Théorème de l'élément primitif 277484 26849633 2008-02-29T15:00:39Z Jean-Luc W 53231 /* Motivation */ lien En [[mathématiques]], et plus spécifiquement en [[algèbre]] pour la [[théorie de Galois]], le '''théorème de l'élément primitif''' est un des théorèmes de base dans le cas des [[extension finie|extensions finies]] de [[corps (mathématiques)|corps]]. Le théorème établit une équivalence si l'extension est finie entre la notion d'[[extension séparable]], le nombre de morphismes de l'extension dans la [[clôture algébrique]] laissant invariant le corps de base et l'existence d'un élément séparable générant l'extension. Ce théorème fait partie des deux piliers de la théorie de Galois dans le cas des extensions finies. Il établit une équivalence qui introduit la notion de séparabilité. Il est utilisé par exemple pour la démonstration du [[théorème fondamental de la théorie de Galois]]. == Motivation== ''Article détaillé: [[Extension séparable]]'' La théorie de Galois, possède comme structure fondamentale le [[groupe de Galois]], ce groupe permet de démontrer une série de résultats [[géométrie|géométriques]], comme la caractérisation des [[nombre constructible|nombres constructibles]] pour déterminer par exemple les polygones réguliers [[construction à la règle et au compas|constructibles à la règle et au compas]], la résolution d'[[équation polynômiale|équations algébriques]] ou d'établir des résultats en [[théorie des nombres]] comme le [[grand théorème de Fermat]] dans beaucoup de cas particuliers. Comme autre exemple de ce groupe, on peut citer la caractérisation des [[corps fini|corps finis]]. Le groupe permet de déterminer la structure exacte du corps ainsi que la nature des différents polynômes à coéfficients dans ce corps. Pour permettre ces démonstrations, le groupe de Galois doit être suffisamment ''vaste'', ce qui signifie deux propriétés : l'extension doit être séparable et [[extension normale|normale]]. Un élément de l'extension est dit séparable si et seulement si son [[polynôme minimal d'un nombre algébrique|polynôme minimal]] à coefficients dans ''K'' ne possède pas de racines multiples dans sa [[clôture algébrique]]. Une extension est dite séparable si tous ses éléments le sont. Le théorème indique qu'il suffit qu'un élément bien choisi soit séparable pour que toute l'extension le soit. Cette propriété est importante car la racine d'un polynôme est toujours transformée par un élément du groupe de Galois en une autre racine. S'il existe des racines multiples, alors le groupe devient trop ''petit'' pour que le [[théorème fondamental de la théorie de Galois]] puisse s'appliquer. Dans le cas où l'extension est de dimension finie en tant qu'[[espace vectoriel]] sur le corps de base ''K'', si l'extension est séparable alors le nombre de morphismes de l'extension dans la clôture algébrique est le bon. Il existe de plus une propriété forte: il existe un élément ''l'' de l'extension tel que ''L'' est égal à ''K''(''l'') c’est-à-dire que ''L'' est la plus petite extension contenant ''K'' et ''l'' et bien sûr ''l'' est séparable. On parle alors d'[[extension simple]] algébrique. La réciproque est aussi vraie et est constitutif du théorème de l'élément primitif. == Énoncé du théorème == Soit ''L'' une extension finie de dimension n sur un corps ''K'', et Ω la clôture algébrique de ''K''. Alors le théorème de l'élément primitif prend la forme suivante: :* Les quatre conditions suivantes sont équivalentes: # L'extension ''L'' est séparable sur ''K''. # L'extension est engendrée par des éléments séparables. # Il existe exactement n morphismes de ''L'' dans Ω laissant invariant ''K''. # ''L'' est une [[extension simple]] générée par un élément séparable. ''Remarque: Il existe d'autres expressions du théorème de l'élément primitif, par exemple: toute extension séparable finie est simple. Une autre forme est la suivante: l'extension ''L'' est simple si et seulement si elle contient un nombre fini d'extensions de K.'' ==Cas des corps parfaits == La séparation est une propriété relativement fréquente dans les extensions algébriques. Par exemple si le corps ''K'' est de [[caractéristique d'un anneau|caractéristique]] 0 alors toute extension est séparable. La caractéristique d'un corps est nulle si l'addition réitérée de l'unité n'est jamais nulle. En conséquence, toute extension du corps des [[nombre rationnel|nombres rationnels]] ou des [[nombre réel|nombres réels]] est séparable. Tout [[corps fini]] ne possède aussi que des extensions algébriques séparables. Un corps qui n'admet que des extensions séparables est dit [[corps parfait|parfait]]. ==Démonstration== :'''La proposition 1 implique la proposition 2''' Le résultat est immédiat. :'''La proposition 2 implique la proposition 3''' C'est une conséquence des deux dernières propositions démontrées dans le paragraphe [[Extension séparable#Morphisme dans la clôture algébrique|Morphisme dans la clôture algébrique]]. :'''La proposition 3 implique la proposition 4''' Supposons qu'il existe un élément ''l'' de ''L'' ayant n images distinctes par les n morphismes de la proposition 3. Alors son polynôme minimal est de degré n, et ''K(l)'' est un espace vectoriel inclus dans ''L'' et de même dimension. Les deux espaces sont égaux et la proposition est démontrée. Il suffit alors de démontrer l'existence de ''l'', ce qui est fait en fin de paragraphe. :'''La proposition 4 implique la proposition 1''' Soit ''l'' un générateur de ''L''. ''l'' est d'ordre n et donc il existe n morphismes de ''L'' dans Ω laissant invariant ''K''. Soit alors ''r'' un élément quelconque de ''L'' alors ''L'' est une extension de ''K(r)'' et chaque morphisme de ''L'' est la composée d'un morphisme de ''K(r)'' étendu à ''L'' et d'un morphisme de ''L'' laissant invariant ''K(r)''. Soit n<sub>r</sub> le nombre de morphismes de ''K(r)'' dans Ω laissant invariant ''K'' et n' le nombre de morphismes de ''L'' dans Ω laissant invariant ''K(r)''. Nous avons les trois égalités: n<sub>r</sub>.n' = n, n<sub>r</sub> est inférieur ou égal à ''[K(r):K]'', n' est inférieur ou égal à ''[L:K(r)]'' et ''[L:K(r)].[K(r):K]''=n. On en conclu que n<sub>r</sub> est égal à ''[L:K(r)]''. Les images de ''r'' par les différents morphismes de ''K(r)'' dans Ω laissant invariant ''K'' sont distinctes deux à deux car sinon les morphismes seraient confondus. Le polynôme minimal de ''r'' admet donc ''[K(r):K]'' racines distinctes. Nous avons démontré que ''r'' est séparable. :'''Si ''K'' est un corps fini, alors il existe un élément ''l'' de ''L'' ayant n images distinctes par les n morphismes de la proposition 3.''' Si ''K'' est un corps fini, alors le groupe multiplicatif associé à ''L'' est un groupe cyclique. Si ''l'' est choisi parmi les éléments générateurs du groupe, alors il possède n images distinctes par les n morphismes. Sinon, il existerait des morphismes confondus. Et la proposition est démontrée. :'''Si ''K'' est un corps infini, alors il existe un élément ''l'' de ''L'' ayant n images distinctes par les n morphismes de la proposition 3.''' Considérons V<sub>ij</sub> l'ensemble des vecteurs de ''L'' ayant même image par le i{{e}} et le j{{e}} morphisme. V<sub>ij</sub> est un sous-espace vectoriel différent de ''L''. Une propriété sur les [[Sous-espace vectoriel#Union de sous-espaces vectoriels|unions des espaces vectoriels]] montre que l'union des V<sub>ij</sub> n'est pas égal à ''L''. Il existe donc un élément ''l'' de ''L'' qui n'est élément d'aucun V<sub>ij</sub>. Son polynôme minimal admet donc n racines distinctes. Ce polynôme minimal possède un degré qui divise n, d'après une propriété démontrée dans l'article [[Extension algébrique#Extension algébrique et sur-corps|Extension algébrique]]. Son degré est donc exactement n. ''l'' est donc générateur et séparable et la démonstration est terminée. ==Voir aussi== ===Liens externes=== *{{fr}} [http://www.les-mathematiques.net/b/b/f/node3.php3 Théorème de l'élément primitif dans les mathématiques.net] *{{en}} [http://www.mathreference.com/fld-sep,pet.html Théorème de l'élément primitif dans mathreference.com] *{{en}} [http://planetmath.org/encyclopedia/ProofOfPrimitiveElementTheorem2.html Théorème de l'élément primitif dans planetmath.org] *{{en}} [http://www.math.cornell.edu/~kbrown/434/primitive.pdf Théorème de l'élément primitif dans le site de l'université de Cornell] ===Références=== :R. et [[Adrien Douady|A. Douady]] ''Algèbre et théories galoisiennes'' Cedic/Fernand Nathan 1978 :S. Lang ''Algebre'' Dunod 2004 :P. Samuel ''Théorie algébrique des nombres'' Hermann Paris 1971 {{Théorie de Galois}} {{portail mathématiques}} [[Catégorie:Théorie de Galois]] [[Catégorie:Théorème d'algèbre|Elément primitif]] [[en:Primitive element theorem]] [[es:Elemento primitivo]] [[ca:Element primitiu]]