Structure (mathématiques)
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2008-02-15T01:11:48Z
Loveless
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transition vers le nouveau systeme de bandeaux; changement de type cosmétique
{{Ébauche|mathématiques}}
En [[mathématiques]], une '''structure''' désigne une théorie « plus forte » que la [[théorie des ensembles]], c'est-à-dire une théorie qui en contient tous les [[axiome]]s, signes et règles.
C'est donc une théorie « fondée » sur la théorie des ensembles, mais contenant également des contraintes supplémentaires, qui lui sont propres, et qui permettent également de définir de nouvelles structures incluses en elle. Cette notion est ainsi une puissante contribution à l'hypothèse selon laquelle la théorie des ensembles fournit le [[Fondements des mathématiques|fondement des mathématiques]].
Ce terme est à l'origine de ce que l'on a appelé le '''structuralisme mathématique'''.
= Histoire de la structure =
== Les structures avant Bourbaki ==
En [[histoire des mathématiques]], quelque moderne et innovatrice que soit une notion nouvelle, il arrive fréquemment que l'on en observe rétrospectivement des traces jusque dans l'[[Antiquité]]. Ainsi, le calcul différentiel et intégral, inventé au XVIIè siècle par [[Leibniz]] et [[Newton]], a déjà été utilisé de manière embryonnaire et naïve chez [[Eudoxe]] et [[Archimède]]. Il en va de même avec l'invention de la notion de structure mathématique : son utilisation a précédé sa première formulation explicite. Il est par conséquent aussi aisé de repérer dans l'histoire des mathématiques les premiers auteurs définissant et commentant la notion de structure, que difficile de retrouver les premiers à l'avoir utilisée sans l'expliciter.
En [[arithmétique modulaire]], l'idée de structure apparaît vraiment avec l'approche de [[Carl Friedrich Gauss]] dans les ''Disquisitiones arithmeticæ'' (1801). Il étudie les restes de la division euclidienne sous un angle structurel ; c'est ainsi l'une des origines de la [[théorie des groupes]].
En [[Théorie de Galois]], l'approche est essentiellement structurelle pour Galois à travers les symétries, chez [[Camille Jordan]] à travers la théorie des groupes, chez [[Kronecker]] à travers la théorie des [[corps (mathématiques)|corps]].
En [[Algèbre linéaire]], l'idée de structure apparaît deux fois : en géométrie euclidienne, une approche axiomatique se fait finalement ressentir pour devenir obligatoire (cf. [[Axiomes de Hilbert]]) ; puis avec les tentatives de formalisations des [[espace vectoriel|espaces vectoriels]] par [[Grassmann]] ou [[Peano]], et enfin chez [[Banach]] et [[Bourbaki]].
== Les structures chez Bourbaki ==
C'est [[Nicolas Bourbaki]] qui a développé pour la première fois la théorie des structures de manière explicite et rigoureuse dans ses ''[[Éléments de mathématique]]''.
=== Structure et axiomatique ===
La notion de structure dérive de la méthode [[axiomatique]] adoptée par Bourbaki. Cette axiomatique permet de mettre au jour une unité profonde entre diverses branches des mathématiques, considérées comme distinctes dans la classification traditionnelle des disciplines mathématiques ([[arithmétique]], [[algèbre]], [[analyse]], [[géométrie]]) :
: « nous croyons que l'évolution interne de la science mathématique a, malgré les apparences, resserré plus que jamais l'unité de ses diverses parties, et y a créé une sorte de noyau central plus cohérent qu'il n'a jamais été. L'essentiel de cette évolution a consisté en une systématisation des relations existant entre les diverses théories mathématiques, et se résume en une tendance qui est généralement connue sous le nom de « méthode axiomatique<ref>''L'Architecture des mathématiques'', p. 37.</ref> ». »
Ces noyaux constitutifs des branches des mathématiques sont les structures mêmes :
:« la méthode axiomatique permet, lorsqu'on a affaire à des êtres mathématiques complexes, d'en dissocier les propriétés et de les regrouper autour d'un petit nombre de notions, c'est-à-dire, pour employer un mot qui sera défini plus loin avec précision [au chapitre 4 du livre I], de les classer suivant les ''structures'' auxquelles elles appartiennent (une même structure pouvant intervenir, bien entendu, à propos d'êtres mathématiques divers) ; c'est ainsi que, parmi les propriétés de la [[sphère]], les unes sont [[topologie|topologiques]], d'autres sont [[algèbre|algébriques]], d'autres encore peuvent être considérées comme relevant de la [[géométrie différentielle]] ou de la théorie des [[groupe de Lie]]<ref>''[[Éléments de mathématique]]'', I : Théorie des ensembles, Introduction, p. 7</ref>. »
=== Mise au jour et définition des structures ===
Voici comment Bourbaki décrit la méthode de mise au jour des structures dans l'article ''L'Architecture des mathématiques'' :
: « Sous quelle forme va se faire cette opération ? C'est ici que l'axiomatique va se rapprocher le plus de la méthode expérimentale. Puisant comme elle à la source [[René Descartes|cartésienne]], elle « divisera les difficultés pour les mieux résoudre » : dans les démonstrations d'une théorie, elle cherchera à ''dissocier'' les ressorts principaux des raisonnements qui y figurent ; puis, prenant chacun d'entre eux ''isolément'', et le posant en principe abstrait, elle déroulera les conséquences qui lui sont propres ; enfin, revenant à la théorie étudiée, elle en ''combinera'' de nouveau les éléments constitutifs précédemment dégagés, et étudiera comment ils réagissent les uns sur les autres<ref>''L'Architecture des mathématiques'', p. 38.</ref>. »
S'appuyant sur un exemple historiquement significatif, la définition du [[théorie des groupes|groupe]], première structure jamais dégagée, Bourbaki conclut par une définition globale de la structure :
: « On peut maintenant faire comprendre ce qu'il faut entendre, d'une façon générale, par une ''structure mathématique''. Le trait commun des diverses notions désignées sous ce nom générique, est qu'elles s'appliquent à des [[ensemble]]s d'éléments dont la nature ''n'est pas spécifiée'' ; pour définir une structure, on se donne une ou plusieurs relations, où interviennent ces éléments [...] ; on postule ensuite que la ou les relations données satisfont à certaines conditions (qu'on énumère) et qui sont les ''axiomes'' de la structure envisagée. Faire la théorie axiomatique d'une structure donnée, c'est déduire les conséquences logiques des axiomes de la structure, ''en s'interdisant toute autre hypothèse'' sur les éléments considérés (en particulier, toute hypothèse sur leur « nature » propre)<ref>''L'Architecture des mathématiques'', p. 40-41.</ref>. »
En note, Bourbaki observe : « Dans cette nouvelle conception, les structures mathématiques deviennent, à proprement parler, ''les seuls « objets »'' de la mathématique<ref>''L'Architecture des mathématiques'', p. 40, note 2.</ref>. » Bourbaki distingue ainsi principalement trois types de structures, les « structures-mères<ref>''L'Architecture des mathématiques'', p. 43.</ref> » : la [[structure algébrique]], dont les relations sont des [[loi de composition|lois de composition]], la [[Relation d'ordre|structure d'ordre]], et la [[structure topologique]].
=== Une nouvelle classification des disciplines mathématiques ===
La classification structurale a pour conséquence de remettre en question la classification traditionnelle des mathématiques :
:« Au lieu des compartiments bien délimités de l'[[Algèbre]], de l'[[Analyse (mathématiques)|Analyse]], de la [[théorie des nombres|Théorie des Nombres]] et de la [[Géométrie]], nous verrons, par exemple, la théorie des nombres premiers voisiner avec celle des [[courbe algébrique|courbes algébriques]], ou la géométrie [[Euclide|euclidienne]] avec les [[équation intégrale|équations intégrales]] ; et le principe ordonnateur sera la conception d'une ''hiérarchie de structures'', allant du simple au complexe, du général au particulier<ref>''L'Architecture des mathématiques'', p. 43.</ref>. »
Les structures-mères peuvent recevoir des axiomes supplémentaires ; selon les exemples de Bourbaki, on peut ainsi concevoir, pour cas particuliers de la structure algébrique de [[groupe (mathématiques)|groupe]], les [[groupe fini|groupes finis]], les [[groupe abélien|groupes abéliens]], et les [[groupe abélien fini|groupes abéliens finis]] ; pour la structure d'ordre, la structure d'[[ensemble totalement ordonné]], et dans cette dernière celle d'[[ensemble bien ordonné]].
En outre, on peut définir des « structures [...] multiples<ref>''L'Architecture des mathématiques'', p. 44.</ref> », combinant d'autres structures : [[algèbre topologique]], [[topologie algébrique]], la combinaison des structures d'ordre et des structures algébriques, etc. Les « théories particulières » — analyse, géométrie, théorie des nombres, etc — constituent ainsi des subdivisions de ces grandes structures :
: « elles sont perdu leur autonomie d'autrefois, et sont maintenant des carrefours où viennent se croiser et agir les unes sur les autres de nombreuses structures mathématiques plus générales<ref>''L'Architecture des mathématiques'', p. 44.</ref>. »
=== Nuances chez Bourbaki ===
Tout d'abord, on ne saurait toutefois suspecter Bourbaki d'« hypostasier » les structures, car le collectif de mathématiciens est conscient que cette notion correspond seulement à une méthode d'exposition, sans engager pour autant la « nature profonde » des mathématiques. Il reconnaît ainsi le caractère « '''artificiel''' [de] ce principe de classification dès que s'enchevêtrent les structures<ref>''[[Éléments de mathématique]]'', I : Théorie des ensembles, Introduction, p. 7</ref> », et ne l'utilise que comme un moyen d'exposition.
En outre, dans l'article ''L'Architecture des mathématiques'', Bourbaki avoue trois inconvénients de cette théorie des structures : « elle est à la fois ''schématique'', ''idéalisée'' et ''figée''<ref>''L'Architecture des mathématiques'', p. 44.</ref>. » '''Schématique''', car dans le détail il existe « d'inattendus retours en arrière<ref>''L'Architecture des mathématiques'', p. 44.</ref> », comme l'intervention des [[nombre réel|nombres réels]] pour fonder la [[topologie]]. '''Idéalisée''', car « dans certaines théories (par exemple en Théorie des Nombres), il subsiste de très nombreux résultats isolés qu'on ne sait jusqu'ici classer ni relier de façon satisfaisante à des structures connues<ref>''L'Architecture des mathématiques'', p. 45.</ref> » Et '''figée''', car les structures ne sont pas « immuables », et peuvent se prêter à des inventions ou reformulations futures<ref>''L'Architecture des mathématiques'', p. 45.</ref>.
Les précautions dont fait preuve Bourbaki montrent qu'il ne saurait être accusé d'avoir essayé de « geler » ou de rigidifier la recherche mathématique, comme on le lui a parfois reproché.
= Liste de structures =
Les principales structures sont :
* des [[structure algébrique|structures algébriques]], parfois définies comme [[produit cartésien]] de deux ensembles non nécessairement distincts : [[groupe (mathématiques)|groupe]], [[anneau (mathématiques)|anneau]], [[corps (mathématiques)|corps]], [[espace vectoriel]]...
* des [[structure d'ordre|structures d'ordre]] ;
* des [[structure topologique|structures topologiques]] ;
* etc.
= Influence hors des mathématiques =
== Sciences humaines ==
Le structuralisme mathématique a influencé des chercheurs en sciences humaines du mouvement [[structuralisme|structuraliste]], à commencer par son initiateur, l'[[anthropologie|anthropologue]] [[Claude Lévi-Strauss]] ; celui-ci a d'ailleurs travaillé avec le mathématicien [[André Weil]], membre de Bourbaki, lors de ses recherches pour ''Les Structures élémentaires de la parenté'' (chapitre XIV).
== Philosophie ==
Dans la ''Philosophie de l'algèbre'', en particulier en conclusion, [[Jules Vuillemin]] a également proposé de réviser la pratique philosophique en suivant le modèle de l'algèbre, qui au cours de son histoire s'est abstraite de problèmes concrets vers l'étude de structures abstraites. Parmi les dédicataires de cet ouvrage figure [[Pierre Samuel]], qui manifestement aida Vuillemin dans la rédaction du livre<ref>''La Philosophie de l'algèbre'', Première partie, chapitre 4, §31, p. 277, note 1.</ref>, et fut un membre de Bourbaki.
= En logique mathématique =
En [[logique mathématique]], et plus précisément en [[théorie des modèles]], la notion de [[structure (logique mathématique)|structure]] intervient en un sens proche de celle de '''modèle'''.
= Notes =
<references/>
= Bibliographie =
* [[Nicolas Bourbaki]], ''[[Éléments de mathématique]]''
* [[Nicolas Bourbaki]], « L'Architecture des mathématiques », in [[François Le Lionnais]], ''Les grands courants de la pensée mathématique'', Paris, Hermann, coll. Histoire de la pensée, 1948, rééd. 1997, p. 35-47 (principalement p. 40-41).
* [[Nicolas Bourbaki]], ''Éléments d'histoire des mathématiques'', p. 34 sq.
* Maurice Mashaal, ''Bourbaki. Une société secrète de mathématiciens'', p. 84 sq.
* Giorgio Odifreddi, ''Les Mathématiques à l'aube du XXIè siècle'', Paris, Belin, coll. Regards sur la science, 2004, p. 22-24.
{{Portail mathématiques}}
[[Catégorie:Structure algébrique]]
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