Statistique de Maxwell-Boltzmann 223908 30102234 2008-05-29T06:51:41Z 131.113.77.93 {{quantique}} La '''statistique de Maxwell-Boltzmann''' est une [[loi de probabilité]] ou distribution utilisée en [[physique statistique]] pour déterminer la répartition des [[Particule (physique)|particule]]s entre différents niveaux d'[[énergie]]. Elle est notamment à la base de la [[théorie cinétique des gaz]]. == Énoncé == === Formulation discrète === On se donne un système de ''N'' particules n'[[Force (physique)|interagissant]] pas entre elles et pouvant prendre les différents états d'énergie discrets ''E<sub>i</sub>''. Le nombre ''N<sub>i</sub>'' de particules dans un état d'énergie donné ''E<sub>i</sub>'' est : :<math> N_i = N \frac{ g_i \exp ( - E_i / k_{B}T ) } { \sum_{j} g_j \exp ( - E_j / k_{B}T ) } \,</math> où *''g<sub>i</sub>'' est la dégénérescence de l'état d'énergie ''E<sub>i</sub>'', c'est-à-dire le nombre d'états possédant l'énergie <math>E_i</math> ; *''k<sub>B</sub>'', la [[constante de Boltzmann]] ; *''T'', la [[température]]. === Formulation continue === On considère un système de ''N'' particules sans interaction entre elles et pouvant prendre continûment tout état d'énergie entre zéro et l'infini. Le nombre d''N<sub>i</sub>'' de particules possédant une énergie entre ''E'' et ''E+''d''E'' est : :<math>\mathrm{d}N_i = N \frac {g(E)\exp\left(-E/k_{B}T\right)} {\int g(\varepsilon)\exp\left(-\varepsilon/k_{B}T\right) \mathrm{d}\varepsilon} \, \mathrm{d}E</math>, où ''g(E)'' est le nombre d'états d'énergie comprise entre ''E'' et ''E+''d''E''. == Limitations == La statistique de Maxwell-Boltzmann a été bâtie en supposant l'absence d'interaction entre les particules concernées : elle n'est donc valable en toute rigueur que pour un [[gaz parfait]] classique. Elle est toutefois utilisable aussi comme approximation du comportement d'un gaz réel quand il est possible de négliger les interactions entre ses particules, mais ne peut s'appliquer, par exemple, à aucun [[liquide]]. De plus, cette statistique est construite dans le cadre de la mécanique classique; elle ne s'applique donc que lorsque les effets [[quantique]]s sont négligeables, par exemple à des températures suffisamment hautes. À basse température, elle doit être remplacée par la [[statistique de Bose-Einstein]] pour les [[boson]]s et la [[statistique de Fermi-Dirac]] pour les [[fermion]]s. Pour comparer ces trois statistiques, il est utile de reformuler la statistique de Maxwell-Boltzmann en posant : :<math> \exp ( - \mu / k_{B}T ) = { \sum_{j} g_j \exp ( - E_j / k_{B}T ) } \,</math> d'où : :<math> n_i = \frac{N_i} {N} = \frac{ g_i \exp ( - E_i / k_{B}T ) } { \exp ( - \mu / k_{B}T ) } = \frac{g_i} { \exp ( \frac{ E_i - \mu } {k_{B}T} ) } \,</math> == Applications == === Biophysique === En [[neurosciences]], on décrit souvent les mécanismes d'ouverture et de fermeture des [[canal ionique|Canaux ioniques]] par une fonction de Boltzmann simplifiée quand ceux-ci sont dépendants du potentiel de membrane. La formule utilisée est alors: :<math>\frac{G(V)}{G_{max}}=\frac{1}{1+e^{\frac{V-V_{1/2}}{k_{B}}}}</math> , où *V est le [[potentiel de repos|potentiel de membrane]], *G(V) est la [[conductivité électrique|conductance]] ionique associée aux canaux, dépendante du potentiel de membrane, *G<sub>max</sub> est la conductance maximale, *[[Demi-potentiel d'activation|V<sub>1/2 </sub>]] est le potentiel de membrane pour lequel la moitié des canaux sont ouverts, *k est la dépendance de l'ouverture des canaux par rapport au changement de potentiel, décrit dans la littérature comme étant la "constante de pente". La fonction de Boltzmann est ici utilisée pour décrire les résultats expérimentaux issus de la mesure [[patch-clamp|en potentiel imposé]] des courants de membrane, et ainsi determiner les propriétés des différentes catégories de courants membranaires. Les paramètres V<sub>1/2</sub> et k sont determinants pour la modélisation informatique des propriétés électriques d'une cellule nerveuse. == Voir également == * Généralisation en [[physique quantique]] ** [[Statistique de Bose-Einstein]] ** [[Statistique de Fermi-Dirac]] * [[Physique statistique]] ** [[Théorie cinétique des gaz]] * [[Biophysique des canaux ioniques]] * [[Électrophysiologie]] {{Portail physique}} [[Catégorie:Physique statistique]] [[de:Maxwell-Boltzmann-Verteilung]] [[en:Maxwell-Boltzmann distribution]] [[es:Estadística de Maxwell-Boltzmann]] [[he:התפלגות מקסוול בולצמן]] [[ja:マクスウェル分布]] [[nl:Maxwell-Boltzmann-verdeling]] [[pl:Rozkład Maxwella-Boltzmanna]] [[ru:Распределение Максвелла]] [[sl:Boltzmannova porazdelitev]] [[zh:麦克斯韦-玻尔兹曼统计]]