Saturation des inégalités d'Heisenberg
341275
25864110
2008-02-07T12:44:04Z
Dhatier
269771
ortoh
{{à recycler|physique}}
Le [[principe d'incertitude]] est lié à un théorème d'inégalité. L' inégalité d'Heisenberg est dite saturée quand il y a égalité. Il est souvent intéressant d'étudier l'état | <math>\psi</math> > pour lequel cette saturation est vérifiée: si <math>\hat A \hat B - \hat B \hat A = i \hat C</math>, alors au mieux :
<center>
{| border=0
|-----
|
{| border=1 cellpadding=10 style="border-collapse:collapse"
|-----
| <math><\psi|\hat{var}(A)|\psi>\cdot <\psi|\hat{var}(B)|\psi> = {1 \over 4}<\psi|\hat{var}(C)|\psi></math>
|}
|
| |
|}</center>
== Rappel de la démonstration du théorème d'inégalité ==
L'énoncé du théorème est ( cf [[principe d'incertitude]] ) :
Soit A et B deux opérateurs observables qui ne commutent pas : alors on ne peut pas mesurer simultanément A et B ! Le manque de précision est relié à leur commutateur iC. L'opérateur C est hermitien, donc <C> est réel.
Soit dans l'état | <math>\psi</math> > la variance de A , var(A) et de même var(B), celle de B :
<center>
{| border=0
|-----
|
{| border=1 cellpadding=10 style="border-collapse:collapse"
|-----
| <math><\psi|\hat{var}(A)|\psi>\cdot <\psi|\hat{var}(B)|\psi> = {1 \over 4}<\psi|\hat{var}(C)|\psi></math>
|}
|
| |
|}</center>
'''Démonstration''' :
soit A1 l'observable centrée := A - <A> ; var(A)= <A1²>.(idem pour B1)
l'inégalité de Schwarz appliquée à |f> := A1| <math>\psi</math> > et |g> = B1| <math>\psi</math> >
donne var(A).var(B) > |<f|g>|² .
Or A1.B1 = So/2 +iC/2 (avec 2So := A1.B1 + B1.A1, et donc <So> est réel)
Donc var(A).var(B) > 1/4 <So>² + 1/4 <C>², avec saturation ssi |f> = k |g>
== Saturation ==
Il y a saturation si A1 | <math>\psi</math> > = k B1 | <math>\psi</math> > : cet état réalise le minimum d'incertitude.
Par addition , k var(A) +1/k var(B) = 2 <So> qui est nulle dans ce cas (on dit parfois que la corrélation quantique de A et B est nulle); et par soustraction que k var(A) -1/k var(B) = i<C> ,
d'où la valeur de k : k = i<C>/2var(A) = -2var(B)/i<C> ; ce qui permet souvent d'évaluer k.
Alors on dit que A1-k.B1 annihile l'état saturé.
== Application à la particule libre ==
Si la particule est libre, en considérant A= opérateur P et B = opérateur X, on trouve immédiatement :
<math>[P,X]= -i\hbar</math>, donc <math>C= -1\hbar</math>.D'où la valeur de k : k = -i<math>2var(X)/ \hbar </math>, et (P-p0) = k (X-x0)dans l'état saturé. Soit en résolvant cette équation différentielle du '''premier ordre''':
<math> \psi(x) = N exp-[\frac{(x-x0)^2}{4v(X)}] </math>.<math>exp[\frac{ip_0 x}{\hbar}]</math>, avec <math>N = \frac{1}{[2\pi var(X)]^\frac{1}{4}}</math>
C'est le paquet d'ondes gaussien, avec évidemment var(X).var(P)=1/4.<math>\hbar^2</math>.
Retrouver une gaussienne n'est pas trop étonnant; mais une faille importante s'introduit dans la dépendance temporelle, à cause de la dispersion inévitable de <math>\psi(x,t)</math> : '''le paquet d'onde va s'étaler dans le temps'''. Il faudra donc qu'un potentiel intervienne pour limiter la dispersion. C'est l'objet du paragraphe suivant.
== Application à l'oscillateur harmonique ==
Dans le cas du potentiel 1/2 K x²,on a toujours
var(X).var(P) = 1/4 <math>\hbar^2</math>,
Donc l'énergie E = 1/2 K.var(X)+1/2 var(P)/m est bornée inférieurement par:
<math>2\sqrt{\frac{K\hbar^2}{16m}} = \frac{\hbar \omega}{2}= Eo</math>.
*pour la saturation, E= Eo et l'opérateur d'annihilation donnera encore un paquet d'onde gaussien, mais cette fois la variance est indépendante du temps et on a:
<math> <X^2> =\sqrt{\frac{\hbar}{\sqrt{mK}}}</math>.
*Ce paquet d'onde est stationnaire( l'Énergie est parfaitement connue) et s'étale dans le fond de la cuvette de potentiel; son gradient donne une énergie cinétique moyenne , moitié de l'énergie Eo.
*'''Remarque''': le théorème du viriel donne dans ce cas <Ec> = <Ep> = Eo/2, ce que l'on peut vérifier.
*'''Ordre de grandeur''' : dans le cas d'une molécule diatomique covalente, la distance d(A-B) varie toujours un peu à cause de la fluctuation quantique, d'une grandeur dont la variance est, on l'a vu , <X²>= <math><X^2> = \sqrt{\frac{\hbar}{\sqrt{mK}}}</math> , où ici m est la masse réduite de A et de B , et K la raideur de la liaison covalente ( typiquement donnée par 2V"(x=d), où V(x) est le potentiel de Morse du modèle d'interaction covalente, soit K = 13.6eV/(0.52Å)^2 = ~ 2000N/m (cf [[Ordre de grandeur littéral]]), ce qui conduit à var(X)~ d² 1/1836. A.B/(A+B): inutile donc de donner les distances interatomiques à mieux que 3% .
* '''Cas de l'helium''' :Il existe des cas plus surprenants : supposons que la liaison ne soit pas covalente mais plutôt de Lenard-Jones ( modèle des liaisons de Van der Waals) comme dans un cristal de gaz rare: alors K est bien moins élevée et on peut dans le cas de l'hélium se retrouver avec une vibration quantique à température nulle, var(X) ~ d²/10 : or ce critère est celui de '''Lindemann''', pour la possibilité de diffusion des atomes du cristal : celui perd sa cohésion, c'est un LIQUIDE. Ainsi explique-t-on l'anomalie de l'hélium qui est le seul corps impossible à cristalliser par refroidissement seul: il faudra en quelque sorte "raidir" la valeur de K en appliquant une pression pour obtenir l'hélium stable en phase solide : c'est ici, une jolie application de l'inégalité d'Heisenberg.
== Application à la cuvette 1/n A x^n ==
A nouveau , l'état fondamental correspondra à la saturation, avec cette caractéristique <Ec> = 1/4 . <math>\hbar^2</math>/m v(X).
et le théorème du viriel donnera <Ec>/n-1 = <Ep> = Eo/n ; ce qui donne ( ne serait-ce que par analyse dimensionnelle):
*<math>E_0^{n+1}= c_n A(\frac{\hbar^2}{m})^{n/2}</math>
*<math>v(X)^{(n+2)/2} = c'_n \frac{\hbar^2}{mA}</math>
*le paquet d'onde "saturé" reste donc gaussien ( ? bizarre).
== Application à l'oscillateur 3D ==
Dans le cas du potentiel 1/2 k (x² + y² + z²), il est clair que la séparation des variables donne immédiatement la fonction d'onde : <math>\psi(x,t) = N e^{-[3r^2/4 r_0^2]} e^{-\frac{3 i \omega t}{2}}</math> , avec :
*<math>2.(1/2.K.r_0^2) := E_0 = \frac {3 \hbar \omega}{2}</math>
Mais afin de pouvoir traiter l'atome d'hydrogène, on va introduire l' inégalité d'Heisenberg radiale, ce qui est relativement moins étudié dans la littérature.
== Inégalité d'Heisenberg radiale ==
On considère uniquement les états s , à symétrie radiale.
*Soit R l'opérateur tel que R² = X² + Y² + Z² := X1² + X2² + X3², en changeant de notation afin de pouvoir éventuellement généraliser (idem pour P )
Le commutateur de P1 et de R est [P1, R] = -i X1/r ( on a pris <math>\hbar = 1</math>).
Et donc on reconnaît la dérivation usuelle : [P1,g(R)] = -i (X1/r).g'(R).
*Soit A1 l'opérateur A1 := P1 + k X1.f(R), k réel , f(r) aussi.
Soit N l'opérateur N := A1*. A1 + A2*. A2 + A3*. A3 (parce qu'on pense à la généralisation de l'opérateur nombre de bosons)
Le calcul donne : N = P² +k².r².f(R)² + k (3f(R) + R.f'(R)), opérateur positif pour tout k.
D'où l' inégalité d'Heisenberg radiale pour les états s de symétrie radiale :
<math> var(P).var(Rf(R)) > 1/4 \hbar^2 var((3f(R) + R f'(R))</math> , pour toute f(r) réelle.
En saturation, on retrouve bien les résultats précédents de l'oscillateur 3D, en prenant f(r)=1.
Si f(r) = r^k, on trouve :
<math> var(P).var(R^{k+1}) > \frac{3+k}{4} \hbar^2 var(R^k)</math>
avec la même limitation qu'en mécanique classique: k > -3.
== Application à l'atome d'hydrogène ==
Dans le cas du potentiel V(r) = -e²/r, choisir f(r) = 1/r :
L'inégalité d'Heisenberg saturée s'écrit cette fois:
<math>var(P) = \hbar^2 <\frac{1}{R}>^2 : = \hbar^2/a^2</math>,
en appelant a la moyenne '''harmonique''' de R (c’est-à-dire la moyenne de l'opérateur 1/R).
*la valeur de k assurant la saturation est juste k = -<math>\hbar </math>/a
*on en déduit que la fonction d'onde est annihilée par A1 := P1 -<math>i\hbar </math>/a.1/R , soit aussi, puisque la fonction d'onde ne dépend que de r ,
<math>[\frac{d}{dr} + {1 \over a }]\psi(r)=0</math>.
D'où il résulte que <math>\psi(r) = N e^{-\frac{r}{a}}</math> :
Il s'agit de la fonction d'onde saturée ( naturellement, on vérifie que <1/R> = 1/a) .
*Energie minimale: l'inégalité d'Heisenberg donne aussi:
E = <Ec> +<Ep> > = var(P)/2m -e²<1/R> = <math>\frac{\hbar^2}{2ma^2} -\frac{e^2}{a}</math> ,
égalité toujours vraie, pour tout état s.
Cette énergie est minimale quand elle est saturée et que a (moyenne harmonique de r) vaut :
<math> a = a_0 := \frac{\hbar^2}{me^2}</math> , d'où <math>E = E_0 = 1/2 E_p = - \frac{e^2}{2a_0}</math>
(conformément au théorème du viriel).
On a ainsi trouvé '''ce que ne pouvait pas donner la théorie de l'[[atome de Bohr]]''' (il y avait inexistence des états s): la saturation de l'inégalité d'Heisenberg est ainsi au '''cœur profond''' de la [[Mécanique quantique]].
Remarque interrogative : y a-t-il une relation avec le fait que c'est <1/r> qui intervient , et le changement de variable de Binet u(t) = 1/r(t) en mécanique classique ?
== États cohérents ==
Plus généralement, il se trouve souvent que les cas de saturation se retrouvent être des états propres de l'hamiltonien. Il y a beaucoup de liens entre cette remarque anodine et la théorie plus sophistiquée des états cohérents.
== Compléments sur l'Énergie cinétique radiale ==
ébauche
Ce paragraphe se place dans le cadre des précédentes réflexions, où la non-commutativité joue un rôle crucial.
L'opérateur impulsion vaut, d'après [[Paul Dirac|Dirac]], <math>\hat {\vec P} : = {\hbar \over i } \vec \nabla</math> .
L'opérateur énergie cinétique s'écrit donc : <math>\hat E_c = + {1 \over 2m } \hat P^2 = - {\hbar^2 \over 2m } \Delta</math> .
L'habitude est de séparer l'opérateur P² en deux opérateurs quand le champ est central, en faisant intervenir l'opérateur moment cinétique '''L''' et l'opérateur impulsion-radiale P<sub>r</sub> et il convient d'être très prudent :
<math> \vec P^2 = P_r^2 + {L^2 \over r^2 }</math> ,
étant précisé que '''L.P''' = 0 et''' L.r''' = 0 en tant qu'opérateurs.
L'opérateur P²<sub>r</sub> agit sur une fonction d'onde découplée S(r)/r . f( <math>\theta , \phi</math>) comme -<math>\hbar^2</math>S''(r) /r . f( <math>\theta , \phi</math>)
Le calcul de l'opérateur dr/dt est donné par le théorème usuel :
<math>i \hbar dr /dt = rH-Hr = (rP_r^2- P_r^2 r)/2m</math> ;
avec <math>[r, P_r^2] = 2 i \hbar P_r</math> , il vient :
dr/dt = P<sub>r</sub>/m , somme toute assez facile à retenir mnémotechniquement.
Si la symétrie radiale est respectée, [L², H] = 0 et dans l'état de moment cinétique l , L² = l(l+1)<math>\hbar^2</math> , alors :
<math>E_c \psi = -{\hbar^2 \over 2m}S^{''}\cdot {f(\theta, \phi) \over r } + {l(l+1)\hbar^2 \over 2mr^2 } S(r) \cdot {f(\theta, \phi) \over r }</math> .
ceci conduira à une équation radiale assez simple à mémoriser ( cf [[atome d'hydrogène]]).
Mais il reste à expliquer pourquoi tous les calculs se combinent aussi bien. Et de plus , dans le cas coulombien , expliquer la symétrie SO(4) qui donne le vecteur excentricité.( ébauche)
== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
* [[Principe d'incertitude]]
* [[État cohérent]]
* [[Atome de Bohr]]
* [[Puits de potentiel semi-classique]]
* [[Atome d'hydrogène ]]
{{portail physique}}
[[Catégorie:Mécanique quantique]]