Série (mathématiques)
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2008-06-23T18:03:50Z
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{{Voir homonymes|Série}}
En [[mathématiques]], la '''série''' constitue une généralisation de la notion de [[Somme (arithmétique)|somme]], pour une succession infinie de termes. L'étude des séries consiste à effectuer la somme d'un nombre fini ''n'' de termes successifs, puis à observer le comportement lorsque ''n'' devient indéfiniment grand, par un calcul de [[limite (mathématiques)|limite]]. Un certain nombre de méthodes permettent de déterminer la nature ([[Série convergente|convergence]] ou non) des séries sans réaliser explicitement ces deux calculs.
== Séries numériques ==
Une '''série''' de terme général <math>x_n</math> est formellement le couple formé par les deux [[Suite (mathématiques)|suites]] <math>(x_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> et <math>(S_n)_{n\in\mathbb{N}}</math>
:où pour tout entier naturel n,<math>S_n=\sum_{k=0}^n x_k</math>
Cette suite <math>(S_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> est aussi appelée la « suite des sommes partielles », puisqu'à un indice ''n'' donné, <math>S_n</math> fait correspondre la somme des n premiers termes de <math>(x_n)_{n\in\mathbb{N}}</math>.
Ainsi, la suite des sommes partielles associée à la série de terme général <math>x_n</math> est de la forme :
<math>\left(x_0, \quad x_0+x_1, \quad x_0+x_1+x_2, \quad \cdots \quad, \quad x_0+x_1+\cdots+x_n, \quad \cdots \quad \right)</math>
Les '''séries numériques''' sont les séries dont les termes x<sub>n</sub> sont des [[Nombre réel|nombres réels]] ou des [[Nombre complexe|nombres complexes]]. Il existe également des séries vectorielles, dont les termes sont des [[vecteur]]s d'un certain [[espace vectoriel]]. On peut ainsi étudier par exemple des séries de [[Matrice (mathématiques)|matrices]] ou des séries de [[Fonction (mathématiques)|fonctions]]. Leurs spécificités seront indiquées plus bas.
On note la série de terme général ''x''<sub>n</sub> : <math>\sum x_n</math> ou <math>\sum_{n\ge 0}x_n</math>.
=== Convergence ===
La série numérique <math>\sum x_n</math> est dite ''convergente'' si la suite des sommes partielles <math>(S_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> est convergente ; sa limite ''S'' est alors appelée ''somme'' de la série, elle est notée <math>\sum_{k=0}^{+\infty} x_k</math>, et son calcul est la ''sommation'' de la série. Dans le cas contraire, la série est dite ''[[Série divergente|divergente]]''.
Deux séries sont dites de ''même nature'' si elles sont toutes deux convergentes ou toutes deux divergentes.
On parle de série ''absolument convergente'' si la série de terme général <math>|x_k|</math> est elle-même convergente (|x| signifiant ici "[[valeur absolue]] de x" si x est un nombre réel, "[[Module d'un nombre complexe|module]] de x" si x est un [[nombre complexe]], [[norme (mathématiques)|norme]] s'il s'agit d'un autre élément). Si la série est convergente sans être absolument convergente, on parle de série ''semi-convergente''.
Le fait qu'une série puisse être convergente résout beaucoup de problèmes, comme certains des [[paradoxes de Zénon]]. En revanche, il est rare qu'on sache calculer de façon explicite la somme d'une série. Hormis quelques calculs classiques, la théorie des séries a pour objectif de déterminer la nature d'une série sans calcul de la suite des sommes partielles, et éventuellement de procéder à un calcul approché de la somme.
Le terme général doit tendre vers zéro pour que la série converge. La réciproque est fausse (la [[série harmonique]] est un contre-exemple courant). Si une série ne respecte pas cette condition, on dit qu'elle ''diverge grossièrement''.
=== Exemple de série ===
La série de terme général <math>\left (\frac{1}{2} \right)^{n}</math> est convergente et sa somme vaut :
:<math>1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots = 2</math>
Il est possible de « visualiser » sa convergence sur la droite réelle : on peut imaginer un segment de longueur 2, que l'on découpe en segments successifs de longueurs 1, 1/2, 1/4, etc. Il y a toujours assez de place pour marquer le segment suivant, parce que la longueur restante est constamment égale à la longueur du segment qui vient d'être marqué. Lorsque nous avons marqué 1/2, il reste un morceau de longueur 1/2 non marqué, ainsi nous pouvons encore certainement marquer le prochain 1/4. Cet argument ne peut en aucune façon servir de démonstration que la somme de toutes les longueurs des segments est égale à 2, mais permet de se rendre compte que cette somme va rester inférieure à 2 et donc que la suite des sommes partielles est croissante et majorée.
Cette série est une [[série géométrique]] et on démontre sa convergence en écrivant pour tout entier naturel n, sa somme partielle au rang n :
:<math>\sum_{k=0}^n \left(\frac{1}{2}\right)^k=\frac{1-(1/2)^{n+1}}{1-(1/2)}=2-(1/2)^n</math>
La [[suite géométrique]] <math>\left(\left(\frac{1}{2}\right)^n\right)_{n\in\mathbb{N}}</math> de raison 1/2 est convergente de limite nulle donc
:<math>\lim_{n\rightarrow +\infty}\sum_{k=0}^n \left(\frac{1}{2}\right)^k=\sum_{n=0}^{+\infty} 2^{-n}=2.</math>
=== Reste d'une série convergente ===
Si la série <math>\sum x_n</math> est convergente, alors pour tout entier naturel ''n'', la somme <math>R_n=\sum_{k=n+1}^{\infty}x_k</math> existe, et <math>\lim_{n\rightarrow +\infty}R_n=0</math>. Le terme <math>R_n\,</math> s'appelle ''le reste d'ordre'' ''n'' de la série <math>\sum x_n</math>.
Il est facile, par un [[Itération|procédé itératif]], de calculer un terme de la suite des sommes partielles. La relation entre la somme partielle, la somme et le reste s'écrit
:<math>S=S_n+R_n\,</math>
Ainsi, si on sait borner le reste, la somme partielle peut être vue comme une [[valeur approchée]] de la somme, avec une [[incertitude]] connue. C'est le principe du [[calcul numérique d'une somme de série]].
=== Série et suite des termes généraux ===
Il est possible de retrouver le terme général à partir de la suite des sommes partielles par les formules
:<math>a_0=S_0 \qquad \forall n \in {\mathbb N}^*, a_n = S_n - S_{n-1}</math>
Ainsi toute somme partielle est une suite, mais toute ''suite'' est également une ''somme partielle'' (associée à la série des différences des termes consécutifs, avec un premier terme nul). Selon le cas, on aura intérêt à considérer une suite comme une somme partielle, ou inversement, selon la facilité de l'analyse des termes.
Par ailleurs, si la série <math>\sum x_n</math> est convergente, alors la suite <math>(x_n)_{n\in\mathbb{N}}\,</math> converge vers 0. La réciproque est fausse (on peut prendre la ''[[série harmonique]]'' comme contre-exemple). Lorsque le terme général d'une série ne tend pas vers 0, celle-ci est dite ''trivialement'' ou ''grossièrement divergente''.
Exemple : <math>\sum (-1)^n</math> est une série ''grossièrement divergente'', en revanche, pour <math>\sum \frac{\ln n}{n}</math>, bien que le terme général tende vers zéro, on ne peut pas trancher sans d'autres théorèmes.
== Aspects historiques ==
La considération de véritables sommes infinies est une question étroitement liée à celle du passage à la [[limite]]. L'absence persistante des concepts satisfaisants engendra de nombreuses interrogations et spéculations, à l'exemple des [[paradoxes de Zénon]].
Le mathématicien et astronome [[Madhava de Sangamagrama|Madhava]] fut le premier, au {{XIVe siècle}}, à considérer de véritables séries. Ses travaux furent poursuivis par ses successeurs de l'école du [[Kerala]], région du sud de l'Inde, et nous sont connus par le livre ''[[Yuktibhasa]]''. Madhava s'intéresse à des [[Fonction trigonométrique|fonctions trigonométriques]], il en propose des développements de fonctions sous forme de séries, séries de Taylor, séries trigonométriques. Il utilise ces concepts pour des calculs d'approximation (notamment pour estimer le nombre [[Pi|π]]) et effectue des estimations de l'erreur commise. Il introduit aussi les premiers critères de convergence.
Au {{XVIIe siècle}}, [[James Gregory]] redécouvre plusieurs de ces résultats, notamment le développement des fonctions trigonométriques en séries de Taylor et la [[série de Gregory]] permettant le calcul de [[Pi|π]]. En 1715, [[Brook Taylor]], en donnant la construction générale des séries qui portent son nom, établit un lien fructueux avec le calcul différentiel. Au {{XVIIIe siècle}} également, [[Leonhard Euler]] établit de nombreuses relations remarquables portant sur des séries et introduit les [[série hypergéométrique|séries hypergéométriques]].
== Étude de la nature des séries numériques ==
=== Calculs explicites ===
Il est rare de pouvoir calculer explicitement tous les termes de la suite des sommes partielles.
* Les ''[[Série géométrique|séries géométriques]]'' sont celles dont chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par un nombre constant (appelé raison). La série de terme général <math>z^n</math> est convergente si et seulement si le nombre (réel ou complexe) ''z'' vérifie : <math>\left| z \right| < 1</math>.
Exemples: <math>\sum \left(\frac{1}{3}\right)^n \qquad \sum \frac{1}{(1+i)^n}</math> toutes deux convergentes
* Les [[Série télescopique|séries télescopiques]] sont de la forme
:<math>\sum_{n=1}^\infty (b_n-b_{n+1})</math>
Elles sont convergentes si et seulement si la suite (''b''<sub>''n''</sub>) converge vers une limite ''L'' quand ''n'' tend vers l'infini. La valeur de la somme de la série est alors ''b''<sub>1</sub> - ''L''.
=== Principes d'étude ===
Il existe un grand nombre de règles pour les séries à termes positifs. Elles sont toutes basées sur le principe de comparaison : si pour tout entier ''n'', on a <math>0\leq u_n \leq v_n</math>, alors
* si la série <math>\sum v_n</math> converge, la série <math>\sum u_n</math> aussi ;
* si la série <math>\sum u_n</math> diverge, la série <math>\sum v_n</math> aussi.
Pour ces séries à termes positifs, il convient donc de déterminer la nature de certaines séries de références (telles que les séries géométriques), puis de comparer à ces séries.
L'étude des séries à termes réels ou complexes, sans hypothèse particulière, peut poser plus de problèmes. Une condition suffisante a une grande importance : si la série des [[Valeur absolue|valeurs absolues]] (série à termes réels) ou des [[Module d'un nombre complexe|modules]] (séries à termes complexes) <math>\sum \left|a_n\right|</math> converge, alors la série <math>\sum a_n</math>
converge également. Elle est alors dite '''[[Convergence absolue|absolument convergente]]'''.
Il existe des séries convergentes sans être absolument convergentes, comme la [[série harmonique ]]alternée <math>\sum\frac{(-1)^n}{n}</math>. Les méthodes d'étude pour ce type de série, plus techniques, ([[critère de convergence des séries alternées]], [[théorème d'Abel]],...) sont présentées dans :
{{Article détaillé|Série convergente}}
=== Exemples de référence ===
* La ''[[série harmonique]]'' est la série : <math>\sum \frac{1}{n},n\in\mathbb{N}</math>. Cette série est divergente. On montre en effet que quand <math>n\rightarrow +\infty</math>, <math>\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}\,= \gamma + \ln n + o(1)</math> où <math>\gamma</math> est la [[Constante d'Euler-Mascheroni|constante d'Euler]].
* La ''[[série factorielle]]'' est la série : Exemple: <math>\sum \frac{1}{n!},n\in\mathbb{N}</math>. Cette série a pour somme <math>e</math>, la [[Base naturelle des logarithmes|constante de Néper]].
* Les séries de la forme :<br /><math>\sum_{n\ge 1} 1/n^{\alpha}</math> où <math>\alpha\,</math> est un réel quelconque,<br /> sont convergentes si et seulement si <math>\alpha > 1\,</math>. Ces séries sont les séries de Riemann. La [[fonction Zeta de Riemann]] est la fonction qui à <math>\alpha\,</math> associe la somme de cette série.
* Les séries de la forme :
:<math>\sum_{n\ge 2} \frac{1}{n^\alpha \ln^\beta n}</math>, avec <math>\alpha, \beta \in \mathbb{R}</math>,
sont convergentes si et seulement si (<math>\alpha > 1\,</math>) ou (<math>\alpha=1\,</math> et <math>\beta > 1 \,</math>). Ces séries sont les [[Série de Bertrand|séries de Bertrand]].
== Séries à valeurs vectorielles ==
Si ''E'' est un espace vectoriel normé, une série dont les termes sont à valeurs dans ''E'' est dite convergente lorsque la suite des sommes partielles converge pour la norme choisie. Si ''E'' est de dimension finie, tous les choix de normes donneront la même notion de convergence.
Dans le cas des [[Espace de Banach|espaces de Banach]], beaucoup de critères de convergence peuvent être énoncés, puisqu'il suffit de prouver la convergence absolue de la série pour montrer qu'elle converge. Cela permet fréquemment de conclure avec les outils d'étude des séries à termes positifs.
Plus généralement, la notion de série peut être définie dans tout [[groupe abélien]] [[Groupe topologique|topologique]].
== Séries de fonctions ==
{{Article détaillé|Série de fonctions}}
Formellement, les '''séries de fonctions''' sont simplement des séries dont le terme général appartient à un [[Analyse fonctionnelle (mathématiques)|espace vectoriel de fonctions]]. Ainsi la fonction [[exponentielle]] est somme d'une série de fonctions puissances puisque
:<math>\forall x \in {\mathbb C}, \qquad e^x = \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{n!}</math>
Il existe de nombreuses façons non équivalentes de définir la convergence d'une telle série, comme dans le cas des [[Suite de fonctions|suites de fonctions]]. Les plus classiques sont sans doute la [[convergence simple]] et la [[convergence uniforme]]. Un grand nombre de théorèmes existent détaillant, en fonction du type de convergence, s'il est possible d'effectuer des calculs tels que dérivation ou intégration de la fonction somme d'une série.
=== Séries trigonométriques et séries de Fourier ===
{{Article détaillé|Série de Fourier}}
Les '''[[Série trigonométrique|séries trigonométriques]]''' sont obtenues en sommant des fonctions sinusoïdales de fréquence ''n.f'' où ''f'' est une fréquence de référence donnée. Une question fondamentale en [[analyse harmonique]] est la possibiité de faire apparaître une [[fonction périodique]] donnée comme somme d'une série trigonométrique : sa [[série de Fourier]].
=== Séries entières ===
{{Article détaillé|Série entière}}
La plupart des [[Fonction et application|fonctions]] usuelles en mathématiques peuvent être représentées localement par une [[série de Taylor]]. Ce sont des séries dont le terme général s'écrit avec une puissance d'une variable ; elles sont appelées [[Série entière|séries entières]]. Mais seulement dans certains cas. Exemples :
<math>\sum_{n=0}^{+\infty} z^n = \frac{1}{1-z}</math>
Cette série est convergente si et seulement si le nombre (réel ou complexe) ''z'' vérifie : <math>\left| z \right| < 1</math>.
<math>\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{z^n}{n!} = e^z</math>
Cette série est convergente pour tout nombre réel ou complexe ''z''.
Historiquement, les mathématiciens comme [[Leonhard Euler]] travaillaient librement avec les séries, même si celles-ci n'étaient pas convergentes.
Lorsque les bases du calcul ont été solidement posées au dix-neuvième siècle, des démonstrations rigoureuses de la convergence des séries ont été exigées.
Cependant, les calculs formels avec des séries (pas forcément convergentes) sont à l'origine des [[Série formelle|séries formelles]] dans les anneaux étudiés en algèbre générale.
Les séries formelles sont aussi utilisées en algèbre combinatoire pour décrire et étudier certaines suites, et aussi pour les [[Fonction génératrice|fonctions génératrices]].
=== Séries de Dirichlet ===
{{Article détaillé|Série de Dirichlet}}
== Notion de sommes infinies ==
Les séries ne sont que l'exemple le plus simple de formalisation de la notion de somme infinie. Il existe d'autres définitions, plus exigeantes ou au contraire plus souples.
=== Les séries ne sont pas vraiment des sommes ===
{{Article détaillé|Famille sommable}}
Il y a dans la définition des sommes de séries convergentes un calcul de somme finie, suivi d'un passage à la limite. À cause de cette deuxième étape, l'expression « somme infinie » est incorrecte pour qualifier les séries. Une telle « somme » n'est en effet pas commutative, ni associative, ni distributive vis à vis de la multiplication. Il n'est pas possible, en général, de dériver une telle somme par rapport à un paramètre.
Les [[Famille sommable|familles sommables]] ont des propriétés qui leur donnent beaucoup plus de titres à être qualifiées de « sommes infinies ». Alors que dans le cas des séries, on ajoute les termes dans l'ordre de succession des indices <math>u_0, u_1</math>, ... puis <math>u_n</math>, la notion de famille sommable demande d'obtenir un même résultat quel que soit l'ordre dans lequel on effectue les sommations. La propriété de commutativité par exemple est alors vraie par définition même.
=== Procédés de sommation des séries divergentes ===
{{Article détaillé|Série divergente}}
Les procédés de sommation sont des types de convergence plus faibles permettant de définir la somme de certaines séries divergentes. Par exemple le [[moyenne de Cesàro|procédé de sommation de Cesàro]] donne pour résultat 1/2 lorsqu'on somme la série
:<math>1 - 1 + 1 - 1 + \cdots \,</math>
Il est défini en calculant successivement les moyennes des ''n'' premiers termes de la suite des sommes partielles et en passant à la limite.
Les autres procédés de sommation les plus classiques sont la [[sommation d'Abel]] et la [[sommation de Borel]].
== Voir aussi ==
* [[Famille sommable]]
* [[Série convergente]]
* [[Série entière]]
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