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    <title>Somme de Gauss</title>
    <id>209993</id>
    <revision>
      <id>29224297</id>
      <timestamp>2008-05-03T11:33:34Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Alecs.bot</username>
        <id>265428</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>robot  Ajoute: [[zh:高斯和]]</comment>
      <text xml:space="preserve">En [[mathématiques]], et plus précisément en [[arithmétique modulaire]], la '''somme de Gauss''' est un [[nombre complexe]].

La '''Somme de Gauss''' utilise les outils de l'[[analyse harmonique sur un groupe abélien fini]] sur le [[corps fini]] [[Anneau Z/nZ|''Z''/p''Z'']] où ''p'' désigne un [[nombre premier]] impair et ''Z'' l'ensemble des [[entier relatif|entiers relatifs]].

Elles sont introduites par le mathématicien [[Carl Friedrich Gauss]] &lt;small&gt;([[1777 en science|1777]] - [[1855 en science|1855]])&lt;/small&gt; qui les utilise dans ses ''[[Disquisitiones arithmeticae]]'', parues en [[1801 en science|1801]].

Elles sont utilisées pour établir la théorie des [[polynôme cyclotomique|polynômes cylotomiques]] et possèdent de nombreuses applications. On peut citer par exemple une démonstration de la [[loi de réciprocité quadratique]].
==Définition==
Dans cet article, ''p'' désigne un nombre premier impair, ''F''&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt; le [[corps fini]] isomorphe à ''Z''/p''Z'', ''F''&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt;&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt; son groupe multiplicatif (c'est-à-dire le même ensemble sauf 0, avec la structure de [[Groupe (mathématiques)|groupe]] donnée par  la multiplication) et ω désigne une [[Racine de l'unité|racine primitive ''p''-ième de l'unité]], le caractère ψ&lt;sub&gt;m&lt;/sub&gt; désigne celui qui, à 1&lt;sub&gt;F&lt;/sub&gt; associe ω&lt;sup&gt;m&lt;/sup&gt;.

:* Soit ψ un [[caractère d'un groupe fini|caractère]] du [[groupe abélien fini|groupe additif]] (''F''&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt;, +) et χ un caractère du groupe multiplicatif (''F''&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt;&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt;, .), alors la '''somme de Gauss associée à χ et ψ''' est le nombre complexe, ici noté ''G''(χ, ψ) et défini par :
&lt;center&gt;&lt;math&gt;G(\chi ,\psi)=\sum_{\bar x \in F_p^*} \chi(x).\psi(x) \quad \text{et}\quad G(\chi ,\psi_n)= \sum_{k=1}^{p-1} \chi (k) \omega^{nk}&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;

Pour une raison de simplicité, χ et ψ sont aussi considérés comme des fonctions définies sur ''Z'' l'anneau des entiers, avec la convention suivante :
&lt;center&gt;&lt;math&gt;\forall \bar x \in \mathbb F_p^*,\;\forall x\in \bar x \quad \chi(x) = \chi (\bar x)\;\text{et}\;\psi(x)=\psi(\bar x)\quad ; \quad \forall n \in \mathbb Z \quad \chi(np)=0\;\text{et}\;\psi(np)=\psi(\bar 0)=1&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;

En terme de [[transformée de Fourier]], on peut considérer l'application qui à χ associe &lt;math&gt;\scriptstyle {G(\chi, \bar \psi)}&lt;/math&gt; comme la transformée de Fourier du prolongement de χ à ''F''&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt; par l'égalité χ(0) = 0  dans le groupe additif du corps et l'application qui à ψ associe &lt;math&gt;\scriptstyle {G(\bar \chi, \psi)}&lt;/math&gt; comme la transformée de Fourier de la restriction de ψ à ''F''&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt;&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt; dans le groupe multiplicatif du corps.

==Propriétés==
L'analyse harmonique permet de nombreux calculs sur les sommes de Gauss, ce paragraphe propose quelques exemples.

:* ''Si ''m'' est un entier [[nombres premiers entre eux|premier]] avec ''p'', alors l'égalité suivante est vérifiée :''
&lt;center&gt;&lt;math&gt; \forall n \in \mathbb Z \quad G(\chi, \psi_{nm})=\overline{\chi(m)} G(\chi,\psi_n) \;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
Ici ''Z'' désigne l'ensemble des [[entier naturel|entiers naturels]] et si ''z'' est un nombre complexe &lt;math&gt;\scriptstyle \bar z&lt;/math&gt; désigne son [[conjugué]].

:* ''Si χ et ψ sont deux caractères différents du caractère constant égal à ''un'', alors l'égalité suivante est vérifiée :''
&lt;center&gt;&lt;math&gt;G(\chi, \psi).G(\bar \chi, \psi)=\chi(- 1)p \;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
Cette propriété possède le corollaire suivant :

:* ''Si μ désigne le caractère multiplicatif égal à 1 sur les carrés de ''F''&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt;&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt; et -1 sinon, alors l'égalité suivante est vérifiée :''
&lt;center&gt;&lt;math&gt;G(\mu, \psi_1)^2=\Big ( \frac {-1}{p} \Big ) p\;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
Dans cet article, (-1/''p'') désigne le [[symbole de Legendre]].

{{boîte déroulante|align=left|titre=Démonstrations|contenu=
:* '''Si ''m'' est un entier premier avec ''p'', alors l'égalité suivante est vérifiée :'''
&lt;center&gt;&lt;math&gt; \forall n \in \mathbb Z \quad G(\chi, \psi_{nm})=\overline{\chi(m)} G(\chi,\psi_n) \;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;

En effet, la définition d'une somme de Gauss implique les égalités suivantes :
&lt;center&gt;&lt;math&gt; G(\chi, \psi_{nm})= \sum_{k=1}^{p-1} \chi (k) \omega^{nmk} = \sum_{k=1}^{p-1} \chi(m)^{-1}\chi (mk) \omega^{nmk}\;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;

Utilisons le changement de variable suivant ''u'' = ''mk'', on obtient :
&lt;center&gt;&lt;math&gt; G(\chi, \psi_{nm})= \sum_{u=1}^{p-1} \chi(m)^{-1}.\chi (u) \omega^{nu}=\chi (m^{-1})\sum_{u=1}^{p-1} \chi (u) \omega^{nu}=\overline{\chi(m)} G(\chi,\psi_n) \;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
Ce qui termine la démonstration.

:* '''Si χ et ψ sont deux caractères différents du caractère constant égal à ''un'', alors l'égalité suivante est vérifiée :'''
&lt;center&gt;&lt;math&gt;G(\chi, \psi).G(\bar \chi, \psi)=\chi(- 1)p \;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;

En effet, la définition d'une somme de Gauss implique les égalités suivantes :
&lt;center&gt;&lt;math&gt;G(\chi, \psi).G(\bar \chi, \psi)=\sum_{k=1}^{p-1} \chi (k) \psi(k).\sum_{l=1}^{p-1} \overline{\chi (l)} \psi(l) = \sum_{k,l \in [1, p-1]} \chi(k\lambda_l) \psi(k)\psi(l) \;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;

Ici, λ&lt;sub&gt;l&lt;/sub&gt; désigne l'entier compris entre ''un'' et ''p'' - 1 tel que l.λ&lt;sub&gt;l&lt;/sub&gt; est congru à ''un'' modulo ''p''. Utilisons le changement de variable suivant ''u'' = ''k''.λ&lt;sub&gt;l&lt;/sub&gt;, on obtient :
&lt;center&gt;&lt;math&gt;G(\chi, \psi).G(\bar\chi, \psi)=\sum_{u=1}^{p-1} \chi (u)\sum_{l=1}^{p-1}\psi(ul) \psi (l) &lt;/math&gt;&lt;/center&gt;

On remarque que l'application qui à la classe de ''l'' associe la valeur du caractère ψ pour la classe de ''ul'' est un caractère du groupe additif ''F''&lt;sub&gt;p&lt;/sup&gt;. Si ''u'' est différent de l'unité, ce caractère est différent de ψ et donc lui est orthogonal car deux caractères distincts d'un groupe fini sont orthogonaux ''(cf [[caractère d'un groupe fini]])''. On en déduit :
&lt;center&gt;&lt;math&gt;\text{Si} \quad u \ne p-1 \quad \sum_{l = 1}^p \psi(ul) \psi (l) = 0 \quad \text{sinon} \quad \sum_{l = 1}^p \psi(-l) \psi (l) =p \;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;

On en déduit, en limitant la somme à ''p'' - 1, les égalités suivantes :
&lt;center&gt;&lt;math&gt;\text{Si} \quad u \ne p-1 \quad \sum_{l = 1}^{p-1} \psi(ul) \psi (l) = -1 \quad \text{sinon} \quad \sum_{l = 1}^{p-1} \psi(-l) \psi (l) =p-1 \;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;

Ce qui démontre l'égalité suivante :
&lt;center&gt;&lt;math&gt;G(\chi, \psi).G(\bar \chi, \psi)=\sum_{u = 1}^{p-2} -\chi (u) + (p-1)\chi(-1)&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;

De même, le caractère multiplicatif χ est orthogonal au caractère constant égal à 1, en conséquence :
&lt;center&gt;&lt;math&gt;\sum_{u = 1}^{p-1} \chi (u)= 0 \quad \text{et} \quad \sum_{u = 1}^{p-2} -\chi (u)=\chi (-1)&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;

Ce qui démontre l'égalité suivante et termine la démonstration :
&lt;center&gt;&lt;math&gt;G(\chi, \psi).G(\bar \chi, \psi)=\chi(-1)p \;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;

:* '''Si μ désigne le caractère multiplicatif égal à 1 sur les carrés de ''F''&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt;&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt; et -1 sinon, alors l'égalité suivante est vérifiée :'''
&lt;center&gt;&lt;math&gt;G(\mu, \psi_1)^2=\Big ( \frac {-1}{p} \Big ) p \;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
Comme μ est égal à son conjugué, la proposition précédente, montre que :
&lt;center&gt;&lt;math&gt;G(\mu, \psi_1)^2=G(\mu, \psi_1).G(\bar \mu, \psi_1)= \mu(-1) p =\Big ( \frac {-1}{p} \Big ) p \;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
}}

== Applications ==
=== Somme quadratique de Gauss ===
L'exemple historique, publié par Gauss en 1801 est le suivant :
:* ''Si τ&lt;sub&gt;p&lt;/sup&gt; est la somme définie à la ligne suivante, alors τ&lt;sub&gt;p&lt;/sup&gt;&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; est égal à (-1/''p'').''p''.''
&lt;center&gt;&lt;math&gt;\tau_p=\sum_{k=1}^p exp(\frac {2 \pi i k^2}p)\quad alors \quad \tau_p^2 =\Big ( \frac {-1}{p} \Big ) p\;&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;

{{boîte déroulante|align=left|titre=Démonstration|contenu=

Soit ''H'' le sous-groupe du groupe multiplicatif ''F''&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt;&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt; composé des [[résidu quadratique|résidus quadratiques]] de ''F''&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt;&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt;. Soit ''P''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; la somme des caractères de ψ&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; sur ''H'' et ''P''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; la somme des caractères de ψ&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; sur le complémentaire de ''H'' dans ''F''&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt;&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt;. L'égalité suivante est alors vérifiée :
&lt;center&gt;&lt;math&gt;P_1 + P_2 + 1 = \sum_{\bar k \in \mathbb F_p} \psi_1 (\bar k) \; &lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
Or ψ&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; est un caractère additif différent du caractère constant sur ''F''&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt;, il lui est donc orthogonal, on en déduit :
&lt;center&gt;&lt;math&gt;\sum_{\bar k \in \mathbb F_p} \psi_1 (\bar k) = 0 \quad et \quad -P_2 = P_1 + 1 \; &lt;/math&gt;&lt;/center&gt;

La valeur ''G''(μ, ψ&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;) de la dernière proposition du paragraphe précédent s'exprime de la manière suivante :
&lt;center&gt;&lt;math&gt; G(\mu, \psi_1) = P_1 - P_2 = 1 + 2 P_1\; &lt;/math&gt;&lt;/center&gt;

Enfin, l'application de ''F''&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt;&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt; dans ''H'' qui à la classe de ''x'' associe la classe de ''x''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; est une application surjective telle que toute image admet exactement deux antécédents, en conséquence :
&lt;center&gt;&lt;math&gt;\tau_p = \sum_{k=1}^p exp(\frac {2 \pi i k^2}p) = 1 + \sum_{k= 1}^{p -1} \omega^{k^2} = 1 + \sum_{\bar k \in \mathbb F_p^*} \psi (\bar k^2) = 1 + 2 \sum_{\bar h \in H} \psi (\bar h) = 1 + 2 P_1 = G(\mu, \psi_1) \; &lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
La dernière proposition du paragraphe précédent termine la démonstration.
}}

=== Loi de réciprocité quadratique ===
{{Article détaillé|Loi de réciprocité quadratique}}
La loi s'exprime de la manière suivante si ''q'' est aussi un nombre premier impair distinct de ''p'' :
&lt;center&gt;&lt;math&gt; \left(\frac{p}{q}\right) \left(\frac{q}{p}\right) = (-1)^{\frac{(p-1)(q-1)}{4}}&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
Elle se démontre à l'aide de la somme quadratique de Gauss et des propriétés des sommes.

{{boîte déroulante|align=left|titre=Démonstration|contenu=

Considérons l'anneau des [[entier algébrique|entiers algébriques]] ''Z''[ω]. Il contient τ&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt;, calculons alors τ&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt;&lt;sup&gt;q&lt;/sup&gt; [[Arithmétique modulaire|modulo]] ''q'' dans ''Z''[ω].
&lt;center&gt;&lt;math&gt;\tau_p^q=\Big (\sum_{\bar k \in \mathbb F_p^*} \mu(\bar k) \psi_1(\bar k)\Big)^q \; &lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
La [[formule du binôme de Newton]], et les diviseurs des [[coefficient binomial|coefficients binomiaux]] montrent que :
&lt;center&gt;&lt;math&gt;\tau_p^q \equiv \sum_{\bar k \in \mathbb F_p^*} \mu(\bar k)^q \psi_1(\bar k)^q \equiv \sum_{\bar k \in \mathbb F_p^*} \mu(\bar k) \psi_q(\bar k) \equiv G(\mu,\psi_q) \pmod q \; &lt;/math&gt;&lt;/center&gt;

La première proposition décrite dans les propriétés des sommes de Gauss montre que :
&lt;center&gt;&lt;math&gt;\tau_p^q \equiv G(\mu,\psi_q) \equiv \mu(q)G(\mu,\psi_1) \equiv \mu(q)\tau_p \pmod q \; &lt;/math&gt;&lt;/center&gt;

Les propriétés du symbole de Legendre montre aussi que :
&lt;center&gt;&lt;math&gt;\tau_p^q = (\tau_p^2)^{\frac {q-1}{2}}\tau_p = \left( \left( \frac {-1}{p} \right).p \right)^{\frac {q-1}{2}}\tau_p = \left( (-1)^{\frac {p-1}{2}}p\right)^{\frac {q-1}{2}}\tau_p = (-1)^{\frac{(p-1)(q-1)}{4}}p^{\frac {q-1}{2}}\tau_p \; &lt;/math&gt;&lt;/center&gt;

On en déduit l'égalité :
&lt;center&gt;&lt;math&gt;\mu(q)\tau_p \equiv (-1)^{\frac{(p-1)(q-1)}{4}}p^{\frac {q-1}{2}}\tau_p \pmod q \; &lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
En multipliant par τ&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt; les deux termes de l'égalité et en divisant par ''p'', on obtient :
&lt;center&gt;&lt;math&gt;\left( \frac qp \right) \equiv (-1)^{\frac{(p-1)(q-1)}{4}}p^{\frac {q-1}{2}} \equiv (-1)^{\frac{(p-1)(q-1)}{4}}\left( \frac pq \right) \pmod q \; &lt;/math&gt;&lt;/center&gt;

On remarque alors que l'égalité précédente est un produit de facteurs égaux à 1 ou -1, l'égalité précédente est donc aussi une égalité dans ''Z''/q''Z'' et aussi dans ''Z'', on en déduit :
&lt;center&gt;&lt;math&gt; \left(\frac{p}{q}\right) \left(\frac{q}{p}\right) = (-1)^{\frac{(p-1)(q-1)}{4}}&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
Ce qui termine la démonstration.
}}

==Notes et références==
===Liens externes===
* {{fr}} [http://www-lipn.univ-paris13.fr/~banderier/Recipro/node27.html Lemme sur la somme de Gauss] par C. Banderier de l'Université de Paris XIII 1998 
* {{fr}} [http://abdellah.bechata.free.fr/telechargement/harmonique/finis_commutatifs/pdf/fourier_groupe_fini.pdf Analyse harmonique sur les groupes finis commutatifs] par A. Bechata
* {{fr}} [http://www.ufr-mi.u-bordeaux.fr/CSI/Cours/mathdis.pdf Mathématiques discrètes de la transformée de Fourier] C. Bachoc Université de Bordeaux I
* {{fr}} [http://perso.univ-rennes1.fr/laurent.moret-bailly/docpedag/polys/tano04.pdf Cours de maîtrise de mathématiques : Théorie algébrique des nombres] par B. Edixhoven et L. Moret-Bailly de l'Université de Rennes 1 2004

===Références===
* Michel Demazure ''Cours d'algèbre. Primalité, divisibilité, codes'' Cassini 1997
* {{Serre1}}
* A. Warusfel ''Structures algébriques finies'' Hachette 1971
* G. Peyré ''L'algèbre discrète de la transformée de Fourier'' Ellipses Marketing 2004

{{portail mathématiques}}

[[Catégorie:Analyse harmonique discrète]]
[[Catégorie:Caractère de Dirichlet]]

[[en:Gauss sum]]
[[hu:Gauss-összeg]]
[[zh:高斯和]]</text>
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