Système duodécimal 153618 31793650 2008-07-22T15:46:52Z Zorrobot 179160 robot Ajoute: [[sv:Duodecimalsystemet]] Le '''système duodécimal''' est un [[système de numération]] de base [[12 (nombre)|12]]. En base 12, on utilise les 10 chiffres de [[0 (nombre)|0]] à [[9 (nombre)|9]], suivis les lettres [[A (lettre)|A]] et [[B (lettre)|B]], respectivement pour [[10 (nombre)|10]] et [[11 (nombre)|11]]. On utilise parfois aussi à la place de ces dernières, respectivement, les lettres [[Alpha|α]] (''alpha'' minuscule) et [[Bêta|β]] (''bêta'' minuscule), ou bien [[T]] (de l'[[anglais]] ''ten'') et [[E (lettre)|E]] (de l'anglais ''eleven''), ou encore [[X (lettre)|X]] (chiffre romain) pour dix. Il existe deux organismes la [[Dozenal Society of America]] et la [[Dozenal Society of Great Britain]] qui font la promotion du système duodécimal en affirmant qu'un système en base 12 est meilleur que le [[système décimal]] tant d'un point de vue mathématique que pour d'autres côtés pratiques. En effet [[2 (nombre)|2]], [[3 (nombre)|3]], [[4 (nombre)|4]], [[6 (nombre)|6]] sont des [[diviseur]]s de 12, ce qui facilite la mise en fraction. Comparé aux diviseurs [[2 (nombre)|2]] et [[5 (nombre)|5]] du [[système décimal]], le système duodécimal offre plus de possibilités. L'utilisation d'un système en base 12 n'est pas courant, pourtant il existe un exemple pratique utilisé dans le langage du [[Népal]]. Dans le passé, les [[Rome antique|Romains]], malgré le décompte en [[décimal|base 10]], utilisaient le système duodécimal pour représenter les fractions{{Référence nécessaire}}. Historiquement, le nombre 12 a été utilisé par de nombreux peuple. En [[latin]] par exemple, il existe un grand nombre de noms (sans parler des adjectifs encore plus nombreux) pour désigner des ensembles de douze (''duodecim''<ref>Outre sa signification numérique, le terme ''duodecim'' est une [[métonymie]] utilisée pour désigner la [[Loi des douze tables]], le fondement du [[droit romain]].</ref>) unités<ref>[[Dictionnaire Gaffiot]], p 569</ref>, ce qui montre la familiarité du décompte par douze : * ''duodecajugum'' : attelage de douze coursiers ; * ''duodecas'' : douzaine ; * ''duodecennium'' : période de douze ans; * ''duodecemvir'' : collège de douze magistrats, * etc. Il est reconnu{{Référence nécessaire}} que l'observation des 13 phases de [[pleine lune]] dans une année explique l'universalité de ce nombre dans toute les cultures. Des exemples de cet usage sont les 12 [[mois]] de l'[[année]], les 12 [[Heure (temps)|heures]] d'une [[Montre (horlogerie)|montre]], les 12 divisions traditionnelles du temps dans une journée en Chine, les 12 [[signes du zodiaque]] de l'astrologie, les 12 signes du zodiaque de l'[[astrologie chinoise]], etc. Dans de nombreux langages européens, tels l'[[anglais]], le [[français]] et l'[[allemand]], l'usage de noms spéciaux pour 11 et 12 plutôt que leur nom représenté par le système décimal (douze, ''twelve'', ''zwölf'') peut faciliter le comptage en base 12. Il est beaucoup utilisé dans le commerce (douzaine, [[grosse]], etc.). Certaines population (Moyen-Orient, principalement) connaissent ce système de longue date en comptant les phalangettes de la main en omettant celles du pouces (qui est utilisé pour compter les phalangettes des autres doigts). Ce qui donne bien le chiffre douze base de cette numération. En ayant l'avantage d'être un diviseur simple dans les fractions peut expliquer pourquoi les Britanniques continuent d'utiliser 12 pouces dans un pied, 16 onces dans une livre, 12 [[pence]] dans un [[shilling]]<ref>Ce n'est le plus cas. Le [[Royaume-Uni]] a adopté la décimalisation de sa [[monnaie]], la [[livre sterling]] depuis 1971.</ref>, 12 pièces dans une douzaine, 12 douzaines dans une grosse, 12 grosses dans une grande grosse, etc. {| class="wikitable" ! Duodécimal !! Equivalent en décimal |- | 10 : douze (ou une douzaine) || 12 |- | 100 : une grosse|| 12<sup>2</sup> = 144 |- | 1 000 : une grande grosse || 12<sup>3</sup> = 1 728 |- | 10 000 : douze grandes grosses || 12<sup>4</sup> = 20 736 |- | 100 000 || 12<sup>5</sup> = 248 832 |- | 1 000 000 || 12<sup>6</sup> = 2 985 984 |- | 0,1 || 1/12 |- | 0,01 || 1/144 |} 15 une douzaine et cinq 3E trois douzaines et onze XE7 dix grosses onze douzaines et sept 11E0 une grande grosse une grosse onze douzaines (= l'année 2004) 36 X17 trois douzaines et six grandes grosses dix grosses une douzaine et sept == Fractions == Le système duodécimal a l'avantage d'avoir des résultats de fractions très simples&nbsp;:<br /> : 1 / 2 = 0,6 : 1 / 3 = 0,4 : 1 / 4 = 0,3 : 1 / 6 = 0,2 : 1 / 8 = 0,16 : 1 / 9 = 0,14 ou compliqués (X = dix, E = onze) : : 1 / 5 = 0,2497 2497 avec chiffres périodiques (nombre que l'on peut arrondir à 0,25) : 1 / 7 = 0,186X35 186X35 avec chiffres périodiques : 1 / X = 0,1 2497 2497 avec chiffres périodiques (nombre que l'on peut arrondir à 0,125) Comme expliqué dans les décimales répétitives, chaque fois qu'une fraction est écrite en notation décimale, quel que soit sa base, la fraction peut être exprimée exactement, si et seulement si tous les facteurs premiers du dénominateur sont des [[nombre premier|nombres premiers]] de la base adoptée. Ainsi, en [[décimal|base 10]] (= 2 × 5), les fractions dont les dénominateurs sont constitués de multiples de 2 ou 5 sont finies&nbsp;: : <math>\frac{1}{8} = \frac{1}{2 \times 2 \times 2}</math>, : <math>\frac{1}{20} = \frac{1}{2 \times 2 \times 5}</math>, et : <math>\frac{1}{500}</math> = <math>\frac{1}{2^2 \times 5^3}\,</math> peuvent être exprimées exactement sous forme décimale comme 0,125, 0,05, et 0,005 respectivement. Cependant, : <math>\frac{1}{3}</math> et <math>\frac{1}{7}</math> donnent les répétitions 0,333... et 0,142857 142857... Dans le système duodécimal (= 2×2×3), : 1 / 8 est exact ; : 1 / 20 et 1 / 500 ont des décimales périodiques parce que leurs dénominateurs incluent 5 dans leur décomposition ; : 1 / 3 est exact ; : 1 / 7 est périodique, comme en base 10. On peut argumenter que les facteurs de 3 sont plus facilement rencontrés dans la vraie vie que ceux de 5 lors des divisions. Mais en pratique, la gêne occasionnée par la périodicité des fractions est moins courante lorsque le système duodécimal est utilisé. Cela est particulièrement vrai dans les calculs financiers, lorsque les 12 mois de l'année entrent en ligne de compte dans les calculs. == Notes == {{références}} {{Systèmes de numération}} {{portail maths}} [[Catégorie:Système de numération|duodécimal]] [[da:Duodecimal]] [[de:Duodezimalsystem]] [[en:Duodecimal]] [[eo:Dekduuma sistemo]] [[es:Sistema duodecimal]] [[fi:Duodesimaalijärjestelmä]] [[he:בסיס דואודצימלי]] [[is:Tylftakerfi]] [[ja:十二進法]] [[ko:십이진법]] [[nl:Twaalftallig stelsel]] [[no:Tolvtallssystemet]] [[pl:Dwunastkowy system liczbowy]] [[pt:Sistema de numeração duodecimal]] [[ru:Двенадцатеричная система счисления]] [[sl:Dvanajstiški številski sistem]] [[sv:Duodecimalsystemet]] [[th:เลขฐานสิบสอง]] [[uk:Дванадцяткова система числення]]