Soustraction
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2008-06-17T07:41:43Z
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La '''soustraction''' est l'une des opérations basiques de l'[[arithmétique]]. La soustraction combine deux ou plusieurs grandeurs du même type, appelées ''opérandes'', pour donner un seul nombre, appelé la ''différence''.
:Soustraire signifie diminuer en comptant.
:Soustraire b de a (calculer a − b) c'est trouver le nombre qui ''complèterait'' b pour donner a, c'est-à-dire le nombre d tel que b + d = a
Le signe de soustraction est le symbole « − ». Par exemple : on lit 3 − 2 = 1 comme « trois moins deux font un ».
==Définition générale==
Soit ( '''G''' , + ) un [[Groupe abélien|groupe additif]]. On définit une nouvelle [[loi de composition interne]] dans '''G''', appelée « soustraction » et notée « '''−''' » par ''':'''
*'''x''' '''−''' '''y''' = '''x''' + ( − '''y''' )
La soustraction est [[anticommutativité|anticommutative]] '''.'''
==Cas particulier des nombres==
Ici nous travaillons dans ( <math>\mathbb Z</math> , + ) , le groupe additif des [[nombre entier|nombres entiers relatifs]] '''.'''<br /><br />
Formellement, la soustraction est une ''loi de composition interne'' sur un ensemble, notée - à condition toutefois que la soustraction soit toujours définie ( ce qui n'est, par exemple, pas le cas dans l'ensemble des entiers naturels <math>\mathbb N</math> ).
Cette loi de composition interne (quand elle existe) n'est cependant pas très intéressante car
* elle n'est pas commutative. En effet a − b et b − a sont en général différents
* elle n'est pas associative. En effet (a − b) − c et a − (b − c) sont en général différents
* elle ne possède pas d'[[élément neutre]]. En effet, le seul élément neutre possible serait 0 et on a bien
::a − 0 = a, mais en général
::0 − a est différent de a.
C'est la raison pour laquelle on préfère considérer une soustraction comme l'ajout (somme) de l'opposé à condition évidemment que cet opposé existe ( ce n'est pas toujours le cas dans <math>\mathbb N</math> ).
:L'opposé de a est le nombre noté (−a) qui, ajouté à a, donne 0 : a + (−a) = 0
:a − b peut alors s'écrire a + (−b)
Lorsqu’elle est appliquée sur une série comme en [[algorithmique]] c’est un ''décrément''.
== Voir aussi ==
{{Opérations binaires}}
* [[Soustraction fiscale]]
{{Portail mathématiques}}
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