Soustraction 101575 30718441 2008-06-17T07:41:43Z CarsracBot 400947 robot Modifie: [[nl:Aftrekken (wiskunde)]] La '''soustraction''' est l'une des opérations basiques de l'[[arithmétique]]. La soustraction combine deux ou plusieurs grandeurs du même type, appelées ''opérandes'', pour donner un seul nombre, appelé la ''différence''. :Soustraire signifie diminuer en comptant. :Soustraire b de a (calculer a − b) c'est trouver le nombre qui ''complèterait'' b pour donner a, c'est-à-dire le nombre d tel que b + d = a Le signe de soustraction est le symbole « − ». Par exemple : on lit 3 − 2 = 1 comme « trois moins deux font un ». ==Définition générale== Soit ( '''G''' , + ) un [[Groupe abélien|groupe additif]]. On définit une nouvelle [[loi de composition interne]] dans '''G''', appelée &nbsp;« soustraction » et notée &nbsp;« '''−''' » &nbsp;par &nbsp;''':''' *'''x''' '''−''' '''y''' = '''x''' + ( − '''y''' ) La soustraction est [[anticommutativité|anticommutative]] '''.''' ==Cas particulier des nombres== Ici nous travaillons dans ( <math>\mathbb Z</math> , + ) , &nbsp;le groupe additif des [[nombre entier|nombres entiers relatifs]] '''.'''<br /><br /> Formellement, la soustraction est une ''loi de composition interne'' sur un ensemble, notée - à condition toutefois que la soustraction soit toujours définie ( ce qui n'est, par exemple, pas le cas dans l'ensemble des entiers naturels <math>\mathbb N</math> ). Cette loi de composition interne (quand elle existe) n'est cependant pas très intéressante car * elle n'est pas commutative. En effet a − b et b − a sont en général différents * elle n'est pas associative. En effet (a − b) − c et a − (b − c) sont en général différents * elle ne possède pas d'[[élément neutre]]. En effet, le seul élément neutre possible serait 0 et on a bien ::a − 0 = a, mais en général ::0 − a est différent de a. C'est la raison pour laquelle on préfère considérer une soustraction comme l'ajout (somme) de l'opposé à condition évidemment que cet opposé existe ( ce n'est pas toujours le cas dans <math>\mathbb N</math> ). :L'opposé de a est le nombre noté (−a) qui, ajouté à a, donne 0 : a + (−a) = 0 :a − b peut alors s'écrire a + (−b) Lorsqu’elle est appliquée sur une série comme en [[algorithmique]] c’est un ''décrément''. == Voir aussi == {{Opérations binaires}} * [[Soustraction fiscale]] {{Portail mathématiques}} [[Catégorie:Arithmétique élémentaire]] [[Catégorie:Algèbre]] [[Catégorie:Opération]] [[ar:طرح]] [[ay:Jakhuqawi]] [[be:Адніманне]] [[bg:Изваждане]] [[br:Lamadur]] [[ca:Resta]] [[cs:Odčítání]] [[da:Subtraktion]] [[de:Subtraktion]] [[el:Αφαίρεση]] [[en:Subtraction]] [[eo:Operacioj per nombroj]] [[es:Resta]] [[eu:Kenketa]] [[fa:تفریق]] [[fi:Vähennyslasku]] [[gd:Toirt air falbh]] [[id:Pengurangan]] [[is:Frádráttur]] [[it:Sottrazione]] [[ja:減法]] [[ko:뺄셈]] [[la:Subtractio]] [[lt:Atimtis]] [[nl:Aftrekken (wiskunde)]] [[no:Subtraksjon]] [[nov:Subtraktione]] [[pl:Odejmowanie]] [[pt:Subtração]] [[qu:Qichuy]] [[ru:Вычитание]] [[simple:Subtraction]] [[sl:Odštevanje]] [[sv:Subtraktion]] [[ta:கழித்தல் (கணிதம்)]] [[th:การลบ]] [[tl:Pagbabawas]] [[tr:Çıkarma]] [[ur:تفریق (ریاضی)]] [[yi:אראפנעם]] [[zh:減法]]