Théorème des livres ouverts
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2008-06-13T09:08:18Z
Valvino
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/* Références */ {{portail mathématiques}}
Le''' théorème des livres ouverts''' de [[Emmanuel Giroux|Giroux]] est un pont entre la [[géométrie de contact]] et la [[topologie différentielle]]. Il fait le lien entre les structures de contact et les décompositions en livre ouvert qui, en dimension trois, sont des objets purement topologiques. En dimension trois le théorème a une démonstration purement topologique et a eu de nombreuses conséquences en topologie en basse dimension. En grandes dimensions la preuve est analytique et les conséquences sont moins nombreuses, sans doute principalement à cause du peu de connaissances disponible sur les [[groupe des symplectomorphismes|groupes de symplectomorphismes]].
== Définitions ==
Dans toute la suite, <math>V</math> désigne un [[variété différentielle]] de dimension impaire <math>2n+1</math> close et orientée.
Un '''livre ouvert''' de <math>V</math> est un couple <math>(K,\theta)</math> où
* <math>K \subset V</math> est une sous-variété close de [[codimension]] deux à [[fibré normal]] trivial ;
* <math>\theta : V \smallsetminus K \to S^1</math> est une fibration qui, dans un voisinage <math>K \times D^2</math> de <math>K = K \times \{ 0 \}</math>, coïncide avec la coordonnée angulaire sur le disque <math>D^2</math>.
La sous-variété <math>K</math> est appelée reliure du livre ouvert et l'[[adhérence (mathématiques)|adhérence]] d'une fibre de <math>\theta</math> est appelée page du livre ouvert. L'orientation de <math>S^1</math> fourni une coorientation des fibres (et donc des pages) qui est convertie en orientation par l'orientation de <math>V</math>. Cette orientation fourni à son tour une orientation de la reliure comme bord des pages.
Le lien avec les structures de contact est fourni par la définition suivante dûe à Giroux où les orientation définies plus haut servent de référence :
{{énoncé|Définition|Une structure de contact est portée par le livre ouvert <math>(K,\theta)</math> si elle peut être définie par une [[forme de contact]]
<math>\alpha</math> telle que :
* <math>\alpha</math> induit sur <math>K</math> une forme de contact positive ;
* <math>\mathrm d\alpha</math> induit sur chaque fibre <math>F</math> de <math>\theta</math> une forme symplectique positive. }}
Une telle forme <math>\alpha</math> sera dite adaptée à <math>(K,\theta)</math>. En dimension trois, on peut exprimer cette relation en termes de [[champ de Reeb]] : la forme <math>\alpha</math> est adaptée à <math>(K,\theta)</math> si et seulement si son champ de Reeb <math>R</math> est positivement tangent à la reliure et positivement transverse aux fibres.<br /><br />
Pour établir un lien [[bijection|bijectif]] avec les structures de contact à isotopie près on doit introduire la notion de '''stabilisation''' dont on donne ici la définition en dimension trois seuleument :
Soit <math>F</math> une surface compacte à bord plongée dans <math>V</math> et <math>a</math> un
arc simple et propre de <math>F</math>. On dit qu'une surface compacte <math>F'</math>
est obtenue à partir de <math>F</math> par le '''plombage positif''' d'un anneau le long de <math>a</math> si <math>F' = F \cup
A</math> où <math>A</math> est un anneau plongé dans <math>V</math> tel que :
* <math>A \cap F</math> est un voisinage régulier de <math>a</math> dans <math>F</math>;
* <math>A</math> est inclus dans une boule fermée <math>B</math> vérifiant <math>B\cap F =A \cap F</math>
et l'enlacement des deux composantes de bord de <math>A</math> dans <math>B</math> vaut <math>1</math>.
D'après un théorème de Stallings, si <math>F</math> est une page d'un livre ouvert <math>(K,\theta)</math> et si <math>F' </math> est obtenue à partir de <math>F</math> par plombage d'un anneau, alors il existe un livre ouvert de <math>V</math> dont <math>F' </math> est une page.
On appelle stabilisation une suite finie de plombages positifs.
== Exemples ==
Dans <math>S^3\subset C^2</math> muni des coordonnées polaires <math>(z_1,z_2)=(r_1e^{i\theta_1},r_2e^{i\theta_2})</math> le nœud trivial <math>\{r_1=0\}</math> est la reliure du livre ouvert dont la fibration est simplement <math>\theta_1</math> et dont les pages sont de disques. En [[projection stéréographique]] dans <math>\R^3</math> dont le pôle est sur la reliure, le livre ouvert devient le couple <math>(Oz,\theta)</math> en coordonnées cylindriques <math>(z,r,\theta)</math>. On voit donc les pages d'un livre dont la reliure est infinie et qu'on a ouvert à 360°.
On peut appliquer à ce livre ouvert l'opération de plombage (positif ou négatif) et obtenir comme reliure l'entrelac de Hopf positif ou négatif qui sont définis comme
:<math>H_+=\{z_1z_2=0\}~</math> et <math>H_-=\{z_1\bar z_2=0\}</math>
avec comme fibration <math>\theta=\theta_1\pm\theta_2</math>. Les pages de ces deux livres ouverts sont des anneaux.
Les deux premiers exemples portent la structure de contact canonique sur la sphère (voir les exemples de [[géométrie de contact]]) mais celui dont la reliure est <math>H_-</math> porte une structure de contact [[géométrie de contact#Structures de contact vrillées|vrillée]].
== Les énoncés ==
La définition de structure de contact portée par un livre ouvert permet de réinterpréter le théorème de Thurston-Winkelnkemper ainsi :
{{théorème|Théorème de Thurston-Winkelnkemper|Tout livre ouvert porte au moins une structure de contact.}}
Et maintenant le théorème de Giroux :
{{théorème|Théorème de Giroux|Soit <math>V</math> une variété close de dimension trois.
*Toutes les structures de contact portées par un même livre ouvert de <math>V</math> sont isotopes.
*Toute structure de contact de <math>V</math> est portée par un livre ouvert.
*Deux livres ouverts de <math>V</math> portant des structures de contact isotopes ont des stabilisations isotopes.}}
On peut donc résumer la situation ainsi : la notion de structure de contact portée par un livre ouvert établit une bijection entre les structures de contact à isotopie près et les livres ouverts à isotopie et stabilisation près.
== En grandes dimensions ==
En dimension plus grandes que 5, il existe aussi des théorèmes analogues dûs à Giroux et Mohsen mais qui demandent un peu plus de définitions.
== Références ==
* Giroux, E. ''Géométrie de contact : de la dimension trois vers les dimensions supérieures'', Proceedings of the ICM, Beijing 2002, vol. 2, 405-414
{{portail mathématiques}}
[[Catégorie:Topologie différentielle]]
[[Catégorie:Géométrie symplectique]]
[[Catégorie:Théorème de topologie|Livres ouverts]]
[[Catégorie:Théorème de géométrie|Livres ouverts]]
[[en:Open book decomposition]]