Saturation des inégalités d'Heisenberg 341275 25864110 2008-02-07T12:44:04Z Dhatier 269771 ortoh {{à recycler|physique}} Le [[principe d'incertitude]] est lié à un théorème d'inégalité. L' inégalité d'Heisenberg est dite saturée quand il y a égalité. Il est souvent intéressant d'étudier l'état | <math>\psi</math> > pour lequel cette saturation est vérifiée: si <math>\hat A \hat B - \hat B \hat A = i \hat C</math>, alors au mieux : <center> {| border=0 |----- | {| border=1 cellpadding=10 style="border-collapse:collapse" |----- | <math><\psi|\hat{var}(A)|\psi>\cdot <\psi|\hat{var}(B)|\psi> = {1 \over 4}<\psi|\hat{var}(C)|\psi></math> |} | | | |}</center> == Rappel de la démonstration du théorème d'inégalité == L'énoncé du théorème est ( cf [[principe d'incertitude]] ) : Soit A et B deux opérateurs observables qui ne commutent pas : alors on ne peut pas mesurer simultanément A et B ! Le manque de précision est relié à leur commutateur iC. L'opérateur C est hermitien, donc <C> est réel. Soit dans l'état | <math>\psi</math> > la variance de A , var(A) et de même var(B), celle de B : <center> {| border=0 |----- | {| border=1 cellpadding=10 style="border-collapse:collapse" |----- | <math><\psi|\hat{var}(A)|\psi>\cdot <\psi|\hat{var}(B)|\psi> = {1 \over 4}<\psi|\hat{var}(C)|\psi></math> |} | | | |}</center> '''Démonstration''' : soit A1 l'observable centrée := A - <A> ; var(A)= <A1²>.(idem pour B1) l'inégalité de Schwarz appliquée à |f> := A1| <math>\psi</math> > et |g> = B1| <math>\psi</math> > donne var(A).var(B) > |<f|g>|² . Or A1.B1 = So/2 +iC/2 (avec 2So := A1.B1 + B1.A1, et donc <So> est réel) Donc var(A).var(B) > 1/4 <So>² + 1/4 <C>², avec saturation ssi |f> = k |g> == Saturation == Il y a saturation si A1 | <math>\psi</math> > = k B1 | <math>\psi</math> > : cet état réalise le minimum d'incertitude. Par addition , k var(A) +1/k var(B) = 2 <So> qui est nulle dans ce cas (on dit parfois que la corrélation quantique de A et B est nulle); et par soustraction que k var(A) -1/k var(B) = i<C> , d'où la valeur de k : k = i<C>/2var(A) = -2var(B)/i<C> ; ce qui permet souvent d'évaluer k. Alors on dit que A1-k.B1 annihile l'état saturé. == Application à la particule libre == Si la particule est libre, en considérant A= opérateur P et B = opérateur X, on trouve immédiatement : <math>[P,X]= -i\hbar</math>, donc <math>C= -1\hbar</math>.D'où la valeur de k : k = -i<math>2var(X)/ \hbar </math>, et (P-p0) = k (X-x0)dans l'état saturé. Soit en résolvant cette équation différentielle du '''premier ordre''': <math> \psi(x) = N exp-[\frac{(x-x0)^2}{4v(X)}] </math>.<math>exp[\frac{ip_0 x}{\hbar}]</math>, avec <math>N = \frac{1}{[2\pi var(X)]^\frac{1}{4}}</math> C'est le paquet d'ondes gaussien, avec évidemment var(X).var(P)=1/4.<math>\hbar^2</math>. Retrouver une gaussienne n'est pas trop étonnant; mais une faille importante s'introduit dans la dépendance temporelle, à cause de la dispersion inévitable de <math>\psi(x,t)</math> : '''le paquet d'onde va s'étaler dans le temps'''. Il faudra donc qu'un potentiel intervienne pour limiter la dispersion. C'est l'objet du paragraphe suivant. == Application à l'oscillateur harmonique == Dans le cas du potentiel 1/2 K x²,on a toujours var(X).var(P) = 1/4 <math>\hbar^2</math>, Donc l'énergie E = 1/2 K.var(X)+1/2 var(P)/m est bornée inférieurement par: <math>2\sqrt{\frac{K\hbar^2}{16m}} = \frac{\hbar \omega}{2}= Eo</math>. *pour la saturation, E= Eo et l'opérateur d'annihilation donnera encore un paquet d'onde gaussien, mais cette fois la variance est indépendante du temps et on a: <math> <X^2> =\sqrt{\frac{\hbar}{\sqrt{mK}}}</math>. *Ce paquet d'onde est stationnaire( l'Énergie est parfaitement connue) et s'étale dans le fond de la cuvette de potentiel; son gradient donne une énergie cinétique moyenne , moitié de l'énergie Eo. *'''Remarque''': le théorème du viriel donne dans ce cas <Ec> = <Ep> = Eo/2, ce que l'on peut vérifier. *'''Ordre de grandeur''' : dans le cas d'une molécule diatomique covalente, la distance d(A-B) varie toujours un peu à cause de la fluctuation quantique, d'une grandeur dont la variance est, on l'a vu , <X²>= <math><X^2> = \sqrt{\frac{\hbar}{\sqrt{mK}}}</math> , où ici m est la masse réduite de A et de B , et K la raideur de la liaison covalente ( typiquement donnée par 2V"(x=d), où V(x) est le potentiel de Morse du modèle d'interaction covalente, soit K = 13.6eV/(0.52Å)^2 = ~ 2000N/m (cf [[Ordre de grandeur littéral]]), ce qui conduit à var(X)~ d² 1/1836. A.B/(A+B): inutile donc de donner les distances interatomiques à mieux que 3% . * '''Cas de l'helium''' :Il existe des cas plus surprenants : supposons que la liaison ne soit pas covalente mais plutôt de Lenard-Jones ( modèle des liaisons de Van der Waals) comme dans un cristal de gaz rare: alors K est bien moins élevée et on peut dans le cas de l'hélium se retrouver avec une vibration quantique à température nulle, var(X) ~ d²/10 : or ce critère est celui de '''Lindemann''', pour la possibilité de diffusion des atomes du cristal : celui perd sa cohésion, c'est un LIQUIDE. Ainsi explique-t-on l'anomalie de l'hélium qui est le seul corps impossible à cristalliser par refroidissement seul: il faudra en quelque sorte "raidir" la valeur de K en appliquant une pression pour obtenir l'hélium stable en phase solide : c'est ici, une jolie application de l'inégalité d'Heisenberg. == Application à la cuvette 1/n A x^n == A nouveau , l'état fondamental correspondra à la saturation, avec cette caractéristique <Ec> = 1/4 . <math>\hbar^2</math>/m v(X). et le théorème du viriel donnera <Ec>/n-1 = <Ep> = Eo/n ; ce qui donne ( ne serait-ce que par analyse dimensionnelle): *<math>E_0^{n+1}= c_n A(\frac{\hbar^2}{m})^{n/2}</math> *<math>v(X)^{(n+2)/2} = c'_n \frac{\hbar^2}{mA}</math> *le paquet d'onde "saturé" reste donc gaussien ( ? bizarre). == Application à l'oscillateur 3D == Dans le cas du potentiel 1/2 k (x² + y² + z²), il est clair que la séparation des variables donne immédiatement la fonction d'onde : <math>\psi(x,t) = N e^{-[3r^2/4 r_0^2]} e^{-\frac{3 i \omega t}{2}}</math> , avec : *<math>2.(1/2.K.r_0^2) := E_0 = \frac {3 \hbar \omega}{2}</math> Mais afin de pouvoir traiter l'atome d'hydrogène, on va introduire l' inégalité d'Heisenberg radiale, ce qui est relativement moins étudié dans la littérature. == Inégalité d'Heisenberg radiale == On considère uniquement les états s , à symétrie radiale. *Soit R l'opérateur tel que R² = X² + Y² + Z² := X1² + X2² + X3², en changeant de notation afin de pouvoir éventuellement généraliser (idem pour P ) Le commutateur de P1 et de R est [P1, R] = -i X1/r ( on a pris <math>\hbar = 1</math>). Et donc on reconnaît la dérivation usuelle : [P1,g(R)] = -i (X1/r).g'(R). *Soit A1 l'opérateur A1 := P1 + k X1.f(R), k réel , f(r) aussi. Soit N l'opérateur N := A1*. A1 + A2*. A2 + A3*. A3 (parce qu'on pense à la généralisation de l'opérateur nombre de bosons) Le calcul donne : N = P² +k².r².f(R)² + k (3f(R) + R.f'(R)), opérateur positif pour tout k. D'où l' inégalité d'Heisenberg radiale pour les états s de symétrie radiale : <math> var(P).var(Rf(R)) > 1/4 \hbar^2 var((3f(R) + R f'(R))</math> , pour toute f(r) réelle. En saturation, on retrouve bien les résultats précédents de l'oscillateur 3D, en prenant f(r)=1. Si f(r) = r^k, on trouve : <math> var(P).var(R^{k+1}) > \frac{3+k}{4} \hbar^2 var(R^k)</math> avec la même limitation qu'en mécanique classique: k > -3. == Application à l'atome d'hydrogène == Dans le cas du potentiel V(r) = -e²/r, choisir f(r) = 1/r : L'inégalité d'Heisenberg saturée s'écrit cette fois: <math>var(P) = \hbar^2 <\frac{1}{R}>^2 : = \hbar^2/a^2</math>, en appelant a la moyenne '''harmonique''' de R (c’est-à-dire la moyenne de l'opérateur 1/R). *la valeur de k assurant la saturation est juste k = -<math>\hbar </math>/a *on en déduit que la fonction d'onde est annihilée par A1 := P1 -<math>i\hbar </math>/a.1/R , soit aussi, puisque la fonction d'onde ne dépend que de r , <math>[\frac{d}{dr} + {1 \over a }]\psi(r)=0</math>. D'où il résulte que <math>\psi(r) = N e^{-\frac{r}{a}}</math> : Il s'agit de la fonction d'onde saturée ( naturellement, on vérifie que <1/R> = 1/a) . *Energie minimale: l'inégalité d'Heisenberg donne aussi: E = <Ec> +<Ep> > = var(P)/2m -e²<1/R> = <math>\frac{\hbar^2}{2ma^2} -\frac{e^2}{a}</math> , égalité toujours vraie, pour tout état s. Cette énergie est minimale quand elle est saturée et que a (moyenne harmonique de r) vaut : <math> a = a_0 := \frac{\hbar^2}{me^2}</math> , d'où <math>E = E_0 = 1/2 E_p = - \frac{e^2}{2a_0}</math> (conformément au théorème du viriel). On a ainsi trouvé '''ce que ne pouvait pas donner la théorie de l'[[atome de Bohr]]''' (il y avait inexistence des états s): la saturation de l'inégalité d'Heisenberg est ainsi au '''cœur profond''' de la [[Mécanique quantique]]. Remarque interrogative : y a-t-il une relation avec le fait que c'est <1/r> qui intervient , et le changement de variable de Binet u(t) = 1/r(t) en mécanique classique ? == États cohérents == Plus généralement, il se trouve souvent que les cas de saturation se retrouvent être des états propres de l'hamiltonien. Il y a beaucoup de liens entre cette remarque anodine et la théorie plus sophistiquée des états cohérents. == Compléments sur l'Énergie cinétique radiale == ébauche Ce paragraphe se place dans le cadre des précédentes réflexions, où la non-commutativité joue un rôle crucial. L'opérateur impulsion vaut, d'après [[Paul Dirac|Dirac]], <math>\hat {\vec P} : = {\hbar \over i } \vec \nabla</math> . L'opérateur énergie cinétique s'écrit donc : <math>\hat E_c = + {1 \over 2m } \hat P^2 = - {\hbar^2 \over 2m } \Delta</math> . L'habitude est de séparer l'opérateur P² en deux opérateurs quand le champ est central, en faisant intervenir l'opérateur moment cinétique '''L''' et l'opérateur impulsion-radiale P<sub>r</sub> et il convient d'être très prudent : <math> \vec P^2 = P_r^2 + {L^2 \over r^2 }</math> , étant précisé que '''L.P''' = 0 et''' L.r''' = 0 en tant qu'opérateurs. L'opérateur P²<sub>r</sub> agit sur une fonction d'onde découplée S(r)/r . f( <math>\theta , \phi</math>) comme -<math>\hbar^2</math>S''(r) /r . f( <math>\theta , \phi</math>) Le calcul de l'opérateur dr/dt est donné par le théorème usuel : <math>i \hbar dr /dt = rH-Hr = (rP_r^2- P_r^2 r)/2m</math> ; avec <math>[r, P_r^2] = 2 i \hbar P_r</math> , il vient : dr/dt = P<sub>r</sub>/m , somme toute assez facile à retenir mnémotechniquement. Si la symétrie radiale est respectée, [L², H] = 0 et dans l'état de moment cinétique l , L² = l(l+1)<math>\hbar^2</math> , alors : <math>E_c \psi = -{\hbar^2 \over 2m}S^{''}\cdot {f(\theta, \phi) \over r } + {l(l+1)\hbar^2 \over 2mr^2 } S(r) \cdot {f(\theta, \phi) \over r }</math> . ceci conduira à une équation radiale assez simple à mémoriser ( cf [[atome d'hydrogène]]). Mais il reste à expliquer pourquoi tous les calculs se combinent aussi bien. Et de plus , dans le cas coulombien , expliquer la symétrie SO(4) qui donne le vecteur excentricité.( ébauche) == Voir aussi == === Articles connexes === * [[Principe d'incertitude]] * [[État cohérent]] * [[Atome de Bohr]] * [[Puits de potentiel semi-classique]] * [[Atome d'hydrogène ]] {{portail physique}} [[Catégorie:Mécanique quantique]]