Structure fine
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2008-06-20T21:19:07Z
DumZiBoT
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robot Ajoute: [[it:Struttura fine]]
{{spectre de l'atome d'hydrogène}}
[[Image:Fine structure of Ly-alpha.svg|thumb|right|Structure fine de l'[[hydrogène]] : influence de la levée partielle de la [[dégénérescence (physique)|dégénérescence]] du [[niveau d'énergie]] ''n'' = 2 sur la raie [[Série de Lyman|Lyman]]-α.]]
La '''structure fine''' de la raie [[raie spectrale]] d'un [[atome]] correspond à sa séparation en plusieurs composantes de [[fréquence]]s très proches, détectables par un [[spectroscope]] de bonne [[pouvoir de résolution|résolution]].
Cette structure s'explique dans le cadre de la [[physique quantique]]. Elle est due à la levée partielle de la [[dégénérescence (physique)|dégénérescence]] d'un [[niveau d'énergie]] du [[modèle de Bohr]] en raison de trois corrections :
* le couplage du [[moment magnétique de spin]] de l'[[électron]] avec le [[champ magnétique]] généré par son mouvement ([[Moment magnétique de spin#Rappels sur le moment magnétique orbital|moment magnétique orbital]]) ;
* la prise en compte du mouvement [[relativité restreinte|relativiste]] de l'électron ;
* l'effet de la ''[[zitterbewegung]]'' de l'électron, qui fait que celui-ci ressent le champ électrique nucléaire moyen sur une région, et non de manière ponctuelle.
La découverte de la structure fine de l'[[hydrogène]] atomique a valu le [[prix Nobel de physique]] à [[Willis Eugene Lamb]] en [[1955]].
==Correction relativiste==
Dans le cas faiblement relativiste, le [[hamiltonien]] s'écrit<ref>La formule peut s'obtenir empiriquement en développant au premier ordre l'énergie cinétique donnée par la Relativité restreinte ''E'' = [''p''{{exp|2}}''c''{{exp|2}} + ''m''{{exp|2}}''c''{{exp|4}}]{{exp|1/2}} − ''mc''{{exp|2}}. Une dérivation cohérente dans le cadre de la physique quantique se fait à partir de l'[[équation de Dirac]].</ref>
:<math>H = \frac{p^2}{2m} - \frac{p^4}{8m^3c^2}</math>.
En partant du hamiltonien de la solution non-relativiste ''H{{ind|0}}'' d'états propres <math>\psi_{nlm_l}</math> d'énergie ''E{{ind|n}}'',
:<math>H = H_0 - \frac{1}{2mc^2} (H_0-V)^2</math>,
où ''V'' représente le potentiel, la [[théorie des perturbations]] permet d'écrire :
:<math>\Delta E^\mathrm{rel}_{nlm_l} = -\frac{1}{8mc^2} \left\langle \psi_{nlm_l} | (H_0-V)^2 | \psi_{nlm_l} \right\rangle </math>.
Ainsi :
:<math>\Delta E^\mathrm{rel}_{nlm_l} = -\frac{1}{8mc^2} \left( E_{n}^2 - 2E_{n} \langle\psi_{nlm_l}|V|\psi_{nlm_l}\rangle + \langle\psi_{nlm_l}|V^2|\psi_{nlm_l}\rangle \right)</math>
Dans le cas d'un [[hydrogénoïde]], le potentiel est coulombien et les états propres non perturbés sont des [[harmonique sphérique|harmoniques sphériques]]. L'expression ci-dessus devient :
:<math>\Delta E^\mathrm{rel}_{nlm_l} = - \frac{(Z\alpha)^2}{n} \left( \frac{1}{l+1/2} - \frac{3}{4n} \right) |E_{n}|</math>
==Zitterbewegung==
==Couplage spin-orbite==
===Origine du terme perturbatif===
La [[mécanique quantique relativiste]] fait apparaître, entre autre, le fait que les électrons possèdent un spin. Celui-ci engendre un [[moment magnétique de spin]]
:<math>\vec{M_s} = \frac{q}{m_e} \vec{S}</math>
Comme l'électron se déplace dans un environnement où règne le [[champ électrique]] créé par les charges du [[noyau atomique|noyau]] et des autres [[électron|électrons]], d'après la [[relativité restreinte]], l'[[électron]], dans son référentiel, perçoit un [[champ magnétique]] appelé '''champ motionnel'''
:<math>\vec{B'} = - \frac{\vec{v} \wedge \vec{E}}{c^2}</math>
L'énergie associée à cette interaction est donc
:<math>W_{so} = - \vec{M_s} \cdot \vec{B'}</math>
Comme le référentiel de l'[[électron]] est en rotation et non [[référentiel galiléen|galiléen]], le calcul du champ motionnel nécessite de faire deux changements de référentiels (un en translation et un en rotation)<ref>Il est intéressant de noter que le calcul fait dans l'approximation d'un référentiel galiléen donne un résultat erroné d'un facteur <math>\frac{1}{2}</math></ref>. Le calcul fait par Thomas donne
:<math>W_{so} = \frac{1}{2m_e^2c^2}\frac{1}{r}\frac{{\mathrm d} V}{{\mathrm d} r} \vec{L}\cdot\vec{S}</math>
avec <math>\vec{L}</math> le [[moment cinétique]] de l'[[électron]] autour du [[noyau atomique|noyau]] et <math>\vec{S}</math> le [[moment cinétique]] de [[spin]] de l'[[électron]].
Il est commun de noter ce terme
:<math>W_{so} = \xi(r) \vec{L} \cdot \vec{S} {\textrm ~~avec~~} \xi(r) = \frac{1}{2m_e^2c^2}\frac{1}{r}\frac{{\mathrm d} V}{{\mathrm d} r}</math>
ce qui permet de mettre en valeur le terme purement radial.
===Calcul en perturbation===
Dans l'hypothèse où ce terme apporte une contribution faible à l'[[énergie]] devant le terme principal <math>H_0</math>, on peut le traiter en perturbation. Mais auparavant, il convient de remarquer que le terme <math>\vec{L} \cdot \vec{S}</math> ne [[Commutateur (opérateur)|commute]] pas avec <math>\vec{L}</math> et <math>\vec{S}</math>. Il est donc indispensable de trouver un nouvel Ensemble Complet d'Observables qui Commutent (ECOC). Pour ce faire, le [[moment cinétique]] total
:<math>\vec{J} ~ \stackrel{def}{=} \sum \vec{L} ~~ \Leftrightarrow ~~ \vec{J} = \vec{L} + \vec{S}</math>
est utilisé en lieu et place de chaque [[moment cinétique|moments cinétiques]] et le nouvel ECOC devient <math>H, L^2, S^2, J^2, J_z</math><ref>Ici le choix de <math>J_z</math> comparé aux autres coordonnées est purement arbitraire et n'a aucune influence sur le résultat du calcul.</ref>. La base des vecteurs propres communs devient alors
<math>\left| \psi_{nlsjm_j} \right\rangle</math> avec <math>m_j = m_l + m_s</math>. Il en résulte
:<math>J^2 = L^2 + S^2 + 2 \vec{L} \cdot \vec{S} ~~ \Leftrightarrow ~~ \vec{L} \cdot \vec{S} = \frac{1}{2} \left( J^2 - L^2 - S^2 \right)</math>
d'où
:<math>W_{so} = \frac{1}{2} \xi(r) \left( J^2 - L^2 - S^2 \right)</math>
La [[théorie des perturbations]] permet d'écrire :
:<math>\Delta E_{nlsj}^{so} = \frac{1}{2} \left\langle \psi_{nlsjm_j} \left| \xi(r) \left( J^2 - L^2 - S^2 \right) \right| \psi_{nlsjm_j} \right\rangle</math>
En posant
:<math>\frac{A_{nl}}{\hbar^2} = \int_0^\infty \left| R_{nl} \right|^2 \xi(r) r^2 {\mathrm d}r</math>
le résultat est :
:<math>\Delta E_{nlsj}^{so} = \frac{A_{nl}}{2} \left[ j(j+1) - l(l+1) - s(s+1) \right]</math>
===Exemple avec les alcalins===
Ici <math>s = 1/2</math> donc <math>s(s+1) = 3/4</math>.
* Soit <math>l = 0</math>, alors <math>j = s</math> d'où <math>\Delta E_{nlsj}^{so} = 0</math>
* Soit <math>l \neq 0</math>, alors :
** <math>j = l + \frac{1}{2}</math> donc <math>\Delta E_{nlsj}^{so} = \frac{A_{nl}}{2} \times l</math>
** <math>j = l - \frac{1}{2}</math> donc <math>\Delta E_{nlsj}^{so} = - \frac{A_{nl}}{2} \times (l+1)</math>
Excepté pour les couches S, il y a une levée partielle de la dégénérescence des niveaux d'énergies. Cela se traduit par un dédoublement de ces niveaux (Exemple du [[sodium]] qui possède un dédoublement de la [[raie d'émission]] jaune en deux raies respectivement à 589,0nm et 589,6nm)
Le barycentre des niveau n'est pas déplacé.
==Voir aussi==
===Articles connexes===
* [[Constante de structure fine]]
* [[Structure hyperfine]]
* [[Décalage de Lamb]]
===Bibliographie===
* {{fr}} {{cohen}}, t. II, p. 958
* {{en}} Randal C. Telfer, ''Everything You Always Wanted to Know About the Hydrogen Atom (But Were Afraid to Ask)'' sur le site du Département de physique et d'astronomie de la John Hopkins University, 2006 {{lire en ligne|lien=http://electron6.phys.utk.edu/qm2/modules/m9/fine.htm}}
==Notes et références==
{{Références|colonnes=2}}
{{Portail physique}}
[[Catégorie:Spectroscopie]]
[[Catégorie:Physique atomique]]
[[de:Feinstruktur (Physik)]]
[[en:Fine structure]]
[[it:Struttura fine]]
[[ja:微細構造 (原子物理学)]]
[[pt:Estrutura fina]]
[[ru:Тонкая структура]]
[[uk:Тонка структура]]