Théorie cinétique des gaz 219629 31785573 2008-07-22T10:28:18Z Zorrobot 179160 robot Ajoute: [[no:Kinetisk teori]] {{à illustrer}} La '''théorie cinétique des gaz''' est une théorie par laquelle on cherche à expliquer le comportement macroscopique d'un gaz à partir des caractéristiques des mouvements des corpuscules qui le composent. Elle permet notamment de donner une interprétation microscopique aux notions de : * [[température]] : c'est une mesure de l'agitation des corpuscules, plus précisément de leur [[énergie cinétique]] ; * [[pression]] : la pression exercée par un gaz sur une paroi résulte des [[choc]]s des corpuscules sur cette dernière. La théorie cinétique des gaz a été développée à partir du {{XVIIIe siècle}} et a été un des éléments déterminants dans la découverte de la notion d'[[atome]]. Elle est basée sur les idées de [[Daniel Bernoulli]], [[John James Waterston]], [[K.A. Krönig]] et [[Rudolf Clausius]]. [[James Clerk Maxwell]] et [[Ludwig Boltzmann]] en ont formalisé son expression mathématique.<ref>Samuel Glasstone, Textbook of Physical Chemistry - second edition p.248</ref> Selon les hypothèses retenues, la théorie peut être plus ou moins complexe et rendre compte de plusieurs phénomènes. * Dans sa version la plus simple, on ignore les interactions entre les molécules, ainsi que leur taille. Elle permet de retrouver la [[Loi des gaz parfaits|loi des gaz parfaits]]. * En prenant en compte les effets de taille des molécules, on peut décrire les collisions entre les molécules, ce qui donne accès aux propriétés de transport ([[viscosité]], [[diffusion]], [[effusion]], [[conductibilité thermique]]). * En introduisant de plus des interactions entre corpuscules, [[Van der Waals]] a proposé en 1873 une équation qui porte son nom et permet de décrire également la transition liquide-gaz ([[ébullition]], [[évaporation]], [[condensation]]). Elle a servi de guide à ceux qui, dans la seconde moitié du {{s-|XIX|e}}, cherchaient à liquéfier tous les gaz, jusqu'à l'[[hélium]], liquéfié en 1908 à [[Leyde]]. == Description == Un gaz est un ensemble de molécules mono- ou poly-atomiques subissant un certain nombre d’interactions : on aura notamment des interactions électromagnétiques (comme les [[force de van der Waals|forces de van der Waals]]) et des [[choc]]s entre les particules mais aussi contre les parois du récipient contenant le gaz. Dans le cadre de la théorie cinétique, on fait les approximations suivantes : * le volume des molécules est négligeable * seuls les chocs ont une influence, les autres interactions sont négligeables. La trajectoire des molécules peut se modéliser avec le [[mouvement brownien]]. ;Approche intuitive du mouvement des molécules: Supposons que dans un récipient, toutes les molécules ont la même vitesse et la même direction. Ce système est instable parce que la moindre modification de trajectoire d'une seule molécule provoquera le heurt sur une autre molécule qui déviera et heurtera encore une autre avec un effet en chaîne qui établira le chaos donc le mouvement brownien. ;Dans la suite, * ''P'', désignera la pression du gaz, * ''V'', son volume, * ''T'', sa température thermodynamique, et * ''n'', le nombre de molécules. == Vitesse et pression == === Statistiques sur les vitesses === Considérons une molécule ayant une vitesse de [[norme (mathématiques)|norme]] <ref> Dans notre cas une vitesse de grandeur et de direction définie</ref> ''v'' et frappant une surface. Elle subit un choc élastique, c'est-à-dire qu'elle repart en faisant un même angle avec la surface, avec une vitesse de même norme ''v''<ref> C’est-à-dire avec la même vitesse</ref>. Si l'on choisit un [[repère orthonormé]] <ref> C’est-à-dire, dans notre cas, un trièdre rectangle</ref> ''<b>e</b>''<sub>1</sub>, ''<b>e</b>''<sub>2</sub>, ''<b>e</b>''<sub>3</sub>, avec ''<b>e</b>''<sub>1</sub> perpendiculaire à la surface, alors cette vitesse se décompose selon les trois axes :<math>\mathbf{v} = v_1 \mathbf{e}_1 + v_2 \mathbf{e}_2 + v_3 \mathbf{e}_3</math> On appelle ''c''(''<b>v</b>'') ''d''<sup>3</sup>''<b>v</b>'' le nombre de molécules par unité de volume (la concentration) dont la vitesse est comprise dans un volume infinitésimal ''d''<sup>3</sup>''<b>v</b>'' autour de la valeur ''<b>v</b>''. La concentration globale est donc : :<math>C = \iiint c(\mathbf{v})\, d^3\mathbf{v} = \frac{n}{V}</math> La répartition statistique des vitesses étant [[isotrope]], la [[moyenne]] des composantes de la vitesse est évidemment nulle : :<math>\langle v_1\rangle = \langle v_2\rangle = \langle v_3\rangle = 0 </math> <ref>La vitesse isotrope prend la même valeur dans toutes les directions et toutes les directions sont également probables</ref> Les moyennes quadratiques ne sont par contre pas nulles, <ref>une vitesse dans une direction et la même dans la direction opposée ont le même carré</ref>et elles sont égales entre elles par symétrie de rotation. Comme on a toujours :<math>v_1^2 + v_2^2 + v_3^2 = v^2</math> ([[théorème de Pythagore]]), on a en moyenne :<math>\langle v_1^2\rangle = \langle v_2^2\rangle = \langle v_3^2\rangle = \frac{1}{3}\langle v^2\rangle </math> avec :<math>\langle v_i^2\rangle = \frac{1}{C} \iiint c(\mathbf{v}) \, v_i^2 \, d^3\mathbf{v} </math> et :<math>\langle v^2\rangle = \frac{1}{C} \iiint c(\mathbf{v}) \, v^2 \, d^3\mathbf{v}</math> === Impact d'une molécule === Lorsqu'une molécule rebondit de manière élastique sur la surface, la composante perpendiculaire à la surface de sa [[quantité de mouvement]] varie de <ref> À l'arrivée, elle a une quantité de mouvement de mv au retour sa quantité de mouvement est -mv. La différence est donc 2mv</ref> :<math>2\,m\,v_1</math> ''m'' étant la masse de la molécule. D'après les [[Lois du mouvement de Newton|lois de Newton]] (principe fondamental de la dynamique et théorème des actions réciproques), l'intégrale en temps de la force qu'elle imprime sur la surface est donc :<math>\int f_1 dt = 2 \,m \, v_1 . </math> === Impact de toutes les molécules === <!-- On a changé la suite pour passer à 3D --> <!-- et il n'y a plus qu'un seul tau) --> On cherche maintenant, ''<b>v</b>'' étant fixé à ''d''<sup>3</sup>''<b>v</b>'' près, à savoir combien de molécules frappent une petite surface d'aire ''S'' durant une durée τ. Les molécules frappant la surface entre l'instant 0 et l'instant τ sont nécessairement dans un [[cylindre]] de base ''S'' et de hauteur ''v''<sub>1</sub>τ — les autres molécules sont trop loin ou frappent à côté. Ce cylindre d'axe ''<b>v</b>'' a un volume de ''S v''<sub>1</sub> τ. La force ''d''<sup>3</sup>''F'' créée par toutes les molécules considérées est donc : :<math>\int_0^\tau d^3F\, dt = 2 \,m \, v_1 \ S \, v_1 \, \tau \ c(\mathbf{v}) \, d^3\mathbf{v} . </math> La force ''F'' créée par toutes les molécules s'obtient en intégrant sur ''v''<sub>1</sub> &gt; 0 si l'on oriente ''<b>e</b>''<sub>1</sub> du gaz vers l'extérieur (on ne considère que les molécules allant vers la surface, pas celles s'en éloignant). Ceci revient à diviser par deux, en raison de la symétrie de la distribution ''c''(''<b>v</b>'') : :<math>\int_0^\tau F dt = 2 \, m \,S \iiint_{v1>0} v_1^2 \, \tau\,c(\mathbf{v}) \, d^3\mathbf{v} = m \, \tau\,S \iiint v_1^2 \, c(\mathbf{v}) \, d^3\mathbf{v} </math> En négligeant les fluctuations dans le temps de ''F'', on peut intégrer sur ''t'' et simplifier par τ : :<math>F = m \, S \iiint v_1^2 \, c(\mathbf{v})\, d^3\mathbf{v} = m\, S\, C \langle v_1^2\rangle </math> ou :<math>F = \frac{1}{3} m\, S\, C \,\langle v^2\rangle </math> La pression étant la force divisée par la surface, on obtient {{Bloc emphase|texte= <math>p = \frac{1}{3} m \, C \langle v^2\rangle </math> }} ou encore, par définition de ''C'' = ''n'' / ''V'' : {{Bloc emphase|texte= <math>p \, V = \frac{1}{3} m \, n \,\langle v^2\rangle </math> }} == Pression et énergie cinétique == Si une molécule de masse ''m'' se déplace à une vitesse ''v'', son [[énergie cinétique]] vaut <math>\frac{1}{2} m \, v^2</math> et l'énergie cinétique totale des molécules du gaz vaut :<math>E_c = n \times \frac{1}{2} m \, \langle v^2\rangle = \frac{3}{2} p\,V</math> === Gaz parfait monoatomique === Dans le cas d'un gaz parfait monoatomique, on suppose que la totalité de l'énergie est sous forme d'énergie cinétique des molécules (énergie thermique), donc l'[[énergie interne]] ''U'' du système vaut : :<math>U = E_c</math> On a donc :<math>U = \frac{3}{2} p\,V</math> === Gaz parfait de Laplace === Dans le cas plus général du [[Gaz parfait#Gaz parfait de Laplace|gaz parfait de Laplace]], on suppose que les molécules ont une énergie interne de rotation ou d'oscillation, proportionnelle à <math>E_c</math>. Le nombre de degrés de liberté passe de 3 à <math>\nu</math> et dans l'hypothèse d'équipartition, on a <math>U = \frac{\nu}{3} E_c</math>, et donc {{Bloc emphase|texte= <math>U = \frac{\nu}{2} p\,V</math> }} En modifiant [[Adiabatique|adiabatiquement]] le volume du gaz, on fournit un travail <math>-pdV</math> égal à la variation d'énergie interne <math>dU = \frac{\nu}{2} \left(V dp+ p dV\right)</math>. Donc on a <math>0 = \frac{\nu}{2} Vdp + \frac{2+\nu}{2} pdV</math> ou <math>0 = \frac{dp}{p} + \frac{2+\nu}{\nu} \frac{dV}{V} = d\left(p V^{\frac{2+\nu}{\nu}} \right)</math>. Traditionnellement, pour retrouver la loi de Laplace du gaz parfait en régime adiabatique <math>P V^\gamma = \mathrm{Cte}</math>, on introduit {{Bloc emphase|texte= <math>\gamma = \frac{2+\nu}{\nu}</math> }} Pour le gaz parfait de Laplace, on a donc {{Bloc emphase|texte= <math>U = \frac{1}{\gamma - 1} P\,V</math> }} * Pour un gaz réel monoatomique, ou même l'hydrogène à très basse température <math>\nu = 3</math> et <math>\gamma = \frac{5}{3}</math> * Pour un gaz réel diatomique à température intermédiaire (azote, hydrogène, ozygène autour de 300 K), on a deux degrés de rotation possible <math>\nu \approx 5</math> et <math>\gamma \approx \frac{7}{5}</math> * Pour un gaz réel diatomique à très haute température, l'oscillation longitudinale devient possible, et <math>\nu </math> tend vers 7 et <math>\gamma</math> tend vers <math>\frac{9}{7}</math> {{Wikiversity|Théorie cinétique des gaz}} ==Notes et références== {{reflist}} == Voir aussi == === Articles connexes === * [[Pression cinétique]] * [[Physique statistique]] * [[Équation de Boltzmann]] === Bibliographie === * {{ouvrage|auteur=[[Ludwig Boltzmann]]|titre=Leçons sur la théorie des gaz|éditeur=Gauthier-Villars|année=1902-1905|commentaire=Réédition Jacques Gabay (1987)|ISBN=2-87647-004-7}} * {{ouvrage|auteur=Carlo Cercignani|titre=Ludwig Boltzmann - The man who Trusted Atoms|éditeur=Oxford University Press|année=1998|pages=330|ISBN=0-19-850154-4|commentaire=Biographie scientifique du grand professeur Boltzmann, qui a porté la théorie cinétique des gaz à son acmée. Par un professeur de Physique Mathématique de l'Université de Milan (Italie), spécialiste de l'équation de Boltzmann. Niveau plutôt second cycle universitaire}} * {{ouvrage|auteur=[[Yves Rocard]]|titre=L'Hydrodynamique et la théorie cinétique des gaz (thèse)|éditeur=Masson et C<sup>ie</sup>|année=1927|pages=128}} {{lire en ligne|lien=http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/27/81/12/PDF/mt-00002.pdf|langue=fr}} {{Portail|chimie|physique}} [[Catégorie:thermodynamique]] [[ca:Teoria cinètica molecular]] [[cs:Kinetická teorie látek]] [[de:Kinetische Gastheorie]] [[el:Κινητική θεωρία]] [[en:Kinetic theory]] [[es:Teoría cinética]] [[fa:تئوری سینتیک مولکولی]] [[fi:Kineettinen kaasuteoria]] [[gl:Teoría Cinética]] [[he:התאוריה הקינטית של הגזים]] [[it:Teoria cinetica dei gas]] [[ja:気体分子運動論]] [[lv:Molekulāri kinētiskā teorija]] [[nl:Kinetische gastheorie]] [[nn:Kinetisk teori]] [[no:Kinetisk teori]] [[ru:Молекулярно-кинетическая теория]] [[simple:Kinetic theory]] [[sl:Kinetična teorija plinov]] [[sv:Kinetiska gasteorin]] [[th:ทฤษฎีจลน์ของแก๊ส]] [[tr:Kinetik teori]] [[zh:分子运动论]]