Test (statistique) 269209 30385682 2008-06-06T21:07:19Z 81.243.204.162 /* Test du χ2 */ {{Voir homonymes|Test}} {{ébauche|probabilités et statistiques}} ==Principe d'un test statistique== Le but d'un test statistique est de tester une hypothèse concernant un ensemble de données. ===Exemple=== On dispose de <math>N</math> réalisations d'une loi que l'on sait normale (espérance <math>\mu</math> et variance 1), on désire tester l'hypothèse : *<math>H_0</math> : <math>\mu = 0</math> contre : *<math>H_1</math> : <math>\mu \ne 0</math> Calculons <math>T_{emp} = \frac{\sum_{i=1}^{N+1} x_i}{\sum(x_i-\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i)^2}</math>. Sous l'hypothèse <math>H_0</math>, nous connaissons la distribution de cette statistique. Nous pouvons alors évaluer sa vraissemblance en calculant une p-value : <math>p_{value} = P^{H_0}[T \ge T_{emp}]</math> ===Différents types d'erreurs=== Dans la pratique, les tests statistiques conduisent à deux types d'erreurs : *Rejet à tort de l'hypothèse <math>H_0</math> : erreur de première espèce, ou [[faux positif]]. *Acceptation à tort de l'hypothèse <math>H_0</math> : erreur de seconde espèce, ou [[faux-négatif]]. Il est alors possible de contrôler <math>\alpha</math>, le taux d'erreur de première espèce : *Si <math>p_{value} < \alpha</math> : On rejette <math>H_0</math> *Si <math>p_{value} > \alpha</math> : On accepte <math>H_0</math> Remarque : Dans les livres Statistiques il est marque que Rejet de Ho ssi <math>p_{value} < \alpha</math> <ref>Wonnacott & Wonnacott, Statistique (4e ed.), Editions Economica p.343 <br /> Jean-Jacques Droesbeke, Eléments de Statistique (3 ed.), Editions Ellipses p.335 <br /> Damodar Gujarati, Basic Econometrics, 4th Edition, McGraw-Hill Companies, pp 137-138 </ref> D'après Gujarati <ref>Damodar Gujarati, Basic Econometrics, 4th Edition, McGraw-Hill Companies, pp 137</ref> la <math>p_{value}</math> est le niveau significatif le plus bas où l'hypothèse nulle peut-être rejetée (traduction faite par mes soins, il se peut qu'elle ne soit pas exacte à 100 %) ainsi donc si <math>p_{value} > \alpha</math> alors on ne rejette pas Schématiquement : Soit <math> \alpha = 5 % </math> <br /> <code> Si P-Value = 0,03 : <br /> 0%---1%---2%---3%---4%---5%---6%---7%---8%---9%---10% <br /> ]...Non Rejet..[...............Rejet...............[ <br /> Or à 5%, on rejette --> RHo <br /> </code> <code> Si P-Value = 0,05 : <br /> 0%---1%---2%---3%---4%---5%---6%---7%---8%---9%---10% <br /> ].......Non Rejet........[..........Rejet..........[ <br /> Or à 5%, on a le niveau le plus bas qu'on rejette, ce niveau est compris dans le test --> RHO <br /> <code> Si P-Value = 0,07 : <br /> 0%---1%---2%---3%---4%---5%---6%---7%---8%---9%---10% <br /> ]............Non Rejet.............[.....Rejet.....[ <br /> Or à 5%, on ne rejette pas --> Non rejet de Ho (ce qui est différent d'acceptation de Ho qui dépendra du test de seconde espèce) </code> ==Liste des tests statistiques== ===Test du T=== *H<sub>0</sub> : μ = μ<sub>0</sub> *H<sub>1</sub> : μ &gt; μ<sub>0</sub> ===Test du U=== *H<sub>0</sub> : μ = μ<sub>0</sub> *H<sub>1</sub> : μ &gt; μ<sub>0</sub> ===Test du U=== <!-- bis --> *H<sub>0</sub> : π = p<sub>0</sub> *H<sub>1</sub> : π &gt; p<sub>0</sub> ===Test du χ<sup>2</sup>=== <!-- khi carré --> *H<sub>0</sub> : σ<sup>2</sup> > = σ<sub>0</sub><sup>2</sup> *H<sub>1</sub> : σ<sup>2</sup> &gt; σ<sub>0</sub><sup>2</sup> ===Test du U=== <!-- ter --> ===Test du U=== <!-- … --> ===Test du F=== <!-- bis --> ===Test du χ<sup>2</sup>=== <!-- khi carré - bis --> ===Test du T=== <!-- bis --> ===Test de Fisher-Student=== <!-- bis --> ===Test de Spearman=== <!-- bis --> ==Tests non paramétriques== ===Test de Mann-Whitney=== Le test de (Wilcoxon-) [[Mann-Whitney]] est un test non paramétrique d'identité portant sur deux échantillons indépendants issus de variables numériques ou ordinales. Ces deux jeux peuvent contenir des nombres différents d'observations, ou même faire référence à deux variables différentes. 1) C'est un test d'identité : il porte sur le fait que deux séries de valeurs numériques (ou ordinales) sont issues d'une même distribution. 2) Il est non paramétrique, c'est à dire qu'il ne fait aucune hypothèse sur les formes analytiques des distributions F1(x) et F2(x) des populations 1 et 2. Il teste donc l'hypothèse : H0 : "F1 = F2" 3) Il utilise non pas les valeurs prises par les observations, mais leur rangs une fois ces observations réunies dans un même ensemble. de tester une hypothèse concernant un ensemble de données. ====Exemple==== On dispose de N réalisations d'une loi que l'on sait normale (espérance μ et variance 1), on désire tester l'hypothèse : Le test de Mann-Whitney a donc le même objectif qu'un autre test d'identité important, le "Test du Chi-2 d'identité", dans sa version pour variable numérique. Si les populations sont supposées normales et de même variance, le test t aura la préférence. Le test de Kruskal-Wallis peut être perçu comme une extension du test de Mann-Whitney à plus de deux échantillons (de même que ANOVA univariée est une extension du test t à plus de deux échantillons). ===Test du signe=== ===Test de Wilcoxon=== <math> R_\alpha(n) = \frac{n(n+1)}{4}- u_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{1}{24}n(n+1)(2n+1)}</math> <math> R_\alpha(n) = \frac{n(n+1)}{4}- u_{1-\alpha}\sqrt{\frac{1}{24}n(n+1)(2n+1)}</math> == Notes et références == <references /> ==Voir aussi== ===Liens internes=== *[[Test d'hypothèse]] ===Bibliographie=== *{{fr}}DAGNELIE P. (1998) ''Statistique théorique et appliquée. Tome 1 : Statistique descriptive et base de l'inférence statistique.'' Paris et Bruxelles, De Boeck et Larcier. *{{fr}}DAGNELIE P. (1998) ''Statistique théorique et appliquée. Tome 2 : Inférence statistique à une et à deux dimensions.'' Paris et Bruxelles, De Boeck et Larcier. *{{fr}}DROESBECKE J.-J. (2001) ''Éléments de statistique.'' Paris, Ellipses. *{{fr}}ESCOFIER B., PAGES J. (1997) ''Initiation aux traitements statistiques : Méthodes, méthodologie.'' PUR, Rennes. *{{fr}}FALISSARD B., MONGA (1993) ''Statistique : concepts et méthodes.'' Paris, Masson. *{{fr}}ROUANET H., BERNARD J.-M., LE ROUX B. (1990) : ''Statistique en sciences humaines : analyse inductive des données.'' Paris, Dunod. *{{fr}}SAPORTA G. (1990) ''Probabilité, Analyse des données et Statistique.'' Paris, Technip. *{{fr}}VEYSSEYRE R. (2002) ''Statistique et probabilité pour l'ingénieur.'' Paris, Dunod. {{portail probabilités et statistiques}} [[Catégorie:Test statistique]]