombre de preuves, particulièrement sur les caractères et leur orthogonalité.
La thèse de Schur apporte, durant cette période une autre contribution majeure. L'analyse de l'aspect rationnel des représentations permet l'introduction des outils de l'[[arithmétique]] dans la théorie. Cet enrichissement est à l'origine de nombreuses démonstrations, on peut citer par exemple le fait que toute représentation irréductible possède un degré qui divise l'ordre du groupe.
====William Burnside====
[[Image:Burnside 2.jpeg|thumb|right|William Burnside]]
[[William Burnside]] <small>([[1852 en science|1852]]-[[1927 en science|1927]])</small>, après Frobenius, est généralement considéré comme le deuxième fondateur<ref>C W Curtis ''Pioneers of representation theory : Frobenius, Burnside, Schur, and Brauer'' Providence, RI, 1999</ref> de la théorie des représentations. Son intérêt pour les groupes finis est antérieur aux travaux de Frobenius. On peut noter par exemple son article<ref>[[William Burnside]] ''Notes on the theory of groups of finite order'' Proc. London Math. Soc. 26 pages 191-214 [[1895 en science|1895]]</ref> de [[1895 en science|1895]] démontrant que tout groupe fini possèdant un [[P-groupe|2-groupe]] maximal cyclique n'est pas [[groupe simple|simple]].
Il comprend immédiatement l'apport de la théorie des représentations. Sa démarche est néanmoins différente de celle de Frobenius ou de Schur. Sur la cinquantaine<ref>A Wagner ''A bibliography of William Burnside'' (1852-1927), Historia Mathematica 5 (3) pages 307-312 1978</ref> d'articles publiés sur la théorie des groupes, l'essentiel de son travail consiste à utiliser les résultats de la théorie pour établir les fondements d'une classification des groupes finis.
Il ouvre des conjectures comme le [[problème de Burnside]] sur les [[partie génératrice d'un groupe|groupes de type fini]] et d'[[exposant d'un groupe|exposant]] fini<ref>[[William Burnside]] ''On an unsettled question in the theory of discontinuous groups'' Quart.J.Math. 33 pages 230 à 238 [[1902 en science|1902]]</ref> et utilise les représentations pour défricher<ref>[[William Burnside]] ''On criteria for the finiteness of the order of a group of linear substitutions'' Proc.London Math. Soc. (2) 3 pages 435 à 440 [[1905 en science|1905]]</ref> cette question. Cette conjecture, malgré de nombreux travaux, comme ceux<ref>[[Efim Zelmanov]] ''Solution of the restricted Burnside problem for groups of odd exponent'' Math. USSR Izvestiya 36 (1) pages 41 à 60 [[1991 en science|1991]]</ref> de d'[[Efim Zelmanov]] <small>(né en [[1955 en science|1955]])</small> qui lui apporte une [[médaille Fields]] en [[1994 en science|1994]], reste encore essentiellement ouverte en [[2006 en science|2006]].
On peut encore citer ses travaux<ref>[[William Burnside]] ''Theory of Groups of Finite Order'' Dover Publications 2004</ref> de [[1905 en science|1905]] sur le cardinal d'un [[groupe résoluble]], généralisant les résultats de [[Ludwig Sylow]] <small>([[1832 en science|1832]] - [[1918 en science|1918]])</small>. Il utilise, pour la démonstration de nombreuses facettes de la théorie des représentations. On peut citer par exemple les caractères de Frobenius, ou l'arithmétique de Schur. Une fois encore, ce [[Théorème de Burnside (groupe résoluble)|théorème]] est à la base d'une grande question, largement étudiée au {{XXe siècle}}. Elle est finalement tranchée par [[John Griggs Thompson|John Thompson]] <small>(né en [[1932 en science|1932]])</small> qui reçoit la [[médaille Fields]] pour son article<ref>[[John Griggs Thompson|J. Thompson]] et W. Feit ''Chapter I, from Solvability of groups of odd order'' Math, vol. 13, no. 3 [[1963 en science|1963]]</ref> écrit en commun avec Walter Feit et qui démontre que tout groupe d'ordre impair est résoluble.
Burnside écrit un livre de référence<ref>[[William Burnside]] ''Theory of Groups of Finite Order'' Dover Publications 2004</ref> sur la théorie des groupes. La seconde édition, datant de [[1911 en science|1911]] est toujours d'actualité.
==Introduction par l'exemple==
====Groupe symétrique d'indice trois====
{{Article détaillé|Représentations du groupe symétrique d'indice trois}}
[[Image:Isométries du triangle.jpg|260px|thumb|Représentation de S<sub>3</sub> comme groupe des isométries du triangle]]
Une première question associée à la théorie est la liste des [[homomorphisme de groupe|morphismes de groupe]] par exemple, du [[groupe symétrique]] d'indice ''trois'' ''S''<sub>3</sub> vers le [[groupe spécial linéaire]] de ''V'', c’est-à-dire des [[automorphisme]]s de ''V''. Ici ''V'' désigne un [[espace vectoriel]] sur le corps des [[nombre complexe|nombres complexes]] noté ici ''C''.
Il existe un premier cas aisé, celui où ''V'' est de dimension ''un'' et identifié à ''C'' et où le morphisme ''t'' associe à tout élément de ''S''<sub>3</sub> la valeur ''un''. On parle alors de ''représentation triviale''. Un deuxième cas σ utilise le même espace ''V'', il associe à tout élément de ''S''<sub>3</sub> sa [[signature d'une permutation|signature]], c’est-à-dire ''-1'' si la [[permutation]] est une [[transposition]] et ''1'' sinon.
Le troisième cas est illustré sur la figure de droite. L'espace vectoriel est de dimension ''deux'' et le morphisme θ associe aux trois transpositions les [[Symétrie (transformation géométrique)|symétries orthogonales]] d'axes ceux représentés en rouge sur la figure. Les deux éléments d'ordre trois sont alors les rotations d'angles ''2.π/3'' et ''-2.π/3''.
Une représentation de ce type apparaît naturellement avec, par exemple la [[théorie de Galois]]. Considérons le [[polynôme]] ''P''[''X''] à coefficients dans les [[nombre rationnel|nombres rationnels]] ''Q'' défini par ''P''[''X''] = ''X''<sup>3</sup> + ''X'' + 1. La théorie montre qu'il existe un espace vectoriel ''V'' sur ''Q'' de dimension ''six'' et que le [[groupe de Galois]] ''G'' [[Action de groupe (mathématiques)|opére]] sur ''V''. Plus précisement, ''G'' est un groupe d'automorphismes de ''V'' isomorphe à ''S''<sub>3</sub>. La difficulté réside maintenant dans le fait que la dimension de l'espace est égale à ''six''. Le groupe se représente par six [[matrice (mathématiques)|matrices]] carrées ''6''x''6''. Ce qui rend le problème plus ardu. Avant même la théorie de la représentation, ce problème était résolu. Il existe quatre sous-espaces vectoriel de ''V'', tous stables par chaque automorphisme de ''G''. Le premier sous-espace est une copie de la représentation triviale, le deuxième une copie de la signature et les deux autres sont de dimension ''deux'' et sont une copie du groupe des isométries du triangle.
Ce cas particulier est relativement simple, il fut résolu avant l'apparition de la théorie des représentations par une approche calculatoire. Les démonstrations sont présentes dans l'article associé.
====Groupe symétrique d'indice quatre====
{{Article détaillé|Représentations du groupe symétrique d'ordre quatre}}
[[Image:Rotations du cube.jpg|260px|thumb|Représentation de S<sub>4</sub> comme groupe des rotation du cube.]]
La même question se pose pour le groupe symétrique d'ordre quatre. Les deux premiers cas offrent encore une représentation ''t'' triviale et σ associée à la signature. On peut de plus remarquer que si ''H'' est le sous-groupe engendré par les éléments du groupe formé par deux cycles d'ordre ''deux'', alors il est distingué et d'ordre ''quatre''. Le quotient de ''S''<sub>4</sub> par ''H'' est isomorphe à ''S''<sub>3</sub>. Il existe donc une représentation de S<sub>4</sub> dans le groupe des isométries du triangle.
Il est aussi possible de remarquer que le groupe des rotations dans un espace de dimension ''trois'' laissant globalement invariant un cube de centre le vecteur nul est isomorphe à ''S''<sub>4</sub>. Ce groupe est engendré par les trois rotations indiqués par les flèches sur la figure de droite. Cette remarque fournit une quatrième représentation du groupe. Enfin, le groupe d'automorphismes d'un espace de dimension trois formé par les 24 rotations du cube précédent multiplié par le scalaire ''signature'' représente une dernière représentation.
La difficulté est largement supérieure si l'on considère le groupe ''S''<sub>4</sub> comme un groupe de Galois. Dans le même contexte que celui du paragraphe précédent considérons maintenant le polynôme ''P''[''X''] = ''X''<sup>4</sup> + ''X'' + 1 encore à coefficients dans ''Q''. Son groupe ''G'' de Galois est isomorphe à ''S''<sub>4</sub>. Il est composé de 24 matrices de dimension 24x24. Malgré des efforts répétés, le grand algébriste Dedekind ne fut pas capable de le factoriser.
La théorie de la représentation donne une réponse aisée à cette question. Il existe ''dix'' sous-espaces stables par chacun des automorphismes de Galois. Chaque représentation précédente possède une copie dans un des ''dix'' sous-espaces stables et le nombre de copies d'une représentation dans ''V'' est égal à sa dimension. Les démonstrations sont données dans l'article associée.
==Représentations, caractères et algèbre de groupe==
===Représentations d'un groupe===
{{Article détaillé|Théorie des représentations d'un groupe fini}}
[[Image:Heinrich Maschke.jpg|thumb|200px|left|Heinrich Maschke auteur du théorème portant son nom]]
Une représentation d'un groupe ''G'' d'ordre fini est la donnée (''V'', ρ) d'un espace vectoriel de dimension fini et d'un morphisme ρ de ''G'' dans l'ensemble ''GL''(''V'') des automorphismes de ''V''. On obtient les propriétés suivantes :
<center><math> \forall s, t \in G \quad \rho(s)\circ \rho(t) = \rho(st) \quad et \quad \rho(1) = Id_V</math></center>
Comme le montrent les exemples précédents, une représentation peut apparaître de manière complexe. Le premier objectif est de la ''réduire'' par la recherche de sous-représentations. Une '''sous-représentation''' est la donnée d'un sous-espace vectoriel de ''V'' stable par chaque image de ρ. Si de tel sous-espace n'existe pas (à part l'espace vectoriel nul et l'espace entier ''V'') on parle de '''représentation irréductible'''.
Il existe un résultat important, appelé [[théorème de Maschke]] annonçant que si la [[caractéristique d'un anneau|caractéristique]] du [[corps (mathématiques)|corps]] est [[nombres premiers entre eux|première]] avec l'ordre du groupe ''G'', alors l'espace ''V'' est [[somme directe]] de sous-espace irréductibles. La situation décrite dans les deux exemples n'est pas une exception.
Cette situation est différente, par exemple, de celle de la [[réduction d'endomorphisme]]. Par exemple, en dimension ''deux'', un [[endomorphisme nilpotent]] d'ordre deux possède un [[noyau (algèbre)|noyau]], qui comme tout noyau est stable par l'endomorphisme. Cependant il n'existe pas de supplémentaire stable, car tout supplémentaire est envoyé par l'endomorphisme sur le noyau.
Il n'existe qu'un nombre fini de représentations irréductibles pour un groupe fini donné, à un isomorphisme près. Les représentations isomorphes sont en général identifiées dans la théorie. Un '''isomorphisme''' τ entre deux représentations (''V'', ρ) et (''V' '', ρ') est un isomorphisme d'espace vectoriel de ''V'' dans ''V' '' tel que :
<center><math>\forall s \in G \quad \rho'_s = \tau^{-1} \circ\rho_s \circ \tau \;</math></center>
La logique suivie dans les exemples est celle de la théorie. Dans un premier temps, les représentations irréductibles sont déterminées. Une méthode simple permet de connaître le nombre de réprésentations irréductibles distinctes pour un groupe donné. Dans le cas des exemples, toutes les représentations irréductibles sont citées. Ensuite, pour une représentation donnée, une analyse permet de savoir quelles représentations irréductibles la contiennent.
===Caractères du groupe===
{{Article détaillé|Caractère d'une représentation d'un groupe fini}}
[[Image:Issai Schur.jpeg|thumb|left|Issai Schur l'auteur du lemme portant son nom]]
[[Image:Caractères du groupe symétrique d'ordre trois.jpg|thumb|300 px|right|Caractères du groupe symétrique d'indice trois.]]
Un des deux piliers de la théorie est celui des caractères des représentations. Le '''caractère''' d'une représentation (''V'', ρ) est la fonction qui à un élément ''s'' associe [[trace (algèbre)|trace]] de ρ<sub>s</sub>. Un '''caractère irréductible''' est le caractère d'une représentation irréductible. Dans le cas où le corps de l'espace ''V'' est de caractéristique première avec ''g'' l'ordre du groupe et si le polynôme ''X''<sup>g</sup> - 1 est scindé dans le corps, alors les caractères possèdent des propriétés remarquables.
Ce sont des [[Fonction centrale d'un groupe fini|fonctions centrales]] c’est-à-dire qu'elles sont constantes sur les [[action par conjugaison|classes de conjugaison]] du groupe. De plus, le [[lemme de Schur]] permet de démontrer que les caractères irréductibles forment une [[base orthonormale]] de l'espace des fonctions centrales.
Ces propriétés permettent simplement de factoriser l'exemple donné sur ''S''<sub>3</sub>. L'espace des fonctions centrales est de dimension ''trois'' car il existe trois classes de conjugaison différentes. Si φ et ψ sont deux fonctions centrales, ''c'' la classe des cycles d'ordre ''deux'' et ''t'' la classe des transpositions, alors si <math>\scriptstyle \overline a</math> désigne le [[conjugué]] du complexe ''a'', le [[produit hermitien]] ''(l'équivalent du [[produit scalaire]] pour les espaces vectoriels complexes)'' est donné par la formule :
<center><math>< \varphi \, | \, \psi> = \frac 16 \Big( \varphi (1)\overline{\psi(1)} + 3.\varphi(t)\overline{\psi(t)}+ 2.\varphi(c). \overline{\psi(c)} \Big)</math></center>
La norme de chacune des trois représentations ''t'', ''σ'' et ''θ'' est bien égale à un et ils sont orthogonaux deux à deux, ce qui montre qu'ils forment la base des représentations et sont bien les trois représentations irréductibles. Il suffit de calculer le produit hermitien de la représentation de Galois pour déterminer sa factorisation.
La figure de droite illustre le groupe ''S''<sub>3</sub>. Les caractères représentés par des boules oranges sont les trois irréductibles, la boule bleue représente le caractère de la représentation de Galois. Elle est combinaison linaire des trois caractères irréductibles avec les coefficient ''un'' pour la triviale, ''un'' pour la signature et ''deux'' pour celle des isométries du triangle.
===Algèbre du groupe===
{{Article détaillé|Algèbre d'un groupe fini}}
[[Image:Wedderburn.jpeg|thumb|right|Joseph Wedderburn]]
Le deuxième pilier est constitué par l'algèbre du groupe, en général notée ''K''[''G'']. Le groupe est linéarisé, c’est-à-dire qu'il est identifié à une base d'un ''K'' espace vectoriel. Le prolongement de la représentation à la structure forme une [[algèbre sur un corps]] :
<center><math>\forall (a_s)_{s\in G}\, , \, (b_t)_{t\in G}\in K^G \quad (\sum_{s\in G} a_s.s)(\sum_{t\in G} b_t.t)= \sum_{s\in G}\sum_{t\in G} a_sb_t.st</math></center>
La structure est doublée d'une autre, celle de ''G''-[[module sur un anneau|module]] sur l'[[anneau (mathématiques)|anneau]] ''K''[''G'']. Elle correspond au prolongement d'une représentation à l'algèbre ''K''[''G''].
Cette algèbre possède une propriété importante, elle est [[algèbre semi-simple|semi-simple]]. En conséquence, une théorie algébrique entière, riche en théorèmes permet d'élucider d'autres aspect de la structure. Le plus important est probablement celui d'[[Théorème d'Artin-Wedderburn|Artin-Wedderburn]]. Il indique, dans ce contexte, que l'algèbre est isomorphe à un produit direct d'algèbres connues : les endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie sur ''K''.
Un exemple est celui du [[centre (algèbre)|centre]] de ''K''[''G'']. Sous l'angle de l'algèbre du groupe, c'est un anneau semi-simple correspondant à un produit de la forme ''K''<sup>h</sup> où ''h'' est l'entier égal au nombre de sous-algèbres simples. Le centre s'avère être isomorphe aux fonctions centrales du paragraphe précédent. L'isomorphisme est suffisamment naturel pour que les deux structures soit souvent identifiées. Les propriétés d'orthonormalité s'expriment de manières différentes, sources de nombreux théorèmes comme la loi de [[réciprocité de Frobenius]].
Un tel centre ouvre des perspectives nouvelles, c'est un anneau commutatif sur un corps ''K'', il est donc possible d'utiliser les outils de l'[[arithmétique]]. Une démarche de cette nature permet par exemple de démontrer que le degré de toute représentation irréductible divise l'ordre du groupe.
Cette algèbre apporte enfin des outils essentiels dans le cas où l'ordre du groupe est un multiple de la caractéristique du corps. La théorie des anneaux, et plus particulièrement celle des idéaux, permet d'élucider la structure.
== Applications ==
===Classification des groupes finis ===
{{Article détaillé|Groupe fini}}
La théorie des représentations est l'un des outils essentiels pour la classification des groupes. Pour les groupes d'ordre petits, les [[théorèmes de Sylow]] suffisent en général. En revanche, cette approche est trop limitée pour une étude générale. Les théorèmes de Burnside, sur le [[Théorème de Burnside (groupe résoluble)|cardinal d'un groupe résoluble]] ou sur les [[Théorème de Burnside (problème de 1902)|groupes d'exposant fini et de type fini]] sont des exemples caractéristiques.
=== Analyse harmonique sur un groupe abélien fini ===
{{Article détaillé|Analyse harmonique sur un groupe abélien fini}}
Dans le cas d'un groupe abélien fini, les représentations irréductibles à valeur dans le corps des complexes prennent une forme particulièrement simple. Ce sont les morphismes du groupe dans l'ensemble des [[racine de l'unité|racines de l'unité]]. Ces représentations sont appelées [[caractère d'un groupe fini|caractères du groupe]].
Les caractères permettent de généraliser simplement la théorie de l'[[analyse harmonique]] au cas des groupes abéliens finis. Il est ainsi possible de définir la [[transformée de Fourier]] et d'établir les principaux résultats comme l'[[égalité de Parseval]], le [[théorème de Plancherel]], la [[formule sommatoire de Poisson]] et de définir le [[produit de convolution]]
L'analyse harmonique sur un groupe abélien fini est utilisé en [[arithmétique]]. Le [[symbole de Legendre]] est par exemple un cas particulier de caractère. La théorie permet alors de déterminer les [[somme de Gauss|sommes de Gauss]] et les [[période de Gauss|périodes de Gauss]]. Cette approche permet, par exemple la démonstration de la [[loi de réciprocité quadratique]].
Un cas particulier est celui des [[espace vectoriel|espaces vectoriels]] sur un [[corps fini]]. Les propriétés des corps finis permettent d'établir les résultats de la théorie sous une forme légèrement différente ''(cf [[analyse harmonique sur un espace vectoriel fini]])''. Ce cas est utilisé par exemple en [[théorie de l'information]] à travers l'étude des [[Fonction booléenne|fonctions booléennes]], correspondant au cas où le corps contient deux éléments. La théorie est utilisée pour résoudre des questions de [[cryptologie]] notamment pour les [[S-Box|boîtes-S]], ainsi que pour les [[chiffrement par flot|chiffrements par flot]]. L'analyse harmonique sur un espace vectoriel fini intervient aussi dans le contexte de la [[théorie des codes]] et particulièrement pour les [[code linéaire|codes linéaires]], par exemple pour établir l'[[identité de Mac Williams]].
==Notes et références==
{{Représentation des groupes}}
===Notes===
<references />
===Liens externes===
* {{en}} [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Maschke.html Références historiques] Par le site de l'université de St Andew
* {{en}} [http://www.ams.org/notices/199803/lam.pdf Representation of finite groups : A Hundred years, Part I] T. Y. Lam de l'université de Berkeley
* {{en}} [http://www.ams.org/notices/199605/knapp-2.pdf Group representation and Harmonic analysis : From Euler to Langlands, Part II] T. Y. Lam de l'université de Berkeley
* {{fr}} [http://www.math.jussieu.fr/~beck/td-grc-3.pdf Cours de représentation des groupes finis] par M. Broué de l'université de Paris VII
* {{fr}} [http://perso.univ-rennes1.fr/daniel.ferrand/RepFinal.pdf Représentation linéaire des groupes finis, une introduction] par D. Ferrand de l'université de Rennes
===Références===
* {{Serre2}}
* {{Hall1}}
* {{Lang1}}
* N. Bourbaki ''Algèbre, Chapitre VIII'' Paris, Hermann 1958
{{Portail|mathématiques}}
[[Catégorie:Théorie des représentations|*]]
[[en:Representation theory of finite groups]]
[[zh:有限群表示理論]]