Sphère
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2008-07-15T06:56:49Z
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{{ébauche|géométrie}}
{{Voir homonymes}}
[[Image:Sphere.jpg|thumb|200px|right|Une sphère dans un espace euclidien]]
Une '''sphère''' est une surface à deux dimensions, plongée dans l'espace à trois dimensions, dont tous les points sont situés à une même distance d'un point appelé '''centre'''. La valeur de cette distance commune au centre est appelée le '''[[rayon (géométrie)|rayon]]''' de la sphère. Elle n'inclut donc pas les points situés à une distance inférieure au rayon, au contraire de la [[boule (solide)|boule]]. Concrètement, on peut voir une sphère comme une coquille vide infiniment mince.
Une sphère approximative est appelée '''géosphère''' en référence à la [[Terre]] dont la surface n'est pas une sphère parfaite. Ce terme est fréquemment utilisé en [[astrophysique]] et parfois en [[architecture]].
Dans un [[espace euclidien]], il s'agit du ''ballon'' que tout le monde associe au terme de sphère. Dans un espace non-euclidien ou dans le cas de la définition d'une [[distance]] non euclidienne, la forme peut être plus complexe.
Une sphère peut aussi être définie comme la surface formée par la [[rotation]], dans l'espace à trois dimensions, d'un [[cercle]] autour de son [[diamètre]]. Si le cercle est remplacé par une [[ellipse (mathématiques)|ellipse]], on obtient un [[sphéroïde]].
== Représentation ==
En [[géométrie]] cartésienne, une sphère de centre (''x''<sub>0</sub>, ''y''<sub>0</sub>, ''z''<sub>0</sub>) et de rayon ''r'' est l'ensemble des points (''x'', ''y'', ''z'') tels que :
:<math>\displaystyle (x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2 = r^2</math>.
Les points de la sphère de rayon ''r'' et de centre l'origine du repère peuvent être paramétrés par :
:<math>
\left\{
\begin{matrix}
x & = & r \cos\theta \; \cos\phi \\
y & = & r \cos\theta \; \sin\phi \\
z & = & r \sin\theta
\end{matrix}
\right.
\qquad (\frac{-\pi}{2} \le\theta\le \frac{\pi}{2} \mbox{ et } -\pi \le \phi \le \pi)
</math>
On peut voir <math>\theta\,</math> comme la latitude et <math>\phi\,</math> comme la longitude. (Voir [[fonction trigonométrique|fonctions trigonométriques]] et [[coordonnées sphériques]].)
== Formules ==
La [[surface|surface]] d'une sphère de rayon <math>r</math> est :
:<math>S=4 \pi r^{2} \,</math>
Le [[volume]] qu'elle renferme est :
:<math>V= \frac{4 \pi r^{3}}{3}</math>
Sa [[compacité (mathématiques)|compacité]] est de :
:<math>C= \frac{S}{V}= \frac {3}{r}</math>
Le [[moment d'inertie]] d'une sphère homogène '''pleine''' de rayon <math>R</math>, de masse volumique <math>\rho</math>, de masse M par rapport à un axe passant par son centre est:
:<math>
I=\frac{2 M R^2}{5}=\frac{8 \pi \rho R^5}{15}
</math>
Le [[moment d'inertie]] d'une sphère homogène '''vide''' de rayon <math>R</math>, de masse M par rapport à un axe passant par son centre est:
:<math>
I=\frac{2 M R^2}{3}=\frac{8 \pi \rho R^5}{9}
</math>
L'élément d'aire de la sphère de rayon <math>r\,</math> dans les coordonnées latitude-longitude est <math>d\sigma=r^2\cos\theta d\theta d\phi\,</math>.
On en déduit que l'aire d'un fuseau (portion limitée par deux demi-cercles joignant les pôles et faisant un angle <math>\alpha\,</math> exprimé en [[radian|radians]] est <math> 2\alpha r^2\,</math>.
Cela permet aussi de calculer l'aire d'une '''calotte sphérique''' (on dit aussi '''segment de sphère'''), c’est-à-dire d'une portion de sphère limitée par deux plans parallèles de distance <math>h\,</math> l'un pouvant être tangent à la sphère. On trouve <math>2\pi rh\,</math> : l'aire est la même que
celle d'un cylindre circulaire de même hauteur tangent à la sphère (cylindre circonscrit). Ce résultat remarquable était connu d'[[Archimède]], qui aurait demandé qu'il soit mentionné sur son tombeau.
Le [[cylindre]] circonscrit à une sphère donnée a un volume égal à 3/2 fois le volume de la sphère.
La sphère a la plus petite aire parmi les surfaces renfermant un volume donné et renferme le volume le plus élevé parmi les surfaces d'une aire donnée. Pour cette raison, la sphère apparaît dans la nature, par exemple les bulles et gouttes d'eau (en l'absence de [[gravité]]) sont des sphères car la [[tension superficielle]] essaie de minimiser l'aire.
== Patron ==
On peut démontrer qu'il n'existe pas de [[patron (géométrie)|patron]] de la sphère.
==Géneralisation aux autres dimensions==
On peut généraliser le concept de sphère à un espace de [[dimension]] quelconque dans ''N''.
Pour tout [[entier naturel]] ''n'', une '''''n''-sphere''', notée '''''S''<sup>''n''</sup>''', est l'ensemble des points de l'espace euclidien à (''n''+1) dimensions qui sont à distance fixée ''r'' d'un point de cet espace (''r'' est un réel strictement positif). Par exemple :
* une 0-sphère est la paire des points extrémités de l'intervalle (−''r'', ''r'') de la ligne réelle,
* une 1-sphère est un [[cercle]] de rayon ''r''
* une 2-sphère est une sphère ordinaire
Les sphères en dimension ''n'' > 2 sont parfois appelées [[hypersphère]]s.
L'aire d'une (''n''−1)-sphère de rayon 1 est
:<math>2 \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(n/2)}</math>
où Γ(''z'') est la [[fonction Gamma]] d'Euler.
Une autre formule pour la surface est
:<math>
\begin{cases}
\displaystyle \frac{(2\pi)^{n/2}\,r^{n-1}}{2 \cdot 4 \cdots (n-2)} , & \text{if } n \text{ est pair}; \\ \\
\displaystyle \frac{2(2\pi)^{(n-1)/2}\,r^{n-1}}{1 \cdot 3 \cdots (n-2)} , & \text{if } n \text{ est impair}.
\end{cases}
</math>
et le volume intérieur est l'aire multipliée par <math>{r \over n}</math> ou
:<math>
\begin{cases}
\displaystyle \frac{(2\pi)^{n/2}\,r^n}{2 \cdot 4 \cdots n} , & \text{if } n \text{ est pair}; \\ \\
\displaystyle \frac{2(2\pi)^{(n-1)/2}\,r^n}{1 \cdot 3 \cdots n} , & \text{if } n \text{ est impair}.
\end{cases}
</math>
== Voir aussi ==
* D. Hilbert et S. Cohn-Vossen, ''Geometry and imagination'', Chelsea 1952
* B. Berger, ''Géométrie'' (ch. 18), Nathan 1990, ISBN 209 191 730-3
=== Articles connexes ===
* [[Géode]]
*[[Orthodromie]]
*[[Géométrie sphérique]]
*[[Hypersphère]]
=== Liens externes ===
* A. Javary, ''Traité de géométrie descriptive'', 1881, (sur [[Gallica]]) : ''[http://gallica.bnf.fr/Catalogue/noticesInd/FRBNF37251169.htm Cônes et cylindres, sphère et surfaces du second degré]''
* {{fr}} [http://giik.net/cheminlepluscourt/sphere.php Le chemin le plus court sur la sphère]
{{Solides}}
{{portail mathématiques}}
[[Catégorie:Surface|Sphere]]
[[Catégorie:Cercle et sphère]]
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