Représentations du groupe symétrique d'indice quatre 1417950 29637070 2008-05-16T17:53:32Z 192.75.48.150 m: format SVG [[Image:GrapheCayley-S4-Plan.svg|thumb|200px|[[Graphe de Cayley]] du groupe symétrique d'indice quatre en tant que groupe de rotations d'un [[dé]] standard.]] En [[mathématiques]] les '''représentations du [[groupe symétrique]] d'indice quatre''' noté ''S''<sub>4</sub> sont un exemple d'application de la théorie des [[représentations d'un groupe fini]]. Sur le [[corps (mathématiques)|corps]] des [[nombre complexe|nombres complexes]], il existe cinq représentations irréductibles du groupe symétrique d'indice quatre, la représentation triviale, celle correspondant à la [[signature d'une permutation|signature]], une d'ordre deux et deux d'ordre trois. L'une s'obtient de l'autre par [[Produit tensoriel et représentations de groupes finis|produit tensoriel]] avec la représentation correspondant à la signature. Une des représentations de degré trois correspond aux [[Rotation vectorielle|rotations]] [[application linéaire|linéaires]] laissant invariant un cube. L'analyse des '''représentations de ''S''<sub>4</sub>''' est une illustration des concepts comme le [[théorème de Maschke]], les [[Caractère d'une représentation d'un groupe fini|caractères]], la [[représentation régulière]], les [[représentation induite d'un groupe fini|représentations induites]] et la [[réciprocité de Frobenius]]. ==Histoire== L'histoire des représentations du groupe symétrique d'indice ''quatre'', avec celui d'ordre ''cinq'' et des [[groupe alterné|groupes alternés]] associé joue un rôle particulier pour la théorie des caractères. Le 12 avril [[1896 en science|1896]] est la date de naissance<ref>C. W. Curtis ''Representation theory of finite groups, from Frobenius to Brauer'' Math. Intelligencer p 48-57 1992</ref> généralement considérée de cette théorie. Dans une série de lettres adressées à [[Richard Dedekind|Dedekind]] <small>([[1831 en science|1831]]-[[1916 en science|1916]])</small>, [[Frobenius]] <small>([[1849 en science|1849]] - [[1917 en science|1917]])</small> analyse les représentations des groupes cités et présente les fondements qu'il développe pendant les années à venir. Si les méthodes sont différentes de celles maintenant utilisées, Frobenius utilise en effet comme outil essentiel les déterminants de groupes tombés maintenant en désuétude, les bases de la théorie sont esquissées. Elle se développe rapidement, [[Heinrich Maschke]] <small>([[1853 en science|1853]] [[1908 en science|1908]])</small> démontre le théorème portant maintenant son nom<ref>[[Heinrich Maschke]] ''Beweiss des Satzes, dass diejenigen endlichen linearen Substitutionesgruppen, in welchen einige durchgehends verschwindende Coefficienten auftenen intransitiv sind'' [[1899 en science|1899]]</ref> trois ans plus tard. En [[1911 en science|1911]], [[William Burnside]] <small>([[1852 en science|1852]]-[[1927 en science|1927]])</small> publie la seconde édition du livre<ref>[[William Burnside]] ''Theory of Groups of Finite Order second edition'' Dover Publications Réédition de 2004</ref> encore de référence contenant toutes les techniques utilisées dans cet article. ==Caractère== {{Article détaillé|Représentations d'un groupe fini}} Les représentations des groupes finis possèdent une propriété simplifiant largement leur analyse, elles sont toutes [[somme directe]] de représentation irréductibles. Il suffit donc de connaître toutes les représentations irréductibles pour savoir construire toutes les représentations. ===Classe de conjugaison=== {{Article détaillé|Classe de conjugaison}} Les classes de conjugaison ont un rôle important pour les représentations, il existe en effet exactement autant de [[représentation irréductible|représentations irréductibles]] que de classes de conjugaison. Comme le montre l'article [[Groupe symétrique]], Les conjuguées d'un élément de ''S''<sub>4</sub> sont les permutations dont la [[permutation#Décomposition en produit de cycles à supports disjoints|décomposition en produit de cycles à supports disjoints]] a la même structure que celle de <math>\sigma</math> : même nombre de cycles de chaque longueur. Dans le cas de ''S''<sub>4</sub>, on en trouve exactement ''cinq'' : l'identité, les transpositions de la forme '''(ab)''' au nombre de ''six'', les cycles de longueurs ''trois'' de la forme '''(abc)''' au nombre de ''huit'', les paires de transpositions '''(ab)(cd)''' au nombre de ''trois'' et les cycles de longueur ''quatre'' de la forme '''(abcd)''' au nombre de ''six''. On retrouve bien les ''vingt-quatre'' éléments du groupe répartis en ''cinq'' classes de conjugaison. ===Orthogonalité=== {{Article détaillé|Caractère d'une représentation d'un groupe fini}} Le caractère d'une représentation correspond à l'application de ''S''<sub>4</sub> dans ''C'' l'ensemble des nombres complexes, qui à un élément ''s'' associe la [[trace (algèbre)|trace]] de l'[[automorphisme]] associé à ''s'' par la représentation. Les caractères possèdent des propriétés fortes : ils forment une [[Base (algèbre linéaire)|base]] de l'espace des [[fonction centrale d'un groupe fini|fonctions centrales]] à valeur dans ''C''. Une fonction centrale est une fonction définie sur le groupe et constante sur les classes de conjugaisons. De plus, pour le [[produit hermitien]] suivant la famille des caractères irréductibles est une [[base orthonormale]] : <center><math><\chi_1\,|\,\chi_2>=\frac {1}{24} \sum_{s \in S_4} \chi_1(s).\chi_2(s)^*</math></center> Ici, χ<sub>i</sub> désignent des fonctions centrales à valeur dans ''C'' et ''a''<sup>*</sup> désigne le [[conjugué]] du nombre complexe ''a''. Un caractère est irréductible si et seulement si sa norme est égale à ''un'', deux représentations irréductibles sont isomorphes si et seulement si leur produit hermitien est égal à ''un'', dans le cas contraire, le produit est nul. De plus, si ''d''<sub>i</sub> pour ''i'' variant de 1 à 5 désigne les degrés des différentes représentation irréductibles, on dispose de l'égalité suivante : <center><math>\sum_{i=1}^5 d_i^2=24 \;</math></center> Il existe deux représentations irréductibles immédiates, l'une est la représentation triviale ''t'' qui à chaque élément du groupe associe ''un'', l'autre σ associe la signature. Pour ces deux représentations, on obtient la table des caractères : <center> {| class="wikitable" | {| border="1" | '''Car. irr.''' || '''1''' || '''(ab)''' || '''(abc)''' || '''(ab)(cd)''' || '''(abcd)''' |- | '''t''' || 1 || 1 || 1 || 1 || 1 |- | '''σ''' || 1 || -1 || 1 || 1 || -1 |} |} </center> Il existe une représentation naturelle (''V'', ρ) du groupe ''S''<sub>4</sub> : soit ''V'' un espace de dimension ''quatre'' sur ''C'', ''p'' une permutation de ''S''<sub>4</sub>, (''e''<sub>i</sub>) pour ''i'' variant de 1 à 4 une base de ''V'' alors l'image de ρ(''p'') de la base (e<sub>i</sub>) est la famille (''e''<sub>p(i)</sub>). Chaque élément de ''S''<sub>4</sub> possède comme image par ρ un automorphisme de [[matrice (mathématiques)|matrice]] une [[matrice de permutation]] d'ordre ''quatre''. La trace de ρ(''s'') si ''s'' est un élément du groupe correspond au nombre de vecteur de la base laissé invariant, si l'ordre des classes de conjugaison est le même que celui du tableau, on obtient le caractère (4, 2, 1, 0, 0). Le sous-espace vectoriel de dimension ''un'' engendré par le vecteur somme des éléments de la base est stable et correspond à la représentation irréductible triviale. Comme toute représentation est somme directe de représentations irréductibles, il existe une représentation, correspondant à la représentation naturelle à laquelle a été retranchée la représentation triviale. On obtient une représentation φ<sub>1</sub> de caractère (3, 1, 0, -1, -1) obtenu en retranchant le caractère de la représentation triviale à celle de la représentation naturelle. On vérifie qu'il correspond à un caractère irréductible : <center><math><\chi_{\varphi_1}\, |\,\chi_{\varphi_1}>=\frac {1}{24}\Big(3^2+6\times 1^2+8\times 0^2 + 3\times (-1)^2 + 6\times (-1)^2\Big)=1 \;</math></center> Le [[Produit tensoriel et représentations de groupes finis|produit tensoriel]] de deux représentations est une représentation de caractère le produit des caractères, en conséquence si φ<sub>2</sub> est le produit tensoriel de φ<sub>1</sub> et de σ, on obtient représentation de caractère (3, -1, 0, -1, 1). Un calcul analogue à celui appliqué à φ<sub>1</sub> montre qu'il est irréductible. Les caractères de ''quatre'' des cinq représentations irréductibles recherchées sont élucidés. La somme des carrés des degrés des ''quatre'' représentations est égale à 20, le degré d'une représentation est donnée par la valeur du caractère pour l'identité. Il manque donc une représentation de degré dont le carré est égal à ''quatre'', c’est-à-dire une représentation irréductible θ de degré ''deux''. Utilisons la [[représentation régulière]] pour déterminer le dernier. La représentation régulière est somme directe de toutes les représentations irréductibles et il existe autant de copies d'une représentation irréductible donnée que la dimension de cette représentation irréductible. De plus le caractère de la représentation régulière est (24, 0, 0, 0, 0). Par soustraction, on obtient le caractère de θ : (2, 0, -1, 2, 0). Le tableau des caractères est donc : <center> {| class="wikitable" | {| border="1" | '''Car. irr.''' || '''1''' || '''(ab)''' || '''(abc)''' || '''(ab)(cd)''' || '''(abcd)''' |- | '''t''' || 1 || 1 || 1 || 1 || 1 |- | '''σ''' || 1 || -1 || 1 || 1 || -1 |- | '''θ''' || 2 || 0 || -1 || 2 || 0 |- | '''φ<sub>1</sub>''' || 3 || 1 || 0 || -1 || -1 |- | '''φ<sub>2</sub>''' || 3 || -1 || 0 || -1 || 1 |} |} </center> ==Représentation== L'objectif du paragraphe est la détermination effective des différentes représentations. Pour celle de dimension ''un'', c’est-à-dire ''t'' et ''σ'', elles se confondent avec leur caractère, elles sont donc de facto déterminées. Le groupe ''S''<sub>4</sub> est engendré par les transpositions, il n'est donc nécessaire que de déterminer les représentations que pour elles. De plus, on remarque que les transpositions '''(12)''', '''(23)''', '''(34)''' engendrent toutes les transpositions, donc le groupe entier. Dans la suite de paragraphe, les représentations ne sont exprimées que sur ces trois éléments. Les autres se déduisent par produits des automorphismes précédents. ===Représentation de θ=== {{Article détaillé|Représentations du groupe symétrique d'ordre trois}} [[Image:Isométries du triangle.jpg|260px|thumb|Représentation de S<sub>3</sub> comme groupe des isométries du triangle]] Considérons le groupe ''H'' formé des quatre éléments ''1'' et les trois éléments de la classe de conjugaison de la forme ''(ab)(cd)''. On vérifie aisément que c'est un sous groupe, de plus comme il est formé par l'union de deux classes de conjugaison, il est [[sous-groupe normal|distingué]]. Considérons alors le groupe ''S''<sub>4</sub>/''H''. C'est un groupe d'ordre ''six'', isomorphe à ''S''<sub>3</sub>. Soient ''s'' la surjection canonique de ''S''<sub>4</sub> dans ''S''<sub>4</sub>/''H'' et (''W'', θ<sub>2</sub>) la représentation irréductible de ''S''<sub>3</sub> d'ordre deux ''(cf [[Représentations du groupe symétrique d'ordre trois]])'', définissons alors θ comme étant égal à θ<sub>2</sub>''os''. La composition de morphismes étant un morphisme, (''W'', θ) est une représentation. Déterminons son caractère : il existe ''trois'' transpositions dans ''S''<sub>3</sub> correspondant à douze valeurs dans ''S''<sub>4</sub>, à savoir les transpositions et les permutations circulaires du type ''(abcd)''. Il existe ''deux'' éléments d'ordre ''trois'' dans ''S''<sub>3</sub> correspondant à la classe ''(abc)'' dans ''S''<sub>4</sub>, enfin la classe de l'élément neutre est composé du sous-groupe ''H''. On en déduit que cette représentation possède bien le caractère recherchée et : <center><math>\Theta_{(12)}=\Theta_{(34)}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\quad et \quad \Theta_{(23)}=\begin{pmatrix} \cos\frac{2\pi}3 & \sin\frac{2\pi}3 \\ \sin\frac{2\pi}3 & -\cos\frac{2\pi}3 \end{pmatrix}</math></center> La représentation possède bien le caractère recherché. Elle est de degré deux, le caractère est donc bien égal à deux pour la classe de conjugaison associée à l'identité, composée par le groupe ''H''. Les transpositions représentent trois images par la représentation, chaque classe contient deux transpositions et deux cycles d'ordre quatre, la valeur associée au caractère est égale à zéro. Enfin, les cycles d'ordre trois sont formés par les éléments de la classe '''(abc)''', elle engendre deux images par la représentation. [[Image:Action S4 sur Triangle.jpg|260px|right|thumb|Représentation de S<sub>4</sub> comme groupe des isométries du triangle]] La représentation est alors celle du groupe des isométries du triangle. Elle n'est pas fidèle et chaque automorphisme de la représentation possède quatre antécédents. La figure de droite illustre cette représentation. On a nommé les trois sommets du triangle au moyen des trois étiquettes 1x2 + 3x4, 2x3 + 1x4 et 1x3 + 2x4. Une permutation de ''S''<sub>4</sub> agit directement sur les chiffres de chaque étiquette. Ainsi,la transposition '''(12)''' laisse le sommet 1x2 + 3x4 invariant mais permute les deux sommets 2x3 + 1x4 et 1x3 + 2x4. On pourra vérifier que l'action de cette transposition est identique à celle de la transposition '''(34)''' ou celle des permutations circulaires '''(1324)''' ou '''(1423)'''. Une telle action du groupe ''S''<sub>4</sub> est utilisée pour résoudre les [[Équation quartique#Principe de la méthode|équations du quatrième degré]]. ===Représentation de φ=== [[Image:Rotations du cube.jpg|280px|thumb|Représentation de S<sub>4</sub> comme groupe des rotations du cube.]] Considérons la ''représentation naturelle'', celle définie par le fait que le groupe ''S''<sub>4</sub> opère par permutation sur une base (''e''<sub>i</sub>) d'un espace de dimension ''quatre''. Le paragraphe précédent montre qu'une telle représentation possède le caractère de φ<sub>1</sub>, obtenue en considérant un sous-espace stable par l'action de ''S''<sub>4</sub>, et supplémentaire de la droite engendrée par la somme des ''e''<sub>i</sub>. Si l'on considére la base (''u''<sub>i</sub>) définie par la matrice de passage ''P'' de (''u''<sub>i</sub>) dans (''e''<sub>i</sub>), on obtient comme matrice de la représentation φ<sub>1</sub> dans la base constituée des trois derniers vecteurs ''u''<sub>i</sub> : <center><math>P=\frac 12 \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\1 & -1 & 1 & -1 \\1 & -1 & -1 & 1 \end{pmatrix} </math></center> <center><math>\Phi_1(12)= \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \Phi_1(23)= \begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \Phi_1(34)= \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} </math></center> Les images par <math>\Phi_1</math> des permutations de ''S''<sub>4</sub> sont alors les matrices orthogonales laissant globalement invariant le [[tétraèdre]] régulier de sommets M<sub>1</sub> = (-1,-1,-1), M<sub>2</sub> = (-1,1,1), M<sub>3</sub> = (1,-1,1) et M<sub>4</sub> = (1,1,-1), et permutant ces quatre sommets. Les transpositions '''(ab)''' correspondent à des [[réflexion (mathématiques)|réflexions]], les permutations '''(ab)(cd)''' à des demi-tours, les permutations '''(abc)''' à des tiers de tour, et les permutations '''(abcd)''' aux composées d'un quart de tour et d'une réflexion. Pour obtenir la représentation φ<sub>2</sub>, il suffit de multiplier la représentation matricielle de φ<sub>1</sub> par le caractère σ. Elle est généralement obtenue avec les générateurs suivant: <center><math>\Phi_2(1423)= \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \Phi_2(1234)= \begin{pmatrix}0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \Phi_2(1342)= \begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math></center> On reconnait trois rotations laissant invariant le cube, la première suivant l'axe des ''x'', la deuxième suivant l'axe des ''y'' et la troisième suivant celui des ''z''. La figure au début du paragraphe illustre l'interprétation géométrique de la représentation φ<sub>2</sub>, l'image de '''(1423)''' est celle représentée par la flèche rouge, celle de '''(1234)''' par la bleue et celle de '''(1342)''' par la verte. Les rotations du cube permutent alors les quatre diagonales du cube ou, de manière équivalente, les quatre paires de sommets opposés. [[Image:Action S4 sur cuboctaedre.png|280px|thumb|S<sub>4</sub> permute les couples de triangles opposés dans un cuboctaèdre]] On peut également visualiser l'action de ces permutations de la façon suivante. Les rotations laissant invariant le cube laissent également invariant le [[cuboctaèdre]]. Les transpositions '''(ab)''' correspondent à des demi-tours d'axes passant par deux sommets opposés, les permutations '''(ab)(cd)''' à des demi-tours d'axes passant par les centres des carrés, les permutations '''(abc)''' à des tiers de tour d'axes passant par les centres des triangles, et les permutations '''(abcd)''' à des quarts de tour d'axes passant par les centres des carrés. Les rotations de la représentation permutent alors les quatre paires de triangles opposés. ==Notes et références== {{Représentation des groupes}} ===Notes=== <references /> ===Liens externes=== * {{fr}} [http://www.math.jussieu.fr/~beck/td-grc-3.pdf Cours de représentation des groupes finis] par M. Broué de l'université de Paris VII * {{fr}} [http://perso.univ-rennes1.fr/daniel.ferrand/RepFinal.pdf Représentation linéaire des groupes finis, une introduction] par D. Ferrand de l'université de Renne * {{fr}} [http://nikopol0.alrj.org/articles/files/representations_lineaires/representations_lineaires/node41.html Représentations linéaires des groupes finis] Par Gabriel Peyré ===Références=== * {{Serre2}} * {{Hall1}} * {{Lang1}} * N. Bourbaki ''Algèbre, Chapitre VIII'' Paris, Hermann 1958 {{portail mathématiques}} [[Catégorie:Théorie des représentations]]