Théorème du nid d'abeille 3060678 30987676 2008-06-25T09:19:56Z Tcharvin 40266 /* Historique */ ajout d'une virgule entre les références {{Confusion|Nid d'abeille (géométrie)}} {{Ébauche|géométrie}} [[Image:pavage_hexagonal.png|thumb|Pavage hexagonal régulier]] Le '''théorème du nid d'abeille''' précédemment connu sous le nom de '''conjecture du nid d'abeille''' (''Honeycomb conjecture'' en Anglais), énonce que le [[pavage]] hexagonal régulier est la [[Partition (mathématiques)|partition]] du [[Plan (mathématiques)|plan]] en [[Superficie|surfaces]] égales ayant le plus petit [[périmètre]]. Ce [[théorème]] fut démontré par [[Thomas C. Hales (mathématicien)|Thomas C. Hales]] en 1999 avec des révisions en 2001. Le nom de ce théorème est tiré de l'observation du pavage hexagonal des [[Alvéole d'abeille|alvéoles d'abeille]]. == Historique == Les premières traces écrites de ce problème mathématique se trouvent dans le livre V de [[Pappus (mathématicien)|Pappus]], {{IVe siècle}} après J.C. Reprennant en partie le traité de [[Zénodore (mathématicien)|Zénodore]] ''Sur les figures isomorphes'' (environ 180 avant J.C. ; aujourd'hui perdu) dans son livre V, on ne sait pas qui de Pappus ou de Zénodore a le premier soulevé la question géométrique d'un pavage hexagonal. Les [[École pythagoricienne#Les pythagoriciens|pythagoriciens]] savaient déjà que seuls trois [[Polygone régulier|polygones réguliers]] : le triangle équilatéral, le carré et l'hexagone régulier sont capables de paver le plan. Observant les alvéoles d'abeilles, Pappus déclara que les abeilles l'utilisent car pour une quantité de matériau donnée, la forme hexagonale est celle des trois qui permet de renfermer le plus de miel. Implicitement il comparait les trois polygones réguliers, dont on peut relativement facilement démontrer que la pavage hexagonal est la solution la plus économique. [[Darwin]] l'évoqua également ; il pensait que le pavage hexagonal employé par les abeilles est le résultat d'une sélection naturelle où les abeilles qui utilisent le moins de cire l'emportent<ref>{{en}} Charles Darwin, [[L'Origine des espèces]], 1859</ref>. En 1781, Lhuilier écrivit dans ses mémoires<ref>{{fr}} M. Lhuilier, Mémoire sur le minimum de cire des alvéoles des abeilles, Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de Berlin, 1781</ref> qu'il s'agissait là d'un des problèmes les plus difficiles de la géométrie. On retrouve ce sujet dans de divers ouvrages jusqu'au {{XIXe siècle}}<ref>{{en}} [[D'Arcy Wentworth Thompson (1860-1948)|Thompson]], On Growth and Form, Vol 2, second edition, 1952</ref>{{,}}<ref>{{fr}} V. Willem, L'architecture des abeilles, 1928</ref>. La résolution d'un cas particulier de ce théorème est attribuée à [[Hugo Steinhaus]]<ref>{{en}} H. Croft, K. Falconer, R. Guy, Unsolved problems in geometry, Springer, 1991</ref>, mais le premier élément de réponse fut apporté par le mathématicien hongrois [[László Fejes Tóth]] en 1943 qui démontra le théorème sous l'hypothèse de [[Ensemble convexe|convexité]] des tuiles du pavage. Il était persuadé que le théorème resterait vrai sans cette hypothèse mais ne parvint pas à le démontrer affirmant que cela soulèverait des "difficultés considérables"<ref>{{en}} L. Fejes Tóth, Regular Figures,p183, MacMillan Compagny, 1964</ref>. Ce n'est qu'en 1999 que [[Thomas C. Hales (mathématicien)|Thomas C. Hales]], s'appuyant sur les travaux de divers mathématiciens comme Frank Morgan<ref>{{en}} F. Morgan, Soap bubbles in <math>\R</math>² and in surfaces, Pacific J. Maths, 1994</ref>, Frederick J. Almgren Jr.<ref>{{en}} F. J. Almgren Jr., Existence and regularity of almost everywhere of solutions to elliptic variational problems with constraints, Mem. AMS, 1976</ref>, ou Jean Taylor<ref>{{en}} J. Taylor, The structure of singularities in soap-bubble-like and soap-film-like minimal surfaces, Annals of Math., 1976</ref> quant à l'existance d'une solution, démontre ce théorème. == Voir aussi == * [[Conjecture de Kepler]] == Références == <references /> == Liens externes == * {{en}} T. C. Hales [http://www.math.pitt.edu/~thales/kepler98/honey/honey.pdf ''The Honeycomb Conjecture.'' ]8 Jun 1999.{{pdf}} * {{en}} T. C. Hales [http://deepblue.lib.umich.edu/bitstream/2027.42/42423/1/454-25-1-1_10071.pdf ''The Honeycomb Conjecture.''] Disc. Comp. Geom. v25, 1-22, 2001.{{pdf}} {{Portail mathématiques}} [[Catégorie:Géométrie discrète]] [[Catégorie:Théorème de géométrie|Nid d'abeille]] [[en:Honeycomb conjecture]]