Test (statistique)
269209
30385682
2008-06-06T21:07:19Z
81.243.204.162
/* Test du χ2 */
{{Voir homonymes|Test}}
{{ébauche|probabilités et statistiques}}
==Principe d'un test statistique==
Le but d'un test statistique est de tester une hypothèse concernant un ensemble de données.
===Exemple===
On dispose de <math>N</math> réalisations d'une loi que l'on sait normale (espérance <math>\mu</math> et variance 1), on désire tester l'hypothèse :
*<math>H_0</math> : <math>\mu = 0</math>
contre :
*<math>H_1</math> : <math>\mu \ne 0</math>
Calculons <math>T_{emp} = \frac{\sum_{i=1}^{N+1} x_i}{\sum(x_i-\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i)^2}</math>.
Sous l'hypothèse <math>H_0</math>, nous connaissons la distribution de cette statistique. Nous pouvons alors évaluer sa vraissemblance en calculant une p-value : <math>p_{value} = P^{H_0}[T \ge T_{emp}]</math>
===Différents types d'erreurs===
Dans la pratique, les tests statistiques conduisent à deux types d'erreurs :
*Rejet à tort de l'hypothèse <math>H_0</math> : erreur de première espèce, ou [[faux positif]].
*Acceptation à tort de l'hypothèse <math>H_0</math> : erreur de seconde espèce, ou [[faux-négatif]].
Il est alors possible de contrôler <math>\alpha</math>, le taux d'erreur de première espèce :
*Si <math>p_{value} < \alpha</math> : On rejette <math>H_0</math>
*Si <math>p_{value} > \alpha</math> : On accepte <math>H_0</math>
Remarque : Dans les livres Statistiques il est marque que Rejet de Ho ssi <math>p_{value} < \alpha</math>
<ref>Wonnacott & Wonnacott, Statistique (4e ed.), Editions Economica p.343 <br />
Jean-Jacques Droesbeke, Eléments de Statistique (3 ed.), Editions Ellipses p.335 <br />
Damodar Gujarati, Basic Econometrics, 4th Edition, McGraw-Hill Companies, pp 137-138 </ref>
D'après Gujarati <ref>Damodar Gujarati, Basic Econometrics, 4th Edition, McGraw-Hill Companies, pp 137</ref> la <math>p_{value}</math> est le niveau significatif le plus bas où l'hypothèse nulle peut-être rejetée (traduction faite par mes soins, il se peut qu'elle ne soit pas exacte à 100 %) ainsi donc si <math>p_{value} > \alpha</math> alors on ne rejette pas
Schématiquement : Soit <math> \alpha = 5 % </math> <br />
<code>
Si P-Value = 0,03 : <br />
0%---1%---2%---3%---4%---5%---6%---7%---8%---9%---10% <br />
]...Non Rejet..[...............Rejet...............[ <br />
Or à 5%, on rejette --> RHo <br />
</code>
<code>
Si P-Value = 0,05 : <br />
0%---1%---2%---3%---4%---5%---6%---7%---8%---9%---10% <br />
].......Non Rejet........[..........Rejet..........[ <br />
Or à 5%, on a le niveau le plus bas qu'on rejette, ce niveau est compris dans le test --> RHO <br />
<code>
Si P-Value = 0,07 : <br />
0%---1%---2%---3%---4%---5%---6%---7%---8%---9%---10% <br />
]............Non Rejet.............[.....Rejet.....[ <br />
Or à 5%, on ne rejette pas --> Non rejet de Ho (ce qui est différent d'acceptation de Ho qui dépendra du test de seconde espèce)
</code>
==Liste des tests statistiques==
===Test du T===
*H<sub>0</sub> : μ = μ<sub>0</sub>
*H<sub>1</sub> : μ > μ<sub>0</sub>
===Test du U===
*H<sub>0</sub> : μ = μ<sub>0</sub>
*H<sub>1</sub> : μ > μ<sub>0</sub>
===Test du U=== <!-- bis -->
*H<sub>0</sub> : π = p<sub>0</sub>
*H<sub>1</sub> : π > p<sub>0</sub>
===Test du χ<sup>2</sup>=== <!-- khi carré -->
*H<sub>0</sub> : σ<sup>2</sup> > = σ<sub>0</sub><sup>2</sup>
*H<sub>1</sub> : σ<sup>2</sup> > σ<sub>0</sub><sup>2</sup>
===Test du U=== <!-- ter -->
===Test du U=== <!-- … -->
===Test du F=== <!-- bis -->
===Test du χ<sup>2</sup>=== <!-- khi carré - bis -->
===Test du T=== <!-- bis -->
===Test de Fisher-Student=== <!-- bis -->
===Test de Spearman=== <!-- bis -->
==Tests non paramétriques==
===Test de Mann-Whitney===
Le test de (Wilcoxon-) [[Mann-Whitney]] est un test non paramétrique d'identité portant sur deux échantillons indépendants issus de variables numériques ou ordinales.
Ces deux jeux peuvent contenir des nombres différents d'observations, ou même faire référence à deux variables différentes.
1) C'est un test d'identité : il porte sur le fait que deux séries de valeurs numériques (ou ordinales) sont issues d'une même distribution.
2) Il est non paramétrique, c'est à dire qu'il ne fait aucune hypothèse sur les formes analytiques des distributions F1(x) et F2(x) des populations 1 et 2. Il teste donc l'hypothèse :
H0 : "F1 = F2"
3) Il utilise non pas les valeurs prises par les observations, mais leur rangs une fois ces observations réunies dans un même ensemble.
de tester une hypothèse concernant un ensemble de données.
====Exemple====
On dispose de N réalisations d'une loi que l'on sait normale (espérance μ et variance 1), on désire tester l'hypothèse :
Le test de Mann-Whitney a donc le même objectif qu'un autre test d'identité important, le "Test du Chi-2 d'identité", dans sa version pour variable numérique. Si les populations sont supposées normales et de même variance, le test t aura la préférence.
Le test de Kruskal-Wallis peut être perçu comme une extension du test de Mann-Whitney à plus de deux échantillons (de même que ANOVA univariée est une extension du test t à plus de deux échantillons).
===Test du signe===
===Test de Wilcoxon===
<math> R_\alpha(n) = \frac{n(n+1)}{4}- u_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{1}{24}n(n+1)(2n+1)}</math>
<math> R_\alpha(n) = \frac{n(n+1)}{4}- u_{1-\alpha}\sqrt{\frac{1}{24}n(n+1)(2n+1)}</math>
== Notes et références ==
<references />
==Voir aussi==
===Liens internes===
*[[Test d'hypothèse]]
===Bibliographie===
*{{fr}}DAGNELIE P. (1998) ''Statistique théorique et appliquée. Tome 1 : Statistique descriptive et base de l'inférence statistique.'' Paris et Bruxelles, De Boeck et Larcier.
*{{fr}}DAGNELIE P. (1998) ''Statistique théorique et appliquée. Tome 2 : Inférence statistique à une et à deux dimensions.'' Paris et Bruxelles, De Boeck et Larcier.
*{{fr}}DROESBECKE J.-J. (2001) ''Éléments de statistique.'' Paris, Ellipses.
*{{fr}}ESCOFIER B., PAGES J. (1997) ''Initiation aux traitements statistiques : Méthodes, méthodologie.'' PUR, Rennes.
*{{fr}}FALISSARD B., MONGA (1993) ''Statistique : concepts et méthodes.'' Paris, Masson.
*{{fr}}ROUANET H., BERNARD J.-M., LE ROUX B. (1990) : ''Statistique en sciences humaines : analyse inductive des données.'' Paris, Dunod.
*{{fr}}SAPORTA G. (1990) ''Probabilité, Analyse des données et Statistique.'' Paris, Technip.
*{{fr}}VEYSSEYRE R. (2002) ''Statistique et probabilité pour l'ingénieur.'' Paris, Dunod.
{{portail probabilités et statistiques}}
[[Catégorie:Test statistique]]