Théorèmes de König (mécanique)
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30052113
2008-05-27T15:28:38Z
212.234.218.194
/* Propriétés de (R*) */
{{Voir homonymes|Théorème de König}}
{{recycler|physique}}
Les deux '''Théorèmes de König''' concernant la mécanique sont dus à [[Samuel König]] (1712-1757). Ils permettent d'exprimer le [[moment cinétique]] (ou [[moment cinétique|angulaire]]) d'un système de [[point matériel|points matériels]] sous des formes plus facilement interprétables physiquement.
== Notion de référentiel barycentrique ==
Les deux théorèmes se démontrent en faisant intervenir un référentiel particulier : le [[Référentiel (physique)#Référentiel barycentrique|référentiel barycentrique]] (ou référenciel du centre de masse), noté ''(R<sup>*</sup>)''.
=== Définition ===
Par définition, ''(R<sup>*</sup>)'' est le [[Référentiel (physique)|référentiel]] associé au référentiel d'étude (R), galiléen ou non, ''en translation'' par rapport à (R), et tel que la [[quantité de mouvement]] <font style="vertical-align:+20%;"><math>\vec{P^{*}}</math></font> du système dans ''(R<sup>*</sup>)'' est nulle. Cette définition est générale, intrinsèque, et reste valide dans le domaine [[relativité|relativiste]].
En [[mécanique newtonienne]], il est bien connu que la [[quantité de mouvement]] (ou résultante cinétique) <font style="vertical-align:middle;"><math>\vec{P}=\sum_{i} m_{i}\vec{v_{M_{i}}}</math></font> s'exprime simplement en faisant intervenir le [[centre d'inertie]] (ou de [[masse]]) ''G'' du système: <math>\vec{P}=M\vec{v_{G}}</math>, avec <math>M\equiv \sum_{i} m_{i}</math> la masse totale du système. Par suite dans le [[référentiel]] barycentrique ''(R<sup>*</sup>)'' on a <math>\vec{v_{G}^{*}}=\vec{0}</math>, d'où l'autre définition fréquemment donnée de ''(R<sup>*</sup>)'':
'''« ''(R<sup>*</sup>)'' est le référentiel lié au [[centre d'inertie]] ''G'', en mouvement de translation par rapport à ''(R)'' »'''
=== Propriétés de ''(R<sup>*</sup>)'' ===
'''Remarque importante:''' bien que ''(R<sup>*</sup>)'' soit par définition en [[translation (géométrie)|translation]] par rapport au référentiel d'étude ''(R)'', il n'est '''pas''' en général un [[référentiel galiléen]]. Pour que ''(R<sup>*</sup>)'' soit galiléen, il faudrait que ''(R)'' le soit et que le mouvement de''(R<sup>*</sup>)'' par rapport à ''(R)'' soit rectiligne et '''uniforme'''.<br />
De façon générale, les [[moment cinétique|moments cinétiques]] du système en deux points ''O'' et ''O' '' sont lié par la relation: <math>\vec{L_{O}}=\vec{L_{O'}}+\vec{OO'}\wedge \vec{P}</math> (voir [[moment cinétique]]). Comme par définition dans ''(R<sup>*</sup>)'' <font style="vertical-align:+20%;"><math>\vec{P^{*}}=\vec{0}</math></font>, le [[moment cinétique]] du système dans ''(R<sup>*</sup>)'' est '''''indépendant''''' du point où le calcule: <font style="vertical-align:+10%;"><math>\vec{L_{O}^{*}}=\vec{L_{O'}^{*}}=\vec{L^{*}}</math></font>. <br /><font style="vertical-align:+20%;"><math>\vec{L^{*}}</math></font> est aussi appelé '''''[[moment cinétique]] propre''''' (ou interne) du système.<br />
Par ailleurs, d'après l'expression générale du [[moment cinétique]] d'un système, <font style="vertical-align:-20%;"><math>\vec{L_{G}}=\sum_{i} \left (\vec{GM_{i}}\wedge m_{i}\vec{v_{i}}\right )</math></font>, or (composition des [[vitesse]]s) entre ''(R)'' et ''(R<sup>*</sup>)'') <math>\vec{v_{i}}=\vec{v_{i}^{*}}+\vec{v_{G}}</math>, d'où:<br />
<math>\vec{L_{G}}=\left (\sum_{i} m_{i}\vec{GM_{i}}\right )\wedge \vec{v_{G}}+\sum_{i}\left (\vec{GM_{i}}\wedge m_{i}\vec{v_{i}^{*}}\right )=\sum_{i}\left (\vec{GM_{i}}\wedge m_{i}\vec{v_{i}^{*}}\right )</math>, d'après la définition du [[centre de masse]].
<br>Comme par ailleurs <math>\sum_{i}\left (\vec{GM_{i}}\wedge m_{i}\vec{v_{i}^{*}}\right )\equiv \vec{L^{*}}</math>, il en résulte la propriété fondamentale suivante:<math> \vec{L_{G}}=\vec{L^{*}}</math>, autrement dit le moment cinétique propre du système, dans le référentiel barycentrique ''(R<sup>*</sup>)'' associé à ''(R)'' s'identifie avec le moment cinétique par rapport à ''G'' évalué dans ''(R)''.
Enfin, il est possible de définir dans ''(R<sup>*</sup>)'' '''l'[[énergie cinétique]] propre''' du système: <math>E_{k}^{*}\equiv \frac{1}{2}\sum_{i} m_{i}v_{i}^{*2}</math>.
==Premier théorème concernant le moment cinétique==
'''Enoncé:''' avec les notations précédentes, le premier théorème de König se met sous la forme<br /><center><math>\vec{L_{O}}=\vec{OG}\wedge M\vec{v_{G/R}}+\vec{L^{*}}</math>, '''(1)'''</center>
'''Interprétation physique:''' En d'autres termes, le [[moment cinétique]] d'un système par rapport à un point ''O'' est la somme de deux termes:
* le [[moment cinétique]] du [[centre d'inertie]] ''G'' affecté de la [[masse]] totale ''M'' du système: <math>\vec{OG}\wedge M\vec{v_{G/R}}</math>;
* et le [[moment cinétique]] propre <math>\vec{L^{*}}</math> du système, identique à son moment cinétique par rapport à ''G'' dans ''(R)''.
'''Démonstration:''' d'après l'expression générale du [[moment cinétique]] en ''O'' dans le [[référentiel]] ''(R)'', <math>\vec{L_{O}}=\sum_{i} \left (\vec{OM_{i}}\wedge m_{i}\vec{v_{i}}\right )</math> et la composition des [[vitesse]]s entre entre ''(R)'' et ''(R<sup>*</sup>)'') <math>\vec{v_{i}}=\vec{v_{i}^{*}}+\vec{v_{G}}</math> (''(R)'' et ''(R<sup>*</sup>)'' étant en translation), il vient:
<br />
<math>\vec{L_{O}}=\sum_{i} \left (\vec{OM_{i}}\wedge m_{i}\left (\vec{v_{i}^{*}}+\vec{v_{G/R}}\right )\right )=\sum_{i} \left (\vec{OM_{i}}\wedge m_{i}\vec{v_{i}^{*}}\right )+\left (\sum_{i} m_{i}\vec{OM_{i}}\right )\wedge \vec{v_{G/R}}</math>,
comme <math>\vec{L^{*}}\equiv \sum_{i} \left (\vec{OM_{i}}\wedge m_{i}\vec{v_{i}^{*}}\right )</math> et que (définition du [[centre de masse]]) <math>\left (\sum_{i} m_{i}\vec{OM_{i}}\right )=M\vec{OG}</math>, le premier théorème de König (1) s'obtient aussitôt.
==Deuxième théorème concernant l'énergie cinétique==
'''Enoncé:''' avec les notations précédentes, le second théorème de König se met sous la forme<br /><center><math>E_{k}=\frac{1}{2}Mv_{G}^{2}+E_{k}^{*}</math>, '''(2)'''</center>
'''Interprétation physique:''' En d'autres termes, l'[[énergie cinétique]] d'un système matériel est la somme de deux termes:
* l'[[énergie cinétique]] du [[centre d'inertie]] ''G'' affecté de la [[masse]] totale ''M'' du système: <math>\frac{1}{2}Mv_{G}^{2}</math>;
* et l'[[énergie cinétique]] propre <math>E_{k}^{*}</math> du système.
'''Démonstration:''' comme précédemment <math>\vec{v_{i}}=\vec{v_{i}^{*}}+\vec{v_{G}}</math>. En susbstituant dans l'expression générale de l'[[énergie cinétique]] d'un système, <math>E_{k} = \sum_{i} \frac{1}{2}m_{i}v_{i}^{2}</math> il vient:
<math>E_{k}=\frac{1}{2}\sum_{i} m_{i}\left (\vec{v_{i}^{*}}+\vec{v_{G}}\right )^{2}=\frac{1}{2}\sum_{i} m_{i}v_{i}^{*2}+\left (\sum_{i} m_{i}\vec{v_{i}^{*}}\right )\cdot\vec{v_{G}}+\frac{1}{2}\left (\sum_{i} m_{i}\right )v_{G}^{2}</math>, <br />
le premier terme de droite n'est autre que <math>E_{k}^{*}</math> et <math>M\equiv \sum_{i} m_{i}</math> est la masse totale du corps et par définition de ''(R<sup>*</sup>)'', <math>\vec{P^{*}}=\sum_{i} m_{i}\vec{v_{i}^{*}}=\vec{0}</math>, le second théorème de König (2) s'obtient aussitôt.
== Utilisation ==
Les deux théorèmes de König sont valables que le système soit déformable ou non. Ils sont fréquemment appliqués au cas particulier important du ''solide'', voir [[moment cinétique]] et [[énergie cinétique]].
[[Catégorie:mécanique]]
[[Catégorie:Théorème de physique|König]]
[[de:Satz von König (Mechanik)]]
[[en:König's theorem (kinetics)]]
[[it:Secondo teorema di König]]
[[zh:柯尼希定理]]