Théorème de la progression arithmétique 697537 30064517 2008-05-27T21:56:53Z Valvino 116222 mise en page [[Image:johann_dirichlet.jpg|thumb|250px|right|Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, auteur de théorème]] En [[mathématiques]], et plus particulièrement en [[théorie des nombres]], le '''théorème de la progression arithmétique''', dû au mathématicien allemand [[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet|Gustav Lejeune-Dirichlet]], s'énonce de la façon suivante : :« Pour tous [[entier naturel|entiers naturels]] non nuls ''n'' et ''m'' [[premiers entre eux]], il existe une infinité de [[nombre premier|nombres premiers]] de la forme ''n'' + ''a'' ''m'', où ''a'' est un entier positif. » ce qui est équivalent à l'énoncé suivant : :« Pour tous entiers non nuls ''n'' et ''m'' [[premiers entre eux]], il existe une infinité de nombres premiers dans la [[Anneau Z/nZ|classe]] de ''m'' [[Congruence sur les entiers|modulo]] ''n''. » Ce théorème utilise à la fois les résultats de l'[[arithmétique modulaire]] et ceux de la [[théorie analytique des nombres]]. == Signification du théorème == Ce théorème généralise le théorème d'[[Euclide]] d'après lequel il existe une infinité de nombres premiers. Il indique que si l'on construit un tableau comme le suivant, alors certaines lignes possèderont au plus un nombre premier, ''(indiqué en rouge sur la figure)'' et il sera, s'il existe, toujours en première colonne. Cette configuration se présente ici pour les lignes commençant par 3, 6 et 9. Les autres contiendront toujours un nombre infinis de nombres premiers (ici de premier élément 1, 2, 4, 5, 7 et 8). Les lignes contenant au plus un nombre premier sont celles dont la première valeur contient un diviseur commun avec le nombre dans la dernière ligne et première colonne. On peut aller plus loin. La répartition statistique est presque la même dans chaque ligne. Et plus la ligne est longue, plus les répartitions statistiques se ressemblent, pour devenir exactement les mêmes. Vu sous cet angle, les nombres premiers sont remarquablement bien ordonnés. Ce résultat est démontré par le [[théorème de densité de Chebotarev]] une généralisation du travail de Dirichlet. Dans l'exemple cité, les lignes commençant avec un entier premier avec 9 en contiennent entre 8 et 5, soit une variation inférieure à 40%. En revanche, si le tableau est prolongé jusqu'à la valeur 1 000 alors le nombre de nombres premiers dans les colonnes en contenant une infinité ne varie plus que de 26 à 29, soit une variation de moins de 10%. Une autre analyse est réalisée sur l'apparition du premier nombre premier dans une ligne, elle est l'objet du [[Théorème de Linnik]]. <center> {| class="wikitable" | &nbsp;1 || &nbsp;10 ||bgcolor="#FF6666" | &nbsp;19 || &nbsp;28 ||bgcolor="#FF6666" | &nbsp;37 || &nbsp;46 || &nbsp;55 || &nbsp;64 ||bgcolor="#FF6666" | &nbsp;73 || &nbsp;82 || &nbsp;91 || &nbsp;100 ||bgcolor="#FF6666" | &nbsp;109 || &nbsp;118 ||bgcolor="#FF6666" | &nbsp;127 || &nbsp;136 || &nbsp;145 |- |bgcolor="#FF6666" | &nbsp;2 ||bgcolor="#FF6666" | &nbsp;11 || &nbsp;20 ||bgcolor="#FF6666" | &nbsp;29 || &nbsp;38 ||bgcolor="#FF6666" | &nbsp;47 || &nbsp;56 || &nbsp;65 || &nbsp;74 ||bgcolor="#FF6666" | &nbsp;83 || &nbsp;92 ||bgcolor="#FF6666" | &nbsp;101 || &nbsp;110 ||bgcolor="#FF6666" | &nbsp;119 || &nbsp;128 ||bgcolor="#FF6666" | &nbsp;137 || &nbsp;146 |- |bgcolor="#FF6666" | &nbsp;3 || &nbsp;12 || &nbsp;21 || &nbsp;30 || &nbsp;39 || &nbsp;48 || &nbsp;57 || &nbsp;66 || &nbsp;75 || &nbsp;84 || &nbsp;93 || &nbsp;102 || &nbsp;111 || &nbsp;120 || &nbsp;129 || &nbsp;138 || &nbsp;147 |- | &nbsp;4 ||bgcolor="#FF6666" | &nbsp;13 || &nbsp;22 ||bgcolor="#FF6666" | &nbsp;31 || &nbsp;40 || &nbsp;49 || &nbsp;58 ||bgcolor="#FF6666" | &nbsp;67 || &nbsp;76 || &nbsp;85 || &nbsp;94 ||bgcolor="#FF6666" | &nbsp;103 || &nbsp;112 || &nbsp;121 || &nbsp;130 ||bgcolor="#FF6666" | &nbsp;139 || &nbsp;148 |- | &nbsp;5 || &nbsp;14 ||bgcolor="#FF6666" | &nbsp;23 || &nbsp;32 ||bgcolor="#FF6666" | &nbsp;41 || &nbsp;50 ||bgcolor="#FF6666" | &nbsp;59 || &nbsp;68 || &nbsp;77 || &nbsp;86 || &nbsp;95 || &nbsp;104 ||bgcolor="#FF6666" | &nbsp;113 || &nbsp;122 ||bgcolor="#FF6666" | &nbsp;131 || &nbsp;140 ||bgcolor="#FF6666" | &nbsp;149 |- | &nbsp;6 || &nbsp;15 || &nbsp;24 || &nbsp;33 || &nbsp;42 || &nbsp;51 || &nbsp;60 || &nbsp;69 || &nbsp;78 || &nbsp;87 || &nbsp;96 || &nbsp;105 || &nbsp;114 || &nbsp;123 || &nbsp;132 || &nbsp;141 || &nbsp;150 |- |bgcolor="#FF6666" | &nbsp;7 || &nbsp;16 || &nbsp;25 || &nbsp;34 ||bgcolor="#FF6666" | &nbsp;43 || &nbsp;52 ||bgcolor="#FF6666" | &nbsp;61 || &nbsp;70 ||bgcolor="#FF6666" | &nbsp;79 || &nbsp;88 ||bgcolor="#FF6666" | &nbsp;97 || &nbsp;106 || &nbsp;115 || &nbsp;124 ||bgcolor="#FF6666" | &nbsp;133 || &nbsp;142 ||bgcolor="#FF6666" | &nbsp;151 |- | &nbsp;8 ||bgcolor="#FF6666" | &nbsp;17 || &nbsp;26 || &nbsp;35 || &nbsp;44 ||bgcolor="#FF6666" | &nbsp;53 || &nbsp;62 ||bgcolor="#FF6666" | &nbsp;71 || &nbsp;80 ||bgcolor="#FF6666" | &nbsp;89 || &nbsp;98 ||bgcolor="#FF6666" | &nbsp;107 || &nbsp;116 || &nbsp;125 || &nbsp;134 ||bgcolor="#FF6666" | &nbsp;143 || &nbsp;152 |- | &nbsp;9 || &nbsp;18 || &nbsp;27 || &nbsp;36 || &nbsp;45 || &nbsp;54 || &nbsp;63 || &nbsp;72 || &nbsp;81 || &nbsp;90 || &nbsp;99 || &nbsp;108 || &nbsp;117 || &nbsp;126 || &nbsp;135 || &nbsp;144 || &nbsp;153 |- |} </center> == Histoire == === Préhistoire === L'intérêt pour les nombres premiers est ancien et omniprésent dans l'histoire des mathématiques. Euclide <small>(vers [[-325]]- vers [[-265]])</small> y consacre le chapitre VII de son livre les [[Éléments d'Euclide|éléments]]. On peut aussi citer les travaux de [[Sun Zi (mathématicien)|Sun Zi ou Sun Tzu]] écrit vers l'an [[300]] établissant une première version<ref>[[Sun Zi (mathématicien)|Sun Zi]] ''Sunzi suanjing'' Manuel de mathématiques de Sun Zi vers [[300]]</ref> du [[théorème des restes chinois]] et surtout [[Qin Jiushao|Ch'in Chiu-Shao ou Qin Jiushao]] <small>([[1202]] - [[1261]])</small> qui en développe une version<ref>[[Qin Jiushao]] ''Shushu Jiuzhang'', Traité de mathématique en neuf chapitres [[1247]]</ref> suffisamment sophistiquée pour dépasser le niveau européen du {{XVIIIe siècle}}. On peut citer [[George Sarton]] qui le considère comme l'un des plus grand mathématiciens de tout les temps<ref>Ho Peng Yoke ''Li, Qi, and Shu An Introduction to Science and Civilization in China'', p 89 Hong Kong University Press, 1985</ref>. Le {{XVIIe siècle}} est celui où les mathématiques européennes, et particulièrement françaises se réapproprient le savoir de l'antiquité et l'apport de la civilisation arabe. En [[1621]] [[Claude-Gaspard Bachet de Méziriac]] <small>([[1581]] - [[1638]])</small> traduit le livre de [[Diophante d'Alexandrie]] <small>(env. [[200]]/[[214]] - env. [[284]]/[[298]])</small> intitulé [[Arithmetica]] en latin. [[Pierre de Fermat]] <small>([[1601]] - [[1665]])</small> l'annote<ref>[[Pierre de Fermat]] ''Remarques sur Diophante'' par Pierre Samuel fils de Fermat 1670</ref>. === Vers une formalisation === [[Leonhard Euler]] <small>([[1707]] - [[1783]])</small> résout plusieurs [[équation diophantienne|équations diophantiennes]] laissées ouvertes par le siècle précédent. On peut citer travaux sur le [[théorème des deux carrés de Fermat]]<ref>[[Leonhard Euler]] ''Correspondance'' à Goldbach 12 avril 1749</ref> où sa résolution du [[grand théorème de Fermat]] pour le cas où ''n'' est égal à trois, après un premier échec<ref>[[Leonhard Euler]] ''Algèbre'' 1770</ref>. Dans ce domaine, s'il se montre particulièrement adroit en résolvant pour la première fois des problèmes ouverts depuis parfois plus d'un siècle, il n'est néanmoins pas novateur. Les outils utilisés sont ceux de l'antiquité pour l'[[arithmétique]] et les techniques [[algèbre|algébriques]] de son temps. En [[1735]], à la suite d'une étude pour la résolution du [[problème de Mengoli]], Euler étudie<ref>[[Leonard Euler]] ''Démonstration de la somme de cette suite 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + 1/36 + etc'' Journal lit. d'Allemagne, de Suisse et du Nord 2 p 115-127 1743</ref> des produits infinis. Deux ans plus tard, il démontre une étrange formule<ref>G. L. Alexanderson et Al ''A tribute to Leonhard Euler,'' Mathematic magazine 59 n° 5 p 260 325, 1983</ref> maintenant nommé [[produit eulérien]]. Cette formule relie par exemple un produit infini de nombre premier avec la surface d'un cercle. Son écriture en série est celle de la [[fonction zeta de Riemann|fonction ζ de Riemann]]. Elle offre de plus la première information statistique sur la distribution des nombres premiers. En [[1801 en science|1801]] [[Carl Friedrich Gauss]] <small>([[1777 en science|1777]] - [[1855 en science|1855]])</small> publie<ref>[[Carl Friedrich Gauss]], ''Recherches arithmétiques'', 1801 Traduction M. Poullet-Delisle Ed. Courcier 1807</ref> ses célèbres [[Disquisitiones arithmeticae]]. Il offre les bases d'une [[théorie algébrique des nombres]], que l'on appelle [[arithmétique modulaire]]. Son livre analyse les propriétés des modules [[anneau Z/nZ|Z/nZ]] et pour démontrer la [[loi de réciprocité quadratique]] développe un cas particulier de [[caractère d'un groupe fini]], celui des modules si ''p'' est un nombre premier. Il conjecture le théorème de l'article, sans pouvoir le démontrer. === Apports de Dirichlet === En [[1837 en science|1837]] Dirichlet démontre une première version<ref>[[Dirichlet]] ''Beweis eines Satzes über die arithmetische Progression'' Bericht über die Verhandlungen der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften. Jahrg. 1837, S. 108-110 p.307-312 [[1837 en science|1837]]</ref> du théorème de l'article, en supposant que ''n'' est premier. Il démontre l'année suivante le cas où ''n'' n'est pas premier et en [[1841 en science|1841]] généralise la démonstration aux [[entier de Gauss|entiers de Gauss]]. La démonstration est d'un intérêt considérable en [[arithmétique]]. Elle relie la nouvelle théorie de Gauss aux idées, apparemment si éloignés, d'Euler. Il enrichit de plus chacune des deux branches. L'apport algébrique pour la théorie des nombres consiste essentiellement dans le développement de l'[[analyse harmonique]]. Dirichlet a travaillé<ref>[[Dirichlet]] ''Solution d'une question relative à la théorie mathématique de la chaleur'' Journal de Crelle. Berlin 5, p 287-295 [[1830]]</ref> sur les découvertes de [[Joseph Fourier]] <small>([[1768]] - [[1830 en science|1830]])</small>. Pour la démonstration de son théorème il utilise les même méthodes, cette fois pour un [[groupe abélien fini]]. [[Charles Gustave Jacob Jacobi|C. G. J. Jacobi]] <small>([[1804 en science|1804]] - [[1851 en science|1851]])</small> dit de lui : ''En appliquant les séries de Fourier à la théorie des nombres, Dirichlet a récemment trouvé des résultats atteignant les sommets de la perspicacité humaine''<ref>W. Ahrens ''Briefwechsel zwischen C. G. J. Jacobi und M. H. Jacobi'' The Mathematical Gazette, Vol. 4, No. 71 pp. 269-270, 1908</ref>. La théorie des [[caractère d'un groupe fini|caractères d'un groupe fini]] pour le cas abélien est pratiquement complète. Son apport en analyse est non moins innovateur. A chaque caractère, il associe un [[produit eulérien|produit]] infini analogue à celui d'Euler. Il montre l'équivalence de ces produits à des séries, maintenant nommé [[série L de Dirichlet]] dont un cas particulier est la [[fonction zeta de Riemann|fonction ζ de Riemann]]. L'essentiel de la démonstration consiste alors à déterminer si l'unité est oui ou non une racine de ces séries. On reconnait là, l'analogie profonde avec l'[[hypothèse de Riemann]]. Cette article marque la naissance d'une nouvelle branche des mathématiques : la [[théorie analytique des nombres]] avec ses outils fondamentaux : les produits eulériens, ou les séries L de Dirichlet et son intime relation avec l'arithmétique modulaire. == Démonstration == Ici, ''n'' désigne un nombre strictement positif et ''m'' une classe du [[groupe des unités]] de l'[[anneau Z/nZ]]. L'objectif est de montrer que ''m'' contient une infinité de nombres premiers. ''P'' désigne l'ensemble des nombres premiers, ''S'' le demi-[[plan complexe]] dont tous les éléments ont une partie [[nombre réel|réelle]] est strictement supérieure à 1 et ''s'' un [[nombre complexe]] élément de ''S''. Si ''c'' désigne un complexe, ''c''<sup>*</sup> désigne son [[conjugué]]. Le groupe des unités de ''Z''/''nZ'' est désigné par la lettre ''U'', un [[caractère de Dirichlet]] par le symbole χ et le groupe des caractères <math>\scriptstyle \widehat U </math>. === La fonction ω (s,u) === {{Article détaillé|Caractère de Dirichlet}} L'objectif est de définir une fonction ω, à valeur dans ''S''x''U'' dont le comportement détermine le cardinal de l'ensemble des nombres premiers inclus dans ''m''. :* ''La fonction ω, de ''S''x''U'' dans l'ensemble des nombres complexes et définie par la formule suivante est [[convergence absolue|absolument convergente]] sur son domaine de définition.'' <center><math>\forall u \in \mathbb U, \quad \omega (s,u) = \sum_{p \in \mathcal P \ p^k \in u}\sum_{k=1}^{+\infty} \frac 1{k(p^k)^s} </math></center> :* '' Si ''m'' ne contient qu'un nombre fini de nombres premiers alors ω possède une limite en (1, ''m'').'' Une fois cette proposition établie, il suffit de montrer que la fonction diverge en ''un'' pour démontrer le théorème. {{boîte déroulante|align=left|titre=Démonstration|contenu= :* '''La fonction ω est absolument convergente sur son domaine de définition.''' Cette proposition est démontrée dans le paragraphe [[Caractère de Dirichlet#Produit eulérien|Produit eulérien]] de l'article détaillé. :*'''Si ''m'' ne contient qu'un nombre fini de nombres premiers alors ω possède une limite en (1, ''m'').''' Il suffit pour s'en rendre compte, de diviser la somme en deux et de montrer que le deuxième terme est absolument convergent autour de la valeur ''un''. <center><math>\forall s \in S,\quad \forall u \in \mathbb U, \quad \omega (s,u)= \sum_{p \in \mathcal P \ p \in u} \frac 1{p^s} + \psi (u) \quad \mathrm{avec} \quad \psi (s,u) = \sum_{k=2}^{+\infty} \sum_{p \in \mathcal P \ p^k \in u}\frac 1{k(p^k)^s} </math></center> On remarque que ψ(''s'', ''u'') est majoré par un, en effet : <center><math>\psi (s,u) \le \sum_{i = 2}^{+\infty} \sum_{k = 2}^{+\infty}\frac1{n^k} = \sum_{i = 2}^{+\infty} \frac 1{n(n-1)} = 1 </math></center> S'il n'existe qu'un nombre fini de nombres premiers dans ''m'', alors le premier terme est une simple [[fraction rationnelle]] définie sur le plan complexe entier. }} === Délocalisation des nombres premiers === {{Article détaillé|Analyse harmonique sur un groupe abélien fini}} La difficulté réside dans le fait que la sommation n'est réalisée que sur les nombres premiers inclus dans ''m''. Euler fournit bien une mesure des nombres premiers, mais elle couvre intégralement ''Z''. Cependant, la fonction ω dépend d'un paramètre ''u'' élément d'un [[groupe abélien fini]]. Or un tel groupe possède une analyse harmonique puissante, les fonctions trigonométriques sont remplacées par les [[caractère d'un groupe fini|caractères]] et l'on dispose d'une [[transformée de Fourier]] et du [[théorème de Plancherel]], il permet de délocaliser l'ensemble des nombres premiers : :* ''La fonction ω est égale à l'expression suivante sur son domaine de définition :'' <center><math>\forall s \in S, \quad \forall u \in \mathbb U, \quad \omega (s,u) = \frac 1{\varphi (n)}\sum_{\chi \in \widehat \mathbb U} \chi(u)^* \; \log \Bigg( \prod_{p \in \mathcal P} \Big(1 -\frac {\chi(p)}{p^s}\Big)^{-1} \Bigg) </math></center> La démonstration est donnée dans le paragraphe [[Caractère de Dirichlet#Produit eulérien|Produit eulérien]] de l'article [[Caractère de Dirichlet]]. === Produit eulérien === {{Article détaillé|Produit eulérien}} L'expression contient un produit eulérien, il est cependant plus simple de traiter une série traditionnelle. Or Euler a établi un calcul permettant une transformation des produits de ce type en série plus classique. :* ''La fonction ω est égale à l'expression suivante sur son domaine de définition :'' <center><math>\omega (s,u)=\frac 1{\varphi (n)}\sum_{\chi \in \widehat \mathbb U} \chi(u)^* \; \log \Big( L(s,\chi)\Big) \quad \mathrm{avec} \quad L(s, \chi) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac {\chi(k)}{k^s}</math></center> La démonstration est donnée dans le paragraphe [[Produit eulérien#Caractère de Dirichlet|Caractère de Dirichlet]] de l'article détaillé. === Série L de Dirichlet === {{Article détaillé|Série L de Dirichlet}} La constante χ(''u'')<sup>*</sup> est une racine de l'unité, elle ne s'annule donc jamais. Il reste à connaitre le comportements des fonctions ''L''(''s'', χ) autour du point ''un''. Ces fonctions sont appelées série L de Dirichlet. Si χ est le caractère principal, il est proportionnel à la [[fonction zeta de Riemann]] et est en conséquence divergeant au point ''un''. En revanche, si χ n'est pas le caractère principal sa série associée est définie et non nulle en ''un''. Ce qui permet d'énoncer la proposition suivante : :* ''Pour toute valeur de ''u'' dans le groupe des unités différente de ''un'', la fonction ω converge quand ''s'' tend vers ''un'' vers une valeur différente de ''zéro''.'' La démonstration est donnée dans le paragraphe [[Série L de Dirichlet#Comportement au point un|Comportement au point un]] de l'article détaillé. Ceci permet de conclure. Si ''m'' ne contenait qu'un nombre fini de nombres premiers alors la fonction ω convergerait d'après le premier paragraphe de la démonstration. Or elle diverge car elle est somme d'une fonction divergente et d'un nombre fini de fonctions convergentes. == Notes et références == === Voir aussi === * [[Théorème de Green-Tao]] ===Notes=== <references /> ===Liens externes=== * {{en}} [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Dirichlet.html Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet] par l'Université de St Andrew * {{en}} [http://www.uni-math.gwdg.de/tschinkel/gauss-dirichlet/elstrodt-new.pdf The life and work of Dirichlet] par Jürgen Elstrodt * {{en}} [http://www.dms.umontreal.ca/~andrew/Courses/Chapter3.pdf Infinitely many primes; complex analysis] par L'Université de Montréal de Andrew Granville et K. Soundararajan * {{en}} [http://gifted.hkedcity.net./Gifted/Download/notes/phase3/advance/Forth%20and%20Fifth%20Lecture%202007-03-10%20Dirichlet%20Theorem%20from%20CJ%20Lam.pdf Dirichlet's theorem on primes in arithmetic progression] par IMo ===Références=== * Jean-Benoît Bost, Pierre Colmez et Philippe Biane ''La fonction Zêta'', Éditions de l'École polytechnique Paris 2002 ISBN 2730210113 * Harold Davenport's ''Multiplicative number theory'', 3<sup>ème</sup> edt Springer 2000 ISBN 0387950974 * Karatsuba ''Basic analytic number theory'', Springer-Verlag 1993 ISBN 0-387-53345-1 * S. J. Patterson ''An Introduction to the Theory of the Riemann Zeta-Function'' Cambridge University Press 1995 ISBN 0521499054. [[catégorie:théorème de mathématiques|Progression]] [[catégorie : Théorie analytique des nombres]] [[Catégorie:Caractère de Dirichlet]] {{portail mathématiques}} [[bg:Теорема на Дирихле за простите числа]] [[de:Dirichletscher Primzahlsatz]] [[en:Dirichlet's theorem on arithmetic progressions]] [[es:Teorema de Dirichlet]] [[he:מספר ראשוני דיריכלה]] [[hu:Dirichlet-tétel]] [[it:Teorema di Dirichlet]] [[ja:算術級数定理]] [[ru:Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии]] [[vi:Định lý Dirichlet về cấp số cộng]] [[zh:狄利克雷定理]]