Série L de Dirichlet 151311 29751412 2008-05-19T20:57:31Z VolkovBot 198153 robot Ajoute: [[zh:狄利克雷L函數]] [[Image:johann_dirichlet.jpg|thumb|200px|right|Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]] En [[mathématiques]], une '''série L de Dirichlet''', est une série du plan [[plan complexe]] utilisée en [[théorie analytique des nombres]]. Par [[prolongement analytique]], cette fonction peut être étendue à une [[fonction méromorphe]] sur le plan complexe entier. Elle est construite à partir d'un [[caractère de Dirichlet]] et, dans le cas où le caractère est trivial, la fonction L de Dirichlet s'identifie avec la [[fonction zêta de Riemann]]. Ces propriétés lui permettent de démontrer le [[théorème de la progression arithmétique|théorème sur les nombres premiers dans les progressions arithmétiques]]. Elle nommée ainsi en l'honneur du [[mathématicien]] [[Allemagne|allemand]] [[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]] <small>([[1805 en science|1805]]-[[1859 en science|1859]])</small>. == Définitions == Soit χ un caractère de Dirichlet modulo ''q'' où ''q'' est un entier strictement positif et ''s'' un nombre complexe de partie réelle supérieure à ''1''. * La '''série L de Dirichlet''' pour le caractère χ au point ''s'' , notée ''L''(''s'', χ), est donnée par la formule suivante : <center><math>L(s,\chi) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\chi(n)}{n^s}</math></center> * Le prolongement analytique de la série L de Dirichlet pour le caractère χ est appelé '''Fonction L de Dirichlet''' et est encore noté ''L''(''s'', χ). {{boîte déroulante|align=left|titre=Démonstration|contenu= :* '''Toute série L de Dirichlet se prolonge analytiquement sur le plan complexe en une fonction méromorphe.''' Notons Γ la [[fonction gamma]], c'est une fonction méromorphe vérifiant l'égalité suivante : <center><math> \forall s \in \mathbb C \quad \Gamma (s) = \int_0^{+\infty} e^{-t}.t^{s-1}dt</math></center> Utilisons alors le changement de variable ''t'' = -''n.ln''(''x''), on obtient : <center><math> \forall n \in \mathbb N^* \quad \forall s \in \mathbb C \quad \Gamma (s) = n^s\int_0^1 x^{n-1}ln(x^{-1})^{s-1}dx</math></center> Par ailleurs, χ est une fonction périodique de période ''q'' et valant zéro sur l'ensemble des entiers multiple de ''q'', on en déduit l'égalité des séries formelles : <center><math> \sum_{n=1}^{\infty} \chi (n)x^n = \frac 1{1- x^q} \sum_{n=1}^{q-1} \chi(n) x^n </math></center> On en déduit l'égalité suivante : <center><math> \Gamma(s)L(s,\chi) = \sum_{n=1}^{\infty}\chi(n)\int_0^1 x^{n-1}ln(x^{-1})^{s-1}dx = \int_0^1 \frac 1{1- x^q} \sum_{n=1}^{q-1} \chi(n) x^{n-1} ln(x^{-1})^{s-1}dx</math></center> On en déduit que la fonction qui à ''s'' associe Γ(''s'').L(''s'', χ) est méromorphe sur le plan complexe, le fait que la fonction gamma le soit aussi termine la démonstration. }} == Comportement au point un == Le comportement des série au point ''un'' est la clé du [[théorème de la progression arithmétique]]. C'est la raison pour laquelle Dirichlet défini ces séries. Ici, ''N'' désigne le conducteur des caractères étudiés et χ<sub>0</sub> le caractère principal. :* ''Le point ''un'' est un pôle de tout caractère principal.'' :* ''Tout caractère non principal est définie et analytique sur le demi-[[plan complexe]] de partie réelle strictement positive.'' Ce qui signifie qu'elle n'admet pas de pôle sur cette région. :* ''Le point ''un'' n'est racine d'aucune série de Dirichlet.'' {{boîte déroulante|align=left|titre=Démonstrations|contenu= :* '''Le point ''un'' est un pôle du caractère principal.''' Le [[produit eulérien]] du caractère principal est le suivant : <center><math>L(s, \chi_0) \ = \ \prod_{p \in \mathcal P} \Big(1 -\frac {\chi_0(p)}{p^s}\Big)^{-1} </math></center> Le caractère principal est égal à ''un'' sauf pour les points ''n'' ayant un diviseur commun avec ''N'' différent de ''un''. On en déduit la formule : <center><math>L(s, \chi_0) \ = \ \prod_{p \in P \ p| N}\Big( 1 -\frac 1{p^s}\Big)\prod_{p \in \mathcal P} \Big(1 -\frac {1}{p^s}\Big)^{-1} \ = \ \prod_{p \in P \ p| N}\Big( 1 -\frac 1{p^s}\Big)\zeta(s)</math></center> ζ désigne ici la [[fonction zêta de Riemann|fonction ζ de Riemann]]. Or, cette fonction diverge au point ''un''. Les démonstrations sont données dans l'article [[produit eulérien]]. :* '''Tout caractère non principal est analytique sur le demi-plan complexe de partie réelle strictement positive.''' Soit χ un caractère non principal, il est [[orthogonalité|orthogonal]] au caractère principal ''(cf l'article [[Caractère de Dirichlet]] au paragraphe [[Caractère de Dirichlet#Analyse harmonique|Analyse harmonique]])'', on en déduit que : <center><math> (1)\quad < \chi_0, \chi> \ = \ \sum_{n \in \mathbb Z/N\mathbb Z} \chi(n) = 0 </math></center> On en déduit l'expression suivante de L(''s'', χ) si la partie réelle de ''s'' est strictement supérieure à ''un'' car la série est [[convergence absolue|absolument convergente]] : <center><math>(2) \quad L(s, \chi ) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac {\chi (n)}{n^s} \ = \ \sum_{r=0}^{\infty} \sum_{j=1}^{N-1} \frac {\chi (j)}{(rq + j)^s} \ = \ \sum_{r=0}^{\infty} \sum_{j=1}^{N-1}{\chi (j)} \Bigg(\frac 1{(rq + j)^s} - \frac 1{(rq + q)^s} \Bigg)</math></center> La dernière égalité étant une conséquence directe de ''(1)''. L'objectif est de montrer que l'expression ''(2)'' de la série est absolument convergente si la partie réelle de ''s'' est strictement positive. Calculons le [[Module d'un nombre complexe|module]] suivant si ''r'' est différent de zéro. <center><math>(3) \quad \left|\frac 1{(rq + j)^s} - \frac 1{(rq + q)^s} \right| = \frac 1{|(rq)^s|} \left|\frac{(1 + \frac 1r)^s - (1+\frac j{rq})^s}{(1 + \frac 1r)^s (1+\frac j{rq})^s}\right| </math></center> Un [[développement limité]] montre que : <center><math>(4) \quad \left|\frac 1{(rq + j)^s} - \frac 1{(rq + q)^s} \right| \le \frac 1{|(4rq)^s|}\Big(\frac sr (1 - \frac jq) + o(r^{-1})\Big) \le \left| \frac s{(4q)^s} \right| r^{-(s+1)} + o(r^{-(s+1)})</math></center> La majoration ''(4)'' montre l'absolue convergence sur le demi-plan complexe de partie réelle strictement positive. :* '''Il ne peut exister deux caractères distincts ayant ''un'' pour racine.''' Ce lemme permet de montrer que les caractères complexes ne peuvent posséder ''un'' pour racine. Raisonnons par l'absurde. Soit χ<sub>1</sub> et χ<sub>2</sub> deux caractères ayant ''un'' pour racine. On remarque dans un premier temps qu'aucun des deux n'est le caractère principal, en effet celui-ci admet ''un'' pour pôle. Ici, <math>\scriptstyle \widehat U </math> désigne le groupe des caractères de Dirichlet. Soit ''D'' le [[Disque (géométrie)|disque]] fermé du plan complexe de centre ''un'' et de rayon un demi où l'on a retranché le point ''un''. Déterminons le comportement autour de la valeur ''un'' de la fonction ψ de ''D'' dans l'ensemble des nombres complexes, définie par l'égalité suivante : <center><math>\forall s \in D \quad \psi (s) = \prod_{\chi \in \widehat U} L(s, \chi)</math></center> Soit ''D'' le [[Disque (géométrie)|disque]] fermé du plan complexe de centre ''un'' et de rayon un demi. Sur ce disque, à l'exception du caractère principal χ<sub>0</sub>, tous les caractères sont analytiques. Le produit des différents caractères à l'exception de χ<sub>0</sub>, χ<sub>1</sub> et χ<sub>2</sub> est une fonction analytique, il existe donc un réel ''M''<sub>1</sub> qui majore ce produit sur ''D''. Comme χ<sub>1</sub> et χ<sub>2</sub> sont analytiques sur ''D'', leurs dérivées sont aussi majorées sur ''D'', soit ''M''<sub>2</sub> un tel majorant. La majoration suivante est alors vérifiée : <center><math>\forall s \in D \quad \forall i \in {1,2} \quad |L(s,\chi_i)| \ \le \ M_2|s-1|</math></center> On en déduit : <center><math>(1)\quad \forall s \in D \quad |\psi (s)| \le M_1M_2^2\prod_{p \in P\ p| N}|1-p^{-s}|.\zeta(s).|s-1|^2 = M_1M_2^2\prod_{p \in P \ p| N} |1-p^{-s}| \sum_{n=1}^{\infty}\left| \frac {(s-1)^2}{n^s} \right| </math></center> Notons x le module de s-1, ''M''<sub>3</sub> un majorant du produit de l'expression ''(1)'' sur le disque ''D'' et ''M'' le produit de ''M''<sub>1</sub>, ''M''<sub>2</sub> et ''M''<sub>3</sub>. La majoration ''(1)'' peut s'écrire : <center><math>(2)\quad \forall s \in D \quad |\psi (s)| \le M \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^2}{n^{1+x}} \le M \Big(x^2 + \int_1^{+\infty}\frac{x^2}{t^{1+x}}dt \Big)= M(x^2 + x) \quad \Rightarrow \lim_{s \to 1} \psi (s) = 0</math></center> Or le calcul déterminant le produit eulérien, ''(cf [[Caractère de Dirichlet#Produit eulérien|Produit eulérien]] de l'article [[Caractère de Dirichlet]])'' montre que, si ''U'' désigne le groupe des unités de ''Z''/''nZ'' et ''P'' l'ensemble des nombres premiers : <center><math>\forall x \in \mathbb U \quad \sum_{p \in \mathcal P \ p^k \in x}\sum_{k=1}^{+\infty} \frac 1{k(p^k)^s} \ = \ \frac 1{\varphi (N)}\sum_{\chi \in \widehat \mathbb U} \chi(x)^* \; log \Bigg( \prod_{p \in \mathcal P} \Big(1 -\frac {\chi(p)}{p^s}\Big)^{-1} \Bigg) </math></center> En choisissant pour valeur de ''x'' l'élément neutre du groupe et en remplaçant le produit eulérien par sa série, on obtient : <center><math>\forall s \in D \quad log \Big( \psi(s) \Big) \ = \sum_{\chi \in \widehat U} log \big(L(s,\chi)\Big)\ =\ \sum_{\chi \in \widehat \mathbb U} \chi(1)^* \; log \Bigg( \prod_{p \in \mathcal P} \Big(1 -\frac {\chi(p)}{p^s}\Big)^{-1} \Bigg) \ =\ \frac{\varphi (N)}N \sum_{p \in \mathcal P \ p^k \equiv 1}\sum_{k=1}^{+\infty} \frac 1{k(p^k)^s}</math></center> Pour toute valeur réelle de ''s'' strictement supérieur à 1, le logarithme de ψ(''s'') est strictement positif, on en déduit que ψ(''s'') est strictement supérieur à 1 au voisinage du point 1, ce qui est en contradiction avec ''(2)''. :* '''Un caractère non principal et non réel n'admet pas ''un'' comme racine.''' Si un caractère χ est complexe alors son caractère [[conjugué]] est différent de lui-même et admet aussi ''un'' comme racine, le lemme précédent montre que cette configuration est impossible. :* '''Un caractère non principal et réel n'admet pas ''un'' comme racine.''' Cette démonstration est la plus délicate. Elle a retenu Dirichlet pendant un an, celle présentée ici est l'oeuvre de [[Aleksandr Gelfond]] et [[Atle Selberg]]. Ici χ désigne un caractère réel non principal. La démonstration proposée est encore une preuve par l'absurde. On suppose donc que ''L''(1, χ) est nul. Soit (''a''<sub>n</sub>( ''t'' )) où ''n'' est un entier strictement positif, la suite de fonctions de ]0, 1[ définie par : <center><math>\forall n \in \mathbb N^* \quad \forall t \in ] 0,1[\quad a_n(t) \ = \ \frac 1{n(1-t)}-\frac{t^n}{1-t^n}</math></center> ::* ''La suite (''a''<sub>n</sub>( ''t'' )) est positive et tend absolument vers zéro.'' On remarque que : <center><math>(1-t^n)a_n(t) \ = \ \frac {1-t^n}{n(1-t)} -t^n</math></center> La convexité de la fonction [[exponentielle]] montre que, si ln désigne le [[logarithme népérien]] : <center><math>(1)\quad \frac {1-t^n}{n(1-t)} \ = \ \frac 1n \sum_{i=0}^{n-1}t^i \ =\ \frac 1n \sum_{i=0}^{n-1} exp\Big( ln(t^i)\Big) \ \ge \ exp \Big( {\frac 1n}\sum_{i=0}^{n-1}ln(t^i) \Big) \Big) \ = \ \Big( \prod_{i=0}^{n-1} t^i \Big)^{\frac 1n} = t^{\frac{n-1}2} \ \ge t^n </math></center> La majoration précédente démontre que la suite (''a''<sub>n</sub>) est positive, la convergence absolue vers zéro est évidente. ::* ''La suite (''a''<sub>n</sub>( ''t'' )) est décroissante.'' Calculons ''a''<sub>n</sub> - ''a''<sub>n+1</sub> : <center><math>(2)\quad a_n(t) - a_{n+1}(t) \ = \ \frac 1{n(n+1)(1-t)}-\frac{t^n(1-t)}{(1-t^n)(1-t^{n+1})}</math></center> La majoration ''(1)'' montre que : <center><math>(3)\quad \frac {1-t^n}{n(1-t)}\ \frac {1-t^{n+1}}{(n+1)(1-t)} \ \ge \ t^{\frac{n-1}2} \ t^{\frac n2} \ \ge t^n </math></center> En multipliant la majoration ''(3)'' par la bonne fraction, on obtient : <center><math>(4)\quad \frac 1{n(n+1)(1-t)} \ \ge \ \frac{t^n(1-t)}{(1-t^n)(1-t^{n+1})}</math></center> La majoration ''(4)'' prouve bien que l'égalité ''(3)'' est positive. ::* ''La série de terme général ''a''<sub>n</sub>( ''t'') χ( ''n'') est absolument majorée par le conducteur ''N'' du caractère.'' On obtient la majoration suivante : <center><math>(5)\quad \sum_{n=1}^{\infty}a_n(t)\chi(n) \ =\ \sum_{n=1}^{\infty}a_n(t) \Big( \sum_{m=1}^{n} \chi(m) - \sum_{m=1}^{n-1} \chi(m)\Big) \ = \ \sum_{m=1}^{\infty} \Big( (a_n(t) - a_{n+1}(t)\Big) \sum_{m=1}^{n} \chi(m)</math></center> La valeur ''a''<sub>n</sub>( ''t'') - ''a''<sub>n+1</sub>( ''t'') est positive et majorée par ''a''<sub>1</sub>( ''t'') car la suite (''a''<sub>n</sub>( ''t'')) est décroissante. La fonction χ est périodique de période ''N'' et la somme de ses valeurs sur ''N'' entiers consécutifs est nulle, ''(la démonstration est donnée au début de celle sur le caractère analytique de χ )'', la valeur d'un caractère est au plus de module 1, ce qui montre que la somme des χ ne dépasse jamais ''N'' en module. Il suffit alors de remarquer que pour la valeur 1 de ''n'' la fonction ''a''<sub>n</sub>( ''t'') est constante de valeur 1 pour conclure. On en déduit : <center><math>(6)\quad \left| \sum_{n=1}^{\infty}a_n(t)\chi(n)\right| \le N </math></center> ::* ''La série de terme général ''a''<sub>n</sub>( ''t'') χ( ''n'') vérifie l'égalité suivante : <center><math>(7)\quad \sum_{n=1}^{\infty}a_n(t)\chi(n) \ =\ - \sum_{n=1}^{\infty} \frac {t^n\chi(n)}{1-t^n}</math></center> En effet, par définition de la série : <center><math>\sum_{n=1}^{\infty}a_n(t)\chi(n) \ =\ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\chi(n)}{n(t-1)} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac {t^n\chi(n)}{1-t^n}\ = \ \frac {L(1, \chi)}{(t-1)} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac {t^n\chi(n)}{1-t^n}</math></center> Or, par hypothèse ''L''(1, χ) est supposé égal à zéro. ::* ''La série de terme général ''a''<sub>n</sub>( ''t'') χ( ''n'') vérifie l'égalité suivante : <center><math>(8)\quad \sum_{n=1}^{\infty}a_n(t)\chi(n) \ =\ -\sum_{m=1}^{\infty}\Big( \sum_{n|m} \chi(n)\Big)t^m</math></center> L'égalité ''(7)'' montre que : <center><math>\sum_{n=1}^{\infty}a_n(t)\chi(n)\ =\ - \sum_{n=1}^{\infty} \frac {t^n\chi(n)}{1-t^n} \ = \ -\sum_{n=1}^{\infty} \chi(n)t^n \sum_{k=0}^{\infty}t^{km} \ = \ -\sum_{n=1}^{\infty} \chi(n) \sum_{k=1}^{\infty}t^{km} \ = \ -\sum_{m=1}^{\infty}\Big( \sum_{n|m} \chi(n)\Big)t^m</math></center> Notons ''A''(''m'') la fonction qui à un entier ''m'' associe la somme des images des diviseurs de ''m'' par le caractère: <center><math>\forall n \in \mathbb N \quad A(m) \ = \ \sum_{n|m} \chi(n)</math></center> ::* ''La fonction ''A''( ''m'') est à valeur dans les entiers, elle est positive et strictement positive si ''m'' est un [[carré parfait]].'' χ est un caractère réel, il prend donc ses valeurs dans l'ensemble {-1, 0, 1}, en conséquence ''A''( ''m'') prend ses valeurs dans les entiers. Soit ''p'' un nombre premier et ''k'' un entier positif. Si χ( ''p'') est nul, toute puissance de ''p'' a la même image par χ car un caractère est une [[fonction multiplicative|fonction complètement multiplicative]] et ''A''( ''p''<sup>k</sup>) est égal à zéro. Si χ( ''p'') est égal à 1, alors toute puissance de ''p'' a la même image par χ et ''A''( ''p''<sup>k</sup>) est égal à ''p'' + 1. Enfin si χ( ''p'') est égal à -1, alors toute puissance de ''p'' vaut 1 si l'exposant est pair et -1 dans le cas contraire. En conséquence ''A''( ''p''<sup>k</sup>) est égal à 1 si ''k'' est pair et 0 dans le cas contraire. Toute puissance d'un nombre premier possède donc une image positive ou nulle par ''A''. Il suffit alors de remarquer que ''A'' est aussi une fonction complètement multiplicative pour conclure que les images de ''A'' sont toujours positives. Enfin si ''m'' est un carré parfait, alors toutes les puissances dans sa décomposition en facteurs premiers sont des nombres pairs, leurs images par ''A'' sont toujours strictement positives, ce qui permet de conclure à une valeur strictement positive. ::* ''Conclusion'' Il existe une infinité de carrés parfaits l'égalité ''(8)'' montre que l'expression, en module, peut être choisie aussi grande que l'on veut, si ''t'' est suffisamment proche de 1. Ce résultat est en contradiction avec la majoration ''(6)'', ce qui termine la démonstration. }} == Zéros des fonctions L de Dirichlet == Si <math>\chi\,</math> est un caractère primitif avec <math>\chi(-1) = 1\,</math>, alors les seuls zéros de <math>L(s, \chi)\,</math> avec Re(''s'')<0 sont les entiers pairs négatifs. Si <math>\chi\,</math> est un caractère primitif avec <math>\chi(-1) = -1\,</math>, alors les seuls zéros de <math>L(s, \chi)\,</math> avec Re(''s'')<0 sont les entiers impairs négatifs. Jusqu'à l'existence possible d'un [[zéro de Siegel]], les régions sans zéro incluant et au-delà de la droite Re(''s'')=1 similaires à la fonction zêta de Riemann sont d'existence connue pour toutes les fonctions L de Dirichlet. De la même façon que la fonction de zêta de Riemann est conjecturée comme obéissant à l'[[hypothèse de Riemann]], les fonctions L de Dirichlet sont conjecturées comme obéissant à l'[[hypothèse de Riemann généralisée]]. == Équation fonctionnelle == Supposons que <math>\chi\,</math> est un caractère primitif de module ''k''. Définissant :<math>\varepsilon(s,\chi) = \left(\frac{\pi}{k}\right)^{-(s+a)/2} \Gamma\left(\frac{s+a}{2}\right) L(s,\chi),</math> où <math>\Gamma\,</math> désigne la [[fonction gamma]] et le symbole ''a'' est donné par :<math>a=\begin{cases}0;&\mbox{si }\chi(-1)=1, \\ 1;&\mbox{si }\chi(-1)=-1,\end{cases}</math> on a l'[[équation fonctionnelle (fonction L)|équation fonctionnelle]] :<math>\varepsilon(1-s,\overline{\chi})=\frac{i^ak^{1/2}}{\tau(\chi)}\varepsilon(s,\chi).</math> Ici, nous avons écrit <math>\tau(\chi)\,</math> pour la [[somme de Gauss]] :<math>\sum_{n=1}^k\chi(n)\exp(2\pi in/k)\,</math>. '''Note :''' <math>|\tau(\chi)| = k^{\frac{1}{2}}\,</math>. == Relation avec la fonction zêta d'Hurwitz == Les fonctions L de Dirichlet peuvent être écrites comme une combinaison linéaire de [[fonction zêta d'Hurwitz|fonctions zêta d'Hurwitz]] à valeurs rationnelles. En fixant un entier <math>k \ge 1\,</math>, les fonctions L de Dirichlet pour les caractères modulo ''k'' sont des combinaisons linéaires, avec des coefficients constants, de <math>\zeta(s,q)\,</math> où ''q'' = ''m''/''k'' et ''m'' = 1, 2, ..., ''k''. Ceci signifie que la fonction zêta d'Hurwitz pour un rationnel ''q'' possède des propriétés analytiques qui sont intimement liées aux fonctions L de Dirichlet. Précisément, soit <math>\chi\,</math> un caractère modulo ''k''. Alors, nous pouvons écrire sa fonction L de Dirichlet sous la forme :<math>L(\chi, s) = \sum_{n=1}^\infty \frac {\chi(n)}{n^s} = \frac {1}{k^s} \sum_{m=1}^k \chi(m)\; \zeta \left(s,\frac{m}{k}\right)</math>. En particulier, la fonction L de Dirichlet du caractère modulo 1 nous donne la fonction zêta de Riemann : :<math>\zeta(s) = \frac {1}{k^s} \sum_{m=1}^k \zeta \left(s,\frac{m}{k}\right)</math>. == Liens externes et références == ===Liens externes=== * {{en}} [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Dirichlet.html Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet] par l'Université de St Andrew * {{en}} [http://www.uni-math.gwdg.de/tschinkel/gauss-dirichlet/elstrodt-new.pdf The life and work of Dirichlet] par Jürgen Elstrodt * {{en}} [http://www.dms.umontreal.ca/~andrew/Courses/Chapter2.pdf Infinitely many primes, with analysis] par L'Université de Montréal de Andrew Granville et K. Soundararajan * {{en}} [http://gifted.hkedcity.net./Gifted/Download/notes/phase3/advance/Forth%20and%20Fifth%20Lecture%202007-03-10%20Dirichlet%20Theorem%20from%20CJ%20Lam.pdf Dirichlet's theorem on primes in arithmetic progression] par IMo ===Références=== * Jean-Benoît Bost, Pierre Colmez et Philippe Biane ''La fonction Zêta'', Éditions de l'École polytechnique Paris 2002 ISBN 2730210113 * Harold Davenport's ''Multiplicative number theory'', 3<sup>ème</sup> edt Springer 2000 ISBN 0387950974 * Karatsuba ''Basic analytic number theory'', Springer-Verlag 1993 ISBN 0-387-53345-1 * S. J. Patterson ''An Introduction to the Theory of the Riemann Zeta-Function'' Cambridge University Press 1995 ISBN 0521499054. {{portail mathématiques}} [[Catégorie:Théorie analytique des nombres]] [[Catégorie:Caractère de Dirichlet]] [[en:Dirichlet L-function]] [[es:Función L de Dirichlet]] [[ru:L-функция Дирихле]] [[zh:狄利克雷L函數]]