Série harmonique
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2008-05-01T03:26:40Z
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{{Voir homonymes|Série|Harmonique}}
En [[mathématiques]], la '''série harmonique''' est une [[série (mathématiques)|série]] de [[nombre réel|nombres réels]]. C'est la série des [[inverse]]s des [[Entier naturel|entiers naturels]] non nuls.
Sujet d'étude classique en analyse, elle fait partie de la famille plus large des [[Série de Riemann|séries de Riemann]], qui permettent de déterminer la nature de nombreuses séries, par les [[Série convergente#Séries de réels positifs|théorèmes de comparaison]].
== Définition ==
Le terme général <math>(u_n)</math> de la série harmonique est défini par
:<math>\forall n \in \N^*,\ u_n=\frac{1}{n}</math>
On note classiquement <math>H_n</math> la n-ième somme partielle de la série harmonique, qui est donc égale à
:<math>H_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{n}</math>.
== La série harmonique diverge ==
=== Expérimentation ===
En calculant les premières sommes partielles de la série harmonique, il apparaît que la [[suite (mathématiques)|suite]] de nombres obtenus est [[Fonction monotone|croissante]] et ne bouge pas très vite. On a même l'impression au bout d'un moment qu'elle est presque [[stationnaire]].
On peut donc suspecter au premier abord cette série d'être une [[série convergente]].
{| border="1" align="center"
! Valeur de n !! Valeur de H<sub>n</sub> !! Valeur de n !! Valeur de H<sub>n</sub>
|-
|align="center"|1
|1
|align="center"|11
|3,019877345
|-
|align="center"|2
|1,5
|align="center"|12
|3,103210678
|-
|align="center"|3
|1,833333333
|align="center"|13
|3,180133755
|-
|align="center"|4
|2,083333333
|align="center"|14
|3,251562327
|-
|align="center"|5
|2,283333333
|align="center"|15
|3,318228993
|-
|align="center"|6
|2,45
|align="center"|16
|3,380728993
|-
|align="center"|7
|2,592857143
|align="center"|17
|3,439552523
|-
|align="center"|8
|2,717857143
|align="center"|18
|3,495108078
|-
|align="center"|9
|2,828968254
|align="center"|19
|3,547739657
|-
|align="center"|10
|2,928968254
|align="center"|20
|3,597739657
|}
=== Réalité mathématique ===
En fait, la série harmonique [[divergence|diverge]], elle tend vers <math>+\infty</math>.
{| border="1" align="center"
! Valeur de n !! Valeur de H<sub>n</sub>
|-
|align="right"|10
|2,928968254
|-
|align="right"|100
|5,187377518
|-
|align="right"|1 000
|7,485470861
|-
|align="right"|10 000
|9,787606036
|-
|align="right"|100 000
|12,09014613
|-
|align="right"|1 000 000
|14,39272672
|}
Dans le tableau ci-dessus, à chaque fois qu'on multiplie la valeur de ''n'' par 10, il semble qu'on rajoute une constante à H<sub>n</sub>, de l'ordre de 2,3. Ce comportement apparent est de type [[Logarithme|logarithmique]] en ''n''. C'est bien ce qu'on obtient on faisant une étude asymptotique plus poussée.
=== Démonstration ===
Cette série croissante ne peut avoir que deux types de comportement : ou bien elle converge ou bien elle diverge et tend vers + ∞. On raisonne par l'absurde. Supposons que la suite <math>H_n</math> converge vers <math>l</math>. Dans ce cas, on sait aussi que la [[Sous-suite|suite extraite]] <math>H_{2n}</math> converge aussi vers <math>l</math>. Par conséquent, la suite <math>H_{2n}-H_{n}</math> converge vers <math>0</math>.
Or, on a les inégalités suivantes :
<math>H_{2n}-H_{n} = \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k}
\geq \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{2n}=\frac{1}{2}</math>.
On aboutit à une contradiction.
=== Autres démonstrations ===
On peut comparer la série harmonique à une [[série (mathématiques)|série télescopique]] bien choisie
:<math>v_n = \ln(n+1)-\ln n = \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\underset{+\infty}{\sim} \frac {1}{n}</math>
Alors <math>v_n</math> est le terme général d'une série divergente, à termes positifs, donc par comparaison la série harmonique diverge elle aussi.
On peut aussi montrer le résultat à l'aide de la méthode de [[comparaison série-intégrale]] (c'est un peu ce qui est caché, d'ailleurs dans le choix « judicieux » de la série télescopique).
== Développement asymptotique de <math>H_n</math> ==
Tous les termes du développement asymptotique peuvent s'obtenir par la méthode de [[comparaison série-intégrale]].
=== Équivalent de <math>H_n</math> ===
En utilisant l'encadrement suivant, lié à la décroissance de la fonction inverse (t donne 1/t)
:<math>\int_n^{n+1} \frac {1}{t} \mathrm{d}t\leq \frac {1}{n} \leq \int_{n-1}^{n} \frac {1}{t} \mathrm{d}t</math>
Et en sommant, on arrive à
:<math>\int_1^{N+1}\frac {1}{t} \mathrm{d}t \leq H_N \leq 1+ \int_1^{N}\frac {1}{t} \mathrm{d}t </math>
Puis en calculant les deux membres et en constatant qu'ils sont tous deux équivalents à <math>\ln n</math>
:<math> H_N \underset{+\infty}{\sim} \ln(N) </math>
=== Second terme du développement asymptotique ===
De plus en continuant l'expérimentation avec sa calculatrice, l'on peut calculer les premier termes de la suite <math>\ (\ln (n)- H_n)</math>. On peut alors
s'apercevoir assez rapidement que cette série semble tendre vers une limite finie.
Cette fois nous ne nous sommes pas trompés : on peut prouver que cette suite admet effectivement une limite finie. On a donc la '''formule d'Euler'''
<center><math>\ H_n = \ln (n)+\gamma +o(1)</math>,</center>
C'est-à-dire que la suite <math>\ H_n - \ln(n)</math> tend vers une certaine limite <math>\gamma \in \R</math>.
Cette valeur <math>\gamma</math> a été baptisée [[constante d'Euler-Mascheroni]]. Voici les 25 premiers chiffres de son [[développement décimal]]
:<math>\gamma \simeq 0,5772156649015328606065120...</math>
Pour la démonstration de la formule d'Euler, et la généralisation à d'autres séries, voir l'article [[comparaison série-intégrale]].
=== Généralisation et terme général du développement asymptotique ===
La méthode est détaillée dans l'article [[comparaison série-intégrale]] ; les premiers termes du développement sont
:<math>\sum_{k=1}^n \frac1k= \ln(n)+\gamma+\frac1{2n}-\frac1{12n^2}+\frac1{120n^4}-\frac1{252n^6}+\frac1{240n^8}-\frac1{132n^{10}}+
O\left(\frac1{n^{12}}\right)</math>
== La série harmonique alternée ==
Le terme général <math>(u_n)</math> de la [[Série alternée|série harmonique alternée]] est définit par
:<math>\forall n \in \N^*,\ u_n=\frac{(-1)^n}{n}</math>
C'est donc une variante de la série harmonique. L'alternance des signes change tout puisque cette série converge, par le [[critère de convergence des séries alternées]]. On peut se servir de l'étude effectuée avec la série harmonique pour déterminer la nature et la somme de la série harmonique alternée.
En séparant termes pairs et impairs dans le calcul des sommes partielles, et en appliquant la formule d'Euler précédente, on prouve que la série harmonique alternée converge et a pour somme
:<math>-\ln 2 = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n}=-1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{(-1)^n}{n}+\cdots
</math>
''Démonstration détaillée'' : on décompose les sommes partielles d'ordre pair
:<math>\sum_{n=1}^{2N} \frac1{n}=\sum_{p=1}^{N} \frac{1}{2p}+\sum_{p=0}^{N-1} \frac{1}{2p+1}</math>
:<math>\sum_{n=1}^{2N} \frac{(-1)^n}{n}=\sum_{p=1}^{N} \frac{1}{2p}-\sum_{p=0}^{N-1} \frac{1}{2p+1} =2\sum_{p=1}^{N} \frac{1}{2p}-\sum_{n=1}^{2N} \frac1{n}=H_N-H_{2N}</math>
Une formule d'Euler pour chaque terme
:<math>\sum_{n=1}^{2N} \frac{(-1)^n}{n}=\ln N+\gamma+o(1)-(\ln 2N+\gamma+o(1)) =-\ln 2+o(1)</math>
Pour conclure il faut encore signaler que si on prend une somme partielle d'ordre impair, elle a aussi pour limite - ln 2 (on ajoute en effet à la somme d'ordre pair précédente un terme qui tend vers 0).
''Variante '' : on peut utiliser la théorie des [[série entière|séries entières]] en établissant la formule plus générale
:<math>\forall x \in [-1,1[,\ -\ln (1-x)= \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n}{n}</math>
== Série harmonique et entier naturel ==
Pour tout entier <math>n \geq 2</math>, <math>H_n</math> n'est jamais entier.
L'argumentation s'appuie sur le [[postulat de Bertrand]] : pour tout entier <math>k \geq 1</math>, il existe un nombre premier <math>p</math> compris (au sens large) entre <math>k+1</math> et <math>2k</math>.
Soit <math>n \geq 2</math>, et soit <math>k</math> la [[partie entière]] de <math>n/2</math>. Il existe donc un nombre premier <math>p</math> compris entre <math>k+1</math> et <math>2k</math>. Ce nombre premier <math>p</math> est donc inférieur à <math>k</math> et son double est strictement supérieur à <math>n</math>. On en déduit que <math>p</math> ne divise alors aucun des entiers de 1 à <math>n</math> sauf lui-même.
Soit l'entier <math>K</math> vérifiant
:<math>K = \frac{n!}{p} = \prod_{\underset{ i \ne p}{i=1}}^n i</math>
D'après la remarque précédente, <math>p</math> ne divise aucun des entiers de 1 à <math>p</math> sauf lui-même, il ne divise donc pas leur produit, il ne divise donc pas <math>K</math>.
On multiplie alors <math>H_n</math> par <math>K</math>
:<math>KH_n = \prod_{\underset{ i \ne p}{i=1}}^n \frac Ki + \frac Kp </math>
Or pour tout <math>i \neq p</math>, <math>K/i</math> est un entier donc la somme des <math>K/i</math> est un entier noté <math>A</math>, donc
:<math>KH_n = A + \frac Kp </math>
<math>E</math> est un entier, <math>K/p</math> n'est pas entier donc <math>KH_n</math> n'est pas entier et <math>H_n</math> n'est pas entier.
== Voir aussi ==
* [[Série (mathématiques)|Série]]
* [[Série de Riemann]]
* [[Série de Bertrand]]
* [[Démonstration que la série des inverses des nombres premiers diverge]]
{{Portail mathématiques}}
[[Catégorie:Série|Harmonique]]
[[ca:Sèrie harmònica]]
[[da:Harmonisk række]]
[[de:Harmonische Reihe]]
[[en:Harmonic series (mathematics)]]
[[es:Serie armónica (matemática)]]
[[fi:Harmoninen sarja]]
[[he:הסדרה ההרמונית]]
[[is:Umhverfuröð]]
[[it:Serie armonica]]
[[ja:調和級数]]
[[nl:Harmonische rij]]
[[pl:Szereg harmoniczny]]
[[pt:Série harmónica (matemática)]]
[[sl:Harmonična vrsta]]
[[sv:Harmoniska serien]]
[[zh:调和级数]]