Théorème H 831654 28587231 2008-04-12T19:55:34Z Alecs.bot 265428 [[Modèle:,]], Replaced: </ref> <ref> → </ref>{{,}}<ref> {{ébauche|thermodynamique}} Le '''théorème H''' est un théorème démontré par [[Ludwig Boltzmann|Boltzmann]] en 1872 dans le cadre de la [[théorie cinétique des gaz]], lorsqu'un gaz ''hors d'équilibre'' vérifie [[équation de Boltzmann|son équation]]. Selon ce théorème, il existe une certaine grandeur <math> H(t) </math> qui varie de façon ''monotone'' au cours du temps, pendant que le gaz relaxe vers l'état d'équilibre caractérisé par la [[Loi de distribution des vitesses de Maxwell|distribution de Maxwell]]. == Aspects historiques == La [[théorie cinétique des gaz]], qui est basée sur l'application de la [[mécanique classique]] aux molécules constituant le [[gaz]] à l'échelle microscopique, s'est développée à partir des travaux fondateurs de Maxwell (1850) en parallèle avec la [[thermodynamique]] macroscopique. Boltzmann a contribué de façon marquante à la maturation de la théorie cinétique des gaz. Il semblait tentant d'identifier la grandeur <math> H(t) </math>, qui varie de façon ''monotone'' au cours du temps, à l'[[entropie]] (au signe près) introduite en thermodynamique par [[Rudolf Clausius|Clausius]] (1850) et qui, pour un système isolé, ne peut que croitre d'après le [[second principe de la thermodynamique|second principe]]. Cette identification aurait permis de déduire le second principe, macroscopique, à partir des lois de la dynamique des molécules, microscopiques, conformément à l'approche [[réductionnisme|réductionniste]] de la Nature. Rapidement cependant, [[Johann Josef Loschmidt|Loschmidt]], puis [[Ernst Zermelo|Zermelo]], formulèrent des critiques virulentes contre le théorème H, Boltzmann étant accusé de pratiquer des « mathématiques douteuses ». Cette accusation ne tient plus depuis un théorème rigoureux démontré par [[Oscar E Lanford III|Lanford]] en 1973 (lire ci-dessous). === Le paradoxe de la réversibilité === ==== Le paradoxe de Loschmidt (1876) ==== Loschmidt<ref>Johann Loschmidt ; ''Uber das Wärmegleichgewicht eines Systems von Körpern mit Rücksicht auf die Schwere'', Sitzungsber. Kais. Akad. Wiss. Wien, Math. Naturwiss. Classe '''73''' (1876), 128-142 ; et : '''75''' (1877), 67.</ref> se demande comment la grandeur <math> H(t) </math> peut-elle varier de façon ''monotone'' au cours du temps alors que les équations de la mécanique classique sont ''réversibles'' ? En effet, si la fonction <math> H(t) </math> était en train de décroitre et qu'à un instant donné, on renverse ''exactement'' toutes les vitesses de molécules, alors la nouvelle évolution se fait à l'envers, avec <math> H(t) </math> commençant par croitre. La réponse de Boltzmann fût brêve : « Allez-y, renversez les ! », signifiant l'''impossibilité pratique'' d'une telle inversion exacte<ref>En fait, la théorie des gaz de Boltzmann n'est pas réversible, en raison d'une hypothèse dite du « chaos moléculaire » utilisée pour traiter les chocs entre deux molécules. Cette hypothèse dit que ''avant'' un choc, les deux vitesses de chaque molécule sont ''indépendantes'', mais pas après ce choc.</ref>. ==== Interprétation statistique de l'entropie (Boltzmann-1877) ==== {{loupe|contenu=Article détaillé : [[Entropie#Définition de l'entropie selon la physique statistique|Entropie]]}} En 1877, Boltzmann proposa une nouvelle définition de l'entropie : <center><math>S \ = \ k_B \ \ln \ \Omega</math></center> où <math> k_B </math> est la [[constante de Boltzmann]], et <math> \Omega </math> le « nombre de complexions », c’est-à-dire le nombre de ''micro-états'' différents qui sont compatibles avec le macro-état thermodynamique donné. La croissance de l'entropie devait alors être interprétée comme un phénomène ''statistique'' : l'entropie croît parce que le système évolue en général d'un état initial improbable (<math> \Omega_i </math> petit) vers un état final beaucoup plus probable (<math> \Omega_f > \Omega_i </math>). Des fluctuations locales sont bien sûr possibles, mais leur grandeur relative tend vers zéro lorsque le nombre ''N'' de molécules tend vers l'infini, de telle sorte que l'entropie d'un système macroscopique nous semble croître de façon monotone. ==== Inversion des vitesses & sensibilité aux conditions initiales ==== Avec la découverte du phénomène de [[sensibilité aux conditions initiales]] caractéristique des [[théorie du chaos|systèmes chaotiques]], nous savons aujourd'hui qu'une inversion ''approchéee'' des vitesses va rapidement entrainer une déviation par rapport à l'orbite initiale exacte inversée, et ce aussi petites que soient les erreurs introduites sur les conditions initiales. Des simulations numériques montrent alors qu'après une inversion approchée, la fonction ''H(t)'' commence bien par décroitre comme le prédisait Loschmidt, mais qu'''elle se remet très rapidement à croître à nouveau'' et ce pour presque toutes les conditions initiales approchées, l'orbite réelle du système différant de l'orbite initiale exacte inversée. === Le paradoxe de Zermelo === ==== Le paradoxe de Zermelo (1896) ==== En 1890, alors qu'il étudie le [[problème à N corps|problème à 3 corps]] en [[mécanique céleste]], [[Henri Poincaré|Poincaré]] démontre un théorème très général : le [[théorème de récurrence]] <ref>Henri Poincaré ; ''Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique'', Acta Mathamatica '''13''' (1890), 1-270.</ref>{{,}}<ref>Ludwig Boltzmann ; ''Uber einen mechanischen Satz von Poincaré'', Wien. Ber. '''106''' (1897), 12.</ref>. Ce théorème dit que, pour presque toutes les conditions initiales, un système dynamique ''conservatif'' dont l'[[espace des phases]] est de volume fini<ref>Par exemple, les molécules sont contenues dans un récipent de volume fini, excluant ainsi que les positions deviennent infinies. On supposera également que les vitesses restent toujours finies.</ref> va repasser au cours du temps aussi près que l'on veut de sa condition initiale, et ce de façon répétée<ref>Il existe quelques états exceptionnels pour lequel ceci n'est pas vérifié, mais ces état exceptionnels sont négligeables parmi tous les états possibles, et ce en un sens qui peut être rendu mathématiquement précis.</ref>. Zermelo<ref>Ernst Zermelo ; ''Uber einen Satz der Dynamik une der mechanischen Wärmetheorie'', Wied. Ann. '''57''' (1896), 793.</ref> fait alors remarquer à Boltzmann en 1896 que le théorème de récurrence de Poincaré semble contredire le fait qu'une grandeur dynamique puisse varier de façon monotone, comme <math> H(t) </math> le fait. La réponse de Boltzmann<ref>Ludwig Boltzmann ; ''Entgegnung auf die wärmetheoretische Betrachtung des Herrn Zermelo'', Wied. Ann. \textbf{57} (1896), 773 ; et : \textbf{60} (1897), 392.</ref> consiste à estimer le temps de récurrence moyen : pour un gaz macroscopique contenant <math>N \gg 1</math> molécules, Boltzmann estime celui-ci d'ordre <math>10^N</math>, une durée qui est largement supérieure à l'age de l'univers<ref>Environ 15 milliards d'années.</ref> lorsque <math> N \sim \mathcal{N}_A = 6.02 \ 10^{+23} </math> ; les récurrences sont donc invisibles à notre échelle. ==== Le modèle des urnes d'Ehrenfest (1907) ==== {{Article détaillé|Modèle des urnes d'Ehrenfest}} Le « modèle des urnes » est un modèle stochastique introduit en 1907 par les époux Paul & Tatiana [[Paul Ehrenfest|Ehrenfest]]<ref>Paul Ehrenfest & Tatiana Ehrenfest ; ''Ueber zwei bekannte Eingewände gegen das Boltzmannsche H-Theorem'', Zeitschrift für Physik '''8''' (1907), 311-314.</ref> pour clarifier les paradoxes précédents apparus à la fin du {{s-|XIX|e}} dans les fondements de la mécanique statistique<ref>Pour une revue des fondements conceptuels de la mécanique statistique à cette époque, on pourra lire l'article classique (paru initialement en allemand en 1912) : Paul & Tatiana Ehrenfest ; ''The Conceptual Foundations of the Statistical Approach in Mechanics'', Dover, Inc. (1990), ISBN 0-486-66250-0. Niveau second cycle universitaire.</ref>. Ce modèle est parfois également appelé le « modèle des chiens & des puces<ref>D'après l'anglais : « ''dog-flea model'' ».</ref> ». Le mathématicien [[Mark Kac]] a écrit<ref>Mark Kac ; ''Probability and Related Topics in Physical Science'', Lectures in Applied Mathematics Series '''1a''', American Mathematical Society (1957), ISBN 0-8218-0047-7.</ref> à son propos qu'il était : <blockquote> « ... ''probablement l'un des modèles les plus instructifs de toute la physique'' ... » </blockquote> Ce modèle est exactement soluble ; en particulier, on sait calculer le temps de récurrence moyen de chaque état, ainsi que sa variance pour certains états intéressants. ==== Le théorème de Lanford (1973) ==== [[Oscar E Lanford III|Lanford]] a démontré rigoureusement<ref>Oscar E Lanford III ; ''Time Evolution of Large Classical Systems'', dans : ''Dynamical Systems, Theory and Application'', J. Moser (éditeur), Springer-Verlag (1975). Lire également : Oscar E Lanford III ; ''On a derivation of the Boltzmann equation'', dans : ''Nonequilibrium phenomena I: The Boltzmann equation'', Joël L Lebowitz & Elliott W Montroll (éditeurs), North-Holland (1983), 3-17.</ref> qu'un gaz de sphères dures dilué dans <math>\mathbb{R}^3</math> obéit à l'[[équation de Boltzmann]] dans la limite de Boltzmann-Grad, au moins pour un temps très court, égal seulement à un cinquième du temps de parcours moyen d'un atome<ref>Temps moyen entre deux collisions consécutives.</ref>. En dépit de cette restriction sur la durée, ce théorème mathématique rigoureux est très important conceptuellement, puisque l'équation de Boltzmann entraine le théorème H. Il est donc aujourd'hui acquis que les mathématiques de Boltzmann ne sont pas « douteuses » ! == Articles connexes == * [[Équation de Boltzmann]] * [[Entropie]] * [[Modèle des urnes d'Ehrenfest]] == Bibliographie == === Ouvrages de référence === * Anouk Barberousse ; ''La mécanique statistique - De Clausius à Gibbs'', Collection Histoire des Sciences, Belin (2002),ISBN 2-7011-3073-5. Cette collection originale propose une histoire du développement de la théorie cinétique des gaz basée sur des extraits des grands textes fondateurs (traduits en français) mis en perspective contemporaine par une historienne des sciences (CNRS). Accessible dès le niveau premier cycle universitaire. * Ludwig Boltzmann ; ''Leçons sur la théorie des gaz'', Gauthier-Villars (1902-1905). Réédition Jacques Gabay (1987), ISBN 2-87647-004-7. * Carlo Cercignani ; ''Ludwig Boltzmann - The man who Trusted Atoms'', Oxford University Press (1998) 330 pp. ISBN 0-19-850154-4. Biographie scientifique du grand professeur Boltzmann, qui a porté la théorie cinétique des gaz à son acmée. Par un professeur de Physique Mathématique de l'Université de Milan (Italie), spécialiste de l'équation de Boltzmann. Niveau plutôt second cycle universitaire. * Lawrence Sklar ; ''Physics and Chance - Philosophical Issues in the Foundations of Statistical Mechanics'', Cambridge University Press (1995), ISBN 0-521-55881-6. === Bibliothèque virtuelle === ==== Cours ==== * Noëlle Pottier ; ''Physique statistique hors d'équilibre : équation de Boltzmann, réponse linéaire.'', cours du DEA de Physique des Solides (Master 2) de la région parisienne (1999-2000). [http://www.lpthe.jussieu.fr/DEA/pottier.html Fichiers PostScript] * Jean Bellissard ; ''Mécanique Statistique des Systèmes hors d'Équilibre'', cours de Master 2, Université Paul Sabatier (Toulouse). [http://www.math.gatech.edu/~jeanbel/Teaching/UM2/coursUM2.pdf pdf]. ==== Articles ==== * Jos Uffink ; [http://plato.stanford.edu/entries/statphys-Boltzmann''Boltzmann's Work in Statistical Physics''], Stanford Encyclopedia of Philosophy (2004). * Jos Uffink ; ''Compendium of the foundations of classical statistical physics'', (2006), à paraître dans : ''Handbook for Philsophy of Physics'', J Butterfield & J Earman (éditeurs) (2007). [http://philsci-archive.pitt.edu/archive/00002691/01/UffinkFinal.pdf pdf]. * Sergio B. Volchan ; ''Probability as typicality'', article soumis à : ''Studies in History and Philosophy of Modern Physics''. ArXiv : [http://fr.arxiv.org/abs/physics?papernum=0611172 physics/0611172]. * Joël L Lebowitz ; ''Macroscopic Laws, Microscopic Dynamics, Time's Arrow and Boltzmann's Entropy'', Physica '''A 194''' (1993), 1-27. [http://www.math.rutgers.edu/~lebowitz/PUBLIST/lebowitz_360.pdf pdf]. * Joël L Lebowitz ; ''Boltzmann's Entropy and Time's Arrow'', Physics Today '''46''' (September 1993), 32-38. [http://www.math.rutgers.edu/~lebowitz/PUBLIST/lebowitz_370.pdf pdf]. Contient également les réponses aux lecteurs publiées dans : Physics Today '''47''' (1994), 113-116. * Joël L Lebowitz ; ''Microscopic Reversibility and Macroscopic Behavior: Physical Explanations and Mathematical Derivations'', Turkish Journal of Physics '''19''' (1995), 1-20. Aussi dans : ''25 Years of Non-Equilibrium Statistical Mechanics'', Proceedings, Sitges Conference, Barcelona, Spain, 1994, dans : Lecture Notes in Physics, J.J. Brey, J. Marro, J.M. Rubí and M. San Miguel (eds.), Springer, 1995. Texas 96-163. ArXiv : [http://fr.arxiv.org/abs/cond-mat/9605183 cond-mat/9605183]. * Joël L Lebowitz ; ''Statistical Mechanics: A Selective Review of Two Central Issues'', Reviews of Modern Physics '''71''' (1999), S346. ArXiv : [http://fr.arxiv.org/abs/math-ph/0010018 math-ph/0010018]. * Joël L Lebowitz ; ''Microscopic Origins of Irreversible Macroscopic Behavior'', Physica '''A 263''' (1999), 516-527. Table ronde sur l'irréversibilité de la conférence STATPHYS20 (Paris, 22 juillet 1998). [http://www.math.rutgers.edu/~lebowitz/PUBLIST/jll.pub_442.pdf pdf]. * Joël L Lebowitz ; ''Microscopic Origins of Irreversible Macroscopic Behavior: An overview''. Article de revue non publié ; [http://www.math.rutgers.edu/~lebowitz/PUBLIST/2000jllpaper-464.pdf pdf]. * Sheldon Goldstein & Joël L. Lebowitz ; ''On the (Boltzmann) Entropy of Nonequilibrium Systems'', Physica '''D 193''' (2004), 53-66. ArXiv : [http://fr.arxiv.org/abs/cond-mat/0304251 cond-mat/0304251]. * P.L. Garrido, Sheldon Goldstein & Joel L Lebowitz ; ''The Boltzmann Entropy for Dense Fluids Not in Local Equilibrium'', Physical Review Letters '''92''' (2003), 050602. ArXiv : [http://fr.arxiv.org/abs/cond-mat/0310575 pdf]. * Joël L Lebowitz ; ''On the Microscopic Origin of Macroscopic Phenomena''. Article pour le 40ème anniversaire du ''Center for Mathematical Physics'', Trieste, Italie (2004). [http://www.math.rutgers.edu/~lebowitz/PUBLIST/ictp.pdf pdf]. == Notes == {{Références}} {{portail physique}} [[Catégorie:Physique statistique]] [[Catégorie:Théorème de physique|H]] [[en:H-theorem]] [[ja:H定理]]