Système de coordonnées 119115 30155066 2008-05-30T18:12:20Z HB 4497 rv éviter de mélanger science fiction et mathématiques (ou avertir le lecteur) {{Voir homonymes|Système de coordonnées (homonymie)}} En [[mathématiques]], un '''système de coordonnées''' permet de faire correspondre à chaque [[point (géométrie)|point]] d'un espace à N [[dimension]]s, un [[N-uplet]] de [[scalaire]]s. Dans beaucoup de cas, les scalaires considérés sont des [[nombre réel|nombres réels]], mais il est possible d'utiliser des [[nombre complexe|nombres complexes]] ou des éléments d'un [[corps (mathématiques)|corps]] quelconque. Plus généralement, les coordonnées peuvent provenir d'un [[anneau (mathématiques)|anneau]] ou d'une autre [[structure (mathématiques)|structure]] [[structure algébrique|algébrique]] apparentée. On considère que l'espace existe en lui-même indépendamment du choix d'un système de coordonnées particulier. {{Analyse vectorielle}} == Exemples == Le cas le plus courant est la notion de coordonnées en [[géométrie (mathématiques élémentaires)|géométrie]], voir l'article ''[[Repérage dans le plan et dans l'espace]]'' : on choisit un point de repère appelé « origine », et trois « règles graduées » de directions distinctes qui ne sont pas dans le même plan (dans le plan, deux direction suffisent). Les coordonnées de ce point sont appelées « abscisse », « ordonnée » et « cote », et sont notées respectivement ''x'', ''y'' et ''z''. Voir aussi l'article ''[[Géométrie analytique]]''. En [[géographie]], on associe une [[longitude]] et une [[latitude]] à des endroits géographiques ; c'est un système de coordonnées. Dans ce cas, la paramétrisation n'est pas unique aux [[pôle géographique|pôle]]s Nord et Sud. Un exemple de système de coordonnées permet de décrire un point ''P'' dans l'[[espace euclidien]] <math>\mathbb{R}^n</math> par un ''n''-uplet : : <math>\ P = (r_1, ..., r_n)</math> <math>\ r_1, ..., r_n</math> étant des nombres réels appelés ''coordonnées'' du point ''P''. Si un sous-ensemble ''S'' d'un espace euclidien est appliqué de façon [[continuité|continu]]e sur un autre [[espace topologique]], cela définit les coordonnées de l'image de ''S''. On peut parler de '''paramétrisation''' de l'image, puisque ce processus assigne des nombres aux points. La correspondance est unique seulement si l'application est [[bijection|bijective]]. ==Transformations== Une '''transformation de coordonnées''' est une conversion d'un système à un autre pour décrire le même espace. Certains choix de système de coordonnées peut conduire à des [[paradoxe]]s, par exemple au voisinage d'un [[trou noir]], qui peuvent être résolus en changeant de système. Cela n'est toutefois pas possible en une véritable [[singularité mathématique]]. ==Systèmes courants== Quelques systèmes de coordonnées couramment utilisés : * le [[système de coordonnées cartésiennes]] utilisé dans un [[espace vectoriel]] ou un [[espace affine]] de dimension finie. * pour tout [[espace vectoriel]] de dimension finie et toute [[base (algèbre linéaire)|base]], les coefficients des [[vecteur]]s exprimés dans cette base peuvent être utilisés comme coordonnées. Changer de base est une transformation de coordonnées, une [[transformation linéaire]] qui peut être définie par une [[matrice (mathématiques)|matrice]]. * le [[système de coordonnées curvilignes]] est une généralisation, basée sur des intersections de courbes. * les [[système de coordonnées polaires|systèmes de coordonnées polaires]] : ** le [[système de coordonnées cylindriques]] représente un point dans l'espace par un [[angle]], une distance à l'origine et une hauteur. ** le [[système de coordonnées sphériques]] représente un point dans l'espace par deux angles et une distance à l'origine. Le [[système de coordonnées géographiques]] en est dérivé. * des systèmes de coordonnées généralisées sont utilisés en [[mécanique lagrangienne]]. ==Systèmes utilisés en astronomie== L'[[astronomie]] utilise plusieurs systèmes de coordonnées pour noter la direction d'un objet céleste : * [[Système de coordonnées célestes|systèmes de coordonnées célestes]] : ** [[système de coordonnées horizontales]], coordonnées locales liées à un point donné de la [[Terre]] ; ** [[système de coordonnées horaires]], défini à partir du plan équatorial terrestre et de la direction du Nord géographique local ; ** [[système de coordonnées équatoriales]], défini à partir du plan équatorial terrestre, et du point γ (direction correspondant au passage de la déclinaison du Soleil d'une valeur négative à une valeur positive) ; ** [[système de coordonnées écliptiques]], défini à partir du plan de révolution de la Terre autour du Soleil ; ce système peut être géocentrique ou héliocentrique (ce dernier choix permet de déterminer des coordonnées non sujettes à la [[précession]]) ; ** [[système de coordonnées galactiques]], défini à partir d'un plan fondamental, choisi une fois pour toutes, et situé au voisinage du plan de symétrie de [[Voie lactée|notre Galaxie]] (contenu dans le disque, ou se trouve notre Soleil) ; ces coordonnées ne sont pas sujettes à la précession séculaire, dues au déplacement du [[système solaire]] (environ 250 km/s) au sein de notre Galaxie ; * systèmes de coordonnées extragalactiques : ** [[système de coordonnées supergalactiques]], basé sur le plan du [[superamas]] de [[galaxie]]s local == Autres == En [[relativité générale]], certains systèmes de coordonnées sont choisies de façon à simplifier les calculs. * Un système de [[coordonnées harmoniques]] représente un système de coordonnées qui, vues comme étant des [[champ vectoriel|champs vectoriels]] sont de [[laplacien]] nul. * Plus généralement, le système de coordonnées est essentiellement arbitraire en relativité générale, la structure des équations ne dépendant pas du choix de coordonnées. Cependant, lorsque vient la phase de résolution des équations du champ gravitationnel, certains systèmes de coordonnées s'avèrent plus commodes que d'autres, ou permettent une interprétation physique simple des résultats obtenus. Les classes de systèmes de coordonnées possédant telle ou telle propriété sont appelés [[jauge (géométrie)|jauge]]. Dans le domaine de la [[théorie des perturbations cosmologiques]], le choix d'une telle [[jauge (cosmologie)|jauge]] peut présenter des avantages. {{Portail mathématiques}} [[Catégorie:Système de coordonnées|*]] [[af:Koördinaatstelsel]] [[ast:Coordenada]] [[bg:Координата]] [[ca:Coordenada]] [[cs:Soustava souřadnic]] [[da:Koordinatsystem]] [[de:Koordinatensystem]] [[el:Θέση]] [[en:Coordinate system]] [[eo:Koordinatsistemo]] [[es:Sistema de coordenadas]] [[fi:Koordinaatisto]] [[gl:Sistema de coordenadas]] [[he:קואורדינטות]] [[it:Sistema di riferimento]] [[ja:座標]] [[ko:좌표계]] [[lb:Koordinate-system]] [[lt:Koordinačių sistema]] [[nl:Coördinaat]] [[no:Koordinatsystem]] [[pl:Układ współrzędnych]] [[pt:Sistema de coordenadas]] [[ru:Система координат]] [[sk:Sústava súradníc]] [[sq:Sistemi koordinativ]] [[sv:Koordinatsystem]] [[ta:பகுமுறை வடிவவியல்]] [[tr:Küresel koordinat sistemi]] [[zh:坐標系統]]