Système de fonctions itérées
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2008-03-03T10:21:06Z
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robot Ajoute: [[es:Sistema de funciones iteradas]]
{{ébauche|mathématiques}}
Un '''système de fonctions itérées''' ou '''IFS''' (d'après le nom anglais ''Iterated Function System'') est une théorie mathématique développée par [[John Hutchinson]] en [[1981]] mais presque essentiellement utilisée dans le cadre de la géométrie [[fractale]] (depuis les travaux de [[Barnsley]] en [[1988]]). Cette théorie est entièrement fondée sur les invariances par changement d'échelle.
Un IFS peut être la représentation fonctionnelle d'une fractale. Cela donne une théorie parfaitement définie mathématiquement qui permet de nombreuses études sur les fractales ([[Continuité]], [[dérivée|dérivabilité]], approximation...)
Un IFS est un ensemble de N fonctions [[application contractante|contractantes]] <math>T_i:M\to M</math> dans un espace métrique ''M''. On définit une fonction également [[application contractante|contractantes]] sur l'[[ensemble des parties]] munie avec la [[distance de Hausdorff]], <math>T=\bigcup_{i=1}^N{T_i}:\mathcal{P}(M)\to\mathcal{P}(M)</math>.
Le théorême du point fixe donne l'existence et l'unicité d'un [[sous-ensemble]] fixe <math>F\subset M</math> tel que <math>T(F)=F</math>. <math>F</math> est appelé '''attracteur''' de l'IFS. F est alors une fractale.
En pratique, F est obtenue comme la limite <math>T^n(F_0)</math> pour <math>n\to\infty</math> où <math>F_0</math> est un compact quelconque. C'est de cette propriété qui vient le mot ''itéré'' car on se restreint souvent à l'étude de <math>T^N(F_0)</math> une approximation de la fractale.
'''Remarques : '''
*Les IFS ne servent pas uniquement à la modélisation des fractales, même si c'est dans ce cadre-là qu'elles sont le plus utilisées.
*La plupart des fonctions des IFS sont des fonctions affines. On appelle '''flame IFS''' des fractales obtenues par des fonctions non linéaires.
== Exemples ==
*L'[[ensemble de Cantor]]
::Fonction 1 : [[homothétie]] de rapport 1/3 par rapport au point (0,0,0)
::Fonction 2 : [[homothétie]] de rapport 1/3 par rapport au point (1,0,0)
*Le [[tapis de Sierpinski]] de sommets '''P'''<sub>1</sub>, '''P'''<sub>2</sub>, '''P'''<sub>3</sub> et '''P'''<sub>4</sub> : 4 homothéties de rapport 1/2 par rapport à chacun des points '''P'''<sub>i</sub>
== Images ==
Encyclopédie numérique des fractales IFS
:De nombreux exemples d'images fractales IFS.
:http://fractal.ifrance.com/
== Logiciels ==
* Brazil Fractal Builder
:Logiciel permettant la création d'images fractales de type IFS. Son avantage est de permettre de véritablement construire les objets fractals que vous désirez, de façon visuelle et sans connaissances mathématiques préalables.
:http://www.geocities.com/CapeCanaveral/Lab/1837/
* [http://www.apophysis.org Apophysis]
*Glito, programme libre permettant d'explorer les IFS de dimension 2 (applications affines, fonction sinusoïdales, ensemble de Julia) - :http://emmanuel.debanne.free.fr/glito/
{{portail mathématiques}}
[[Catégorie:fractale]]
[[de:Iteriertes Funktionensystem]]
[[en:Iterated function system]]
[[eo:Iteraciitaj sistemoj de funkcioj]]
[[es:Sistema de funciones iteradas]]
[[hr:Sustav iterirane funkcije]]
[[ja:反復関数系]]
[[pl:IFS (geometria fraktalna)]]
[[pt:Sistemas de funções iterativas]]
[[sv:Itererande funktionssystem]]