Théorie de Galois
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2008-06-28T16:52:30Z
Actorstudio
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/* Références */ Charles Robert Hadlock
[[Image:evariste galois.jpg|thumb|250px|right|Évariste Galois 1811-1832]]
En [[mathématiques]] et plus précisement en [[algèbre]], la '''théorie de Galois''' est l'étude des extensions de [[Corps (mathématiques)|corps]] [[commutatif]]s, par le biais d'une correspondance avec des groupes de transformations sur ces extensions, les [[groupe de Galois|groupes de Galois]]. Cette méthode féconde, qui constitue l'exemple historique, a essaimé dans bien d'autres branches des mathématiques, avec par exemple la [[théorie de Galois différentielle]], ou la [[théorie de Galois des revêtements]].
Cette théorie est née de l'étude par [[Évariste Galois]] des [[équation algébrique|équations algébriques]]. L'analyse de [[permutation]]s des [[Racine (mathématiques)|racines]] permet d'expliciter une condition nécessaire et suffisante de résolubilité par radicaux. Ce résultat est connu sous le nom de [[théorème d'Abel-Ruffini]].
Les outils essentiels de la théorie sont les [[extension de corps|extensions de corps]] et les [[groupe de Galois|groupes de Galois]].
Les applications sont très variées. Elles s'étendent de la résolution de vieilles conjectures comme la détermination des [[polygone]]s [[Construction à la règle et au compas|constructibles à la règle et au compas]] démontrée par le [[théorème de Gauss-Wantzel]] à la [[géométrie algébrique]] à travers, par exemple, le [[théorème des zéros de Hilbert]].
==Histoire==
===Genèse===
La théorie de Galois voit ses origines dans l'étude des équations algébriques. Elle se ramène à l'analyse des équations polynomiales. Une approche par des changements de variables et des substitutions a permis à des mathématiciens comme [[Al-Khwarizmi]]<ref>[[Al-Khwarizmi]] ''La transposition et la réduction'' 850</ref> <small>([[783]] [[850]])</small>, [[Niccolo Fontana Tartaglia|Tartaglia]] <small>([[1499]] [[1557]])</small>, [[Gerolamo Cardano|Cardano]]<ref>[[Gerolamo Cardano]] ''Ars magna, seu de regulis algebrse'' 1554</ref> <small>([[1501]] [[1576]])</small> ou [[Ludovico Ferrari|Ferrari]] <small>([[1522]] [[1565]])</small> de résoudre tous les cas jusqu'au degré quatre. Cette approche ne permet pas d'aller plus loin et deux siècles seront nécessaires pour apporter de nouvelles idées.
===Gauss et les polynômes cyclotomiques===
[[Image:Carl Friedrich Gauss.jpg|thumb|160px|left|Carl Friedrich Gauss]]
''Paragraphe détaillé : [[Polynôme cyclotomique#Histoire|Histoire des polynômes cyclotomiques]]''
[[Carl Friedrich Gauss|Gauss]] <small>([[1777 en science|1777]] [[1855 en science|1855]])</small> utilise les [[Polynôme cyclotomique|polynômes cyclotomiques]]<ref>[[Carl Friedrich Gauss]] ''Disquisitiones arithmeticae'' [[1801 en science|1801]]</ref> pour apporter une contribution à un problème ouvert depuis l'antiquité: celui de la [[construction à la règle et au compas]] de [[polygone]]s réguliers. Il construit en particulier l'[[polygone|heptadécagone]], polygone régulier à 17 cotés. Son approche, typiquement galoisienne bien avant la découverte de la théorie, lui vaut le surnom de ''prince des mathématiciens''.
Son travail est complété par [[Pierre-Laurent Wantzel|Wantzel]]<ref>[[Pierre-Laurent Wantzel]] ''Recherches sur les moyens de reconnaitre si un problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas'' [[1837 en science|1837]]</ref> <small>([[1814 en science|1814]] [[1848 en science|1848]])</small>, qui donne une condition nécessaire et suffisante de constructibilité des polygones réguliers et démontre l'impossibilité de la [[trisection de l'angle]] et de la [[duplication du cube]].
===Théorème d'Abel-Ruffini===
[[Image:Niels Henrik Abel (detail).jpeg|thumb|160px|right|Niels Abel 1802-1829]]
''Paragraphe détaillé : [[Théorème d'Abel-Ruffini#Histoire|Histoire du théorème d'Abel-Ruffini]]''
Dans le cas général, l'[[équation quintique]] n'admet pas de solution par radicaux. C'est la raison pour laquelle une démarche à l'aide de substitutions et changements de variables devient stérile. [[Joseph-Louis Lagrange|Lagrange]]<ref>[[Joseph-Louis Lagrange]] ''Réflexions sur la résolution algébrique des équations'' 1770</ref> <small>([[1736]] [[1813 en science|1813]])</small> et [[Alexandre-Théophile Vandermonde|Vandermonde]]<ref>[[Alexandre-Théophile Vandermonde]] ''Mémoire sur la résolution des équations '' [[1771]]</ref> <small>([[1735]] [[1796 en science|1796]])</small> utilisent la notion de permutation à la fin du {{XVIIIe siècle}} et pressentent l'importance de cet outil dans le cadre de l'[[équation polynomiale]].
[[Paolo Ruffini|Ruffini]]<ref>[[Paolo Ruffini]] ''Théorie générale des équation, où il est montré que la résolution de l'équation algébrique général de degré supérieur à quatre est impossible'' [[1799 en science|1799]]</ref> <small>([[1765]] [[1822 en science|1822]])</small> est le premier à prévoir l'impossibilité de la solution générale et que la compréhension du phénomène réside dans l'étude des permutations des racines. Sa démonstration reste néanmoins peu rigoureuse et partielle. Le mathématicien norvégien [[Niels Henrik Abel|Abel]] <small>([[1802 en science|1802]] [[1829 en science|1829]])</small> publie une démonstration<ref>[[Niels Henrik Abel]] ''Mémoire sur les équations algébriques, où l'on démontre l'impossibilité de la résolution de l'équation générale du cinquième degré'' [[1824 en science|1824]]</ref> en [[1824 en science|1824]] qui finit par convaincre la communauté scientifique. Elle ne propose pas à l'époque de condition nécessaire et suffisante de résolubilité.
===Évariste Galois===
{{article_détaillé|Histoire des groupes de Galois}}
En étudiant le problème de l'équation algébrique, [[Evariste Galois|Galois]] <small>([[1811 en science|1811]] [[1832 en science|1832]])</small> met en évidence les premiers éléments de la théorie qui porte maintenant son nom. Ses écrits sont perdus ou tombent dans l'oubli. Un mémoire<ref>[[Evariste Galois]] ''sur les conditions de résolubilité des équations algébriques'' [[1846 en science|1846]] Journal de Liouville</ref> est finalement retrouvé par [[Joseph Liouville|Liouville]] <small>([[1809 en science|1809]] [[1882 en science|1882]])</small> qui le présente à l'[[Académie des sciences (France)|Académie des sciences]] en [[1843 en science|1843]]. Les travaux de Galois accèdent alors in extremis à la postérité.
Galois, pour la première fois dans l'histoire des mathématiques, met en évidence une [[structure (mathématiques)|structure]] abstraite qu'il appelle [[groupe (mathématiques)|groupe]]. À la différence de ses prédécesseurs, il n'étudie pas une incarnation particulière comme les permutations de Lagrange ou les [[groupe cyclique|groupes cycliques]] de Gauss, mais une structure générale définie par un ensemble et une loi.
Cette démarche, particulièrement novatrice, est à l'origine de l'algèbre moderne. Liouville en parle dans les termes suivants : {{citation|Cette méthode, vraiment digne de l'attention des géomètres, suffirait seule pour assurer à notre compatriote un rang dans le petit nombre des savants qui ont mérité le titre d'inventeur.}}<ref>[[Joseph Liouville]] ''Œuvres Mathématiques d'Évariste Galois Suivie d'un avertissement de Liouville'' [[1846 en science|1846]] Journal des Mathématiques pures et appliquées Vol. XI</ref>
===Structures algébriques===
L'apport majeur de Galois, c'est-à-dire l'utilisation d'une structure algébrique comme outil fondamental, est rapidement compris par la communauté mathématique. [[Augustin Louis Cauchy|Cauchy]] <small>([[1789 en science|1789]] [[1855 en science|1855]])</small> publie vingt-cinq articles sur les groupes dont un sur son célèbre [[théorème de Cauchy (groupes)|théorème]]<ref>[[Augustin Louis Cauchy]] ''Sur le nombre de valeurs égale ou inégales que peut acquérir une fonction de n variables indépendantes, quand on permute ces variables entre elles d'une manière quelconque'' [[1845 en science|1845]]</ref>. [[Arthur Cayley|Cayley]] <small>([[1821 en science|1821]] [[1895 en science|1895]])</small> donne la première définition abstraite d'un groupe<ref>[[Arthur Cayley]] ''Sur la théorie des groupes comme dépendance de l'équation symbolique <math>\theta^n=1</math>.'' [[1854 en science|1854]]</ref>. Enfin, [[Camille Jordan|Jordan]] <small>([[1838 en science|1838]] [[1922 en science|1922]])</small> diffuse largement les idées de Galois. Son livre<ref>[[Camille Jordan]] ''Traité des substitutions et des équations algébriques'' [[1870 en science|1870]]</ref> de [[1870 en science|1870]] présente les travaux de Galois comme une théorie générale sur des groupes, dont le théorème sur la résolution des équations n'est qu'une application. En France, la théorie de Galois est identifiée à celle des groupes à cette époque.
D'autres structures sont mises en évidence, particulièrement en Allemagne. Indépendamment des travaux de Galois, [[Ernst Kummer|Kummer]] <small>([[1810 en science|1810]] [[1893 en science|1893]])</small> étudie<ref>[[Ernst Kummer]] Über die Zerlegung der aus Wurzeln der Einheit gebildeten complexen Zahlen in ihre Primfactoren'' [[1847 en science|1847]]</ref> des [[anneau (mathématiques)|anneaux]] et découvre l'ancêtre de la notion d'[[idéal]]. [[Leopold Kronecker|Kronecker]] <small>([[1823 en science|1823]] [[1891 en science|1891]])</small> et [[Richard Dedekind|Dedekind]] <small>([[1831 en science|1831]] [[1916 en science|1916]])</small> développent les prémisses de la théorie des anneaux et des [[corps (mathématiques)|corps]]<ref>[[Richard Dedekind]] ''Sur la théorie des nombres entiers algébriques'' [[1871 en science|1871]]</ref>. Kronecker établit le pont entre les écoles française allemande. Il donne la définition moderne de groupe de Galois à partir d'[[automorphisme]]s de corps.
A la fin du {{XIXe siècle}} [[Heinrich Weber|Weber]] <small>([[1842 en science|1842]] [[1913 en science|1913]])</small> réalise une synthèse<ref>[[Heinrich Weber]] ''Théorie de Galois'' [[1893 en science|1893]]</ref> des différents travaux. La théorie de Galois est alors pour la première fois identifiée avec celle des corps [[commutatif]]s.
===Théories de Galois===
[[Image:Ikosaeder-Animation.gif||thumb|left|Icosaèdre]]
Un nouvel axe d'analyse enrichit la théorie de Galois. En [[1872 en science|1872]] [[Felix Klein|Klein]] <small>([[1849 en science|1849]] [[1925 en science|1925]])</small> se fixe comme objectif de classifier les différentes [[géométrie]]s de l'époque. Il dégage, dans son célèbre [[programme d'Erlangen]], le principe général qu'une géométrie est définie par un espace et un groupe opérant sur cet espace, appelé groupe des [[isométrie]]s. Un pont est ainsi établi entre la théorie des groupes et la géométrie. Ces premiers groupes correspondent à des [[groupe de Lie|groupes de Lie]] et n'appartiennent pas directement à ceux de la théorie de Galois.
En [[1877 en science|1877]] Klein remarque<ref>[[Felix Klein|Klein]] ''Conférences sur l'icosaèdre et les solutions de l'équation du cinquième degré'' [[1877 en science|1877]]</ref> que le groupe des isométries laissant invariant l'[[icosaèdre]] est isomorphe au groupe de Galois d'une équation quintique. La théorie de Galois s'étend à la [[géométrie algébrique]]. Les groupes de Galois prennent alors la forme de [[revêtement (mathématiques)|revêtements]] aussi appelés revêtement de Galois. [[David Hilbert]] <small>([[1862 en science|1862]] [[1943 en science|1943]])</small> étudie les corps de nombres quadratiques et apporte une contribution majeure à la théorie en démontrant<ref>[[David Hilbert]] ''Sur la théorie des corps de nombres quadratiques'' [[1888 en science|1888]]</ref> son célèbre [[théorème des zéros de Hilbert|théorème des zéros]]. Ce théorème possède aussi une interprétation géométrique sur les [[variété algébrique|variétés algébriques]]. La théorie est maintenant enrichie d'une nouvelle branche: la théorie de Galois géométrique. Elle s'avère particulièrement féconde.
Les travaux de Hilbert ouvrent d'autres branches de la théorie de Galois. Le théorème des zéros permet l'étude des premiers groupes de Galois d'ordre infini. Son théorème d'irréductibilité ouvre la problématique [[Théorie de Galois inverse|inverse]]. Elle s'énonce de la manière suivante : si G est un groupe alors est-il le groupe de Galois d'une extension?
Enfin les travaux de [[Émile Picard|Picard]]<small> ([[1856 en science|1856]] [[1941 en science|1941]])</small> et [[Ernest Vessiot|Vessiot]] <small> ([[1865 en science|1865]] [[1952 en science|1952]])</small> ouvrent une autre voie pour l'étude des groupes de Galois d'ordre infini, la [[théorie de Galois différentielle]].
===Apports du {{XXe siècle}}===
Les travaux de Hilbert ont ouvert l'étude des cas où le groupe de Galois est d'ordre infini et commutatif. Ce vaste sujet prend le nom de [[théorie des corps de classes]]. Elle est maintenant achevée et est souvent considérée comme un des plus beaux succès des mathématiques du siècle.
La formalisation définitive<ref>[[Emil Artin]] ''Théorie de Galois'' [[1942 en science|1942]]</ref> de la théorie de Galois est donnée par [[Emil Artin|Artin]] <small>([[1898 en science|1898]] [[1962 en science|1962]])</small>. L'adjonction de l'[[algèbre linéaire]] permet une exposition plus claire et concise. La théorie utilise maintenant toutes les grandes structures de l'algèbre, les groupes, les anneaux, les corps et les [[espace vectoriel|espaces vectoriels]]. Elle dispose maintenant de ramifications importantes en géométrie algébrique.
Elle est la base d'une quantité majeure des grandes réalisations mathématiques du {{XXe siècle}}. L'alliance de la géométrie et de l'algèbre est presque systématiquement utilisée. On peut citer par exemple les travaux des mathématiciens [[Jean-Pierre Serre]] (''[[Médaille Fields]] [[1954 en science|1954]]'') et [[Alexander Grothendieck|Grothendieck]] (''[[Médaille Fields]] [[1966 en science|1966]]'') avec une refonte de la géométrie algébrique, [[Gerd Faltings|Faltings]] (''[[Médaille Fields]] [[1986 en science|1986]]'') pour ses travaux sur les [[Module sur un anneau|modules]] de Galois démontrant le théorème de Mordell ou [[Laurent Lafforgue]] (''[[Médaille Fields]] [[2002 en science|2002]]'') sur le [[Programme de Langlands]], une généralisation de la théorie des corps de classes.
==Exemples==
===Petit théorème de Fermat===
{{Article détaillé|Théorie algébrique des nombres}}
Le petit théorème de Fermat nous indique que si ''a'' est un entier et ''p'' un nombre premier alors:
<center><math>a^p\equiv a\ (\bmod \ p)</math></center>
Il est possible de démontrer ce théorème en remarquant que ''F''<sub>p</sub> le quotient de l'ensemble des [[nombre entier|nombres entiers]] par son [[idéal]] engendré par p est un corps, car p est un nombre premier. (''F''<sub>p</sub><sup>*</sup>, .) est un groupe fini de cardinal ''p'' -1. Le [[Théorème de Lagrange (algèbre)|théorème de Lagrange]] assure que tout élément de ce groupe à la puissance ''p'' -1 est égal à l'unité, ce qui démontre le théorème.
'''Conclusion''' : Ce cas est particulièrement aisé car la structure du corps est simple. Il illustre néanmoins le fait qu'une structure de corps est un outil utile en [[théorie algébrique des nombres]]. D'autres théorèmes d'[[arithmétique modulaire]] comme la [[loi de réciprocité quadratique]] demandent une compréhension beaucoup plus profonde de la structure des corps. C'est la raison pour laquelle la démonstration ne put être trouvée malgré leurs efforts par [[Leonhard Euler|Euler]] <small>([[1707]] [[1783]])</small> ou Lagrange et qu'il fallut attendre Gauss et ses polynômes cyclotomiques pour conclure.
===Duplication du cube===
{{Article détaillé|Extension quadratique|Tour d'extension quadratique}}
[[Image:PentagonEuclide.svg|thumb|250px|left|Une construction à la règle et au compas, celle de la duplication du cube est impossible]]
Soit ''L'' l'ensemble des éléments de la forme ''a'' + ''b''.[[Racine carrée de deux|√2]] où ''a'' et ''b'' sont des [[nombre rationnel|rationnels]].
'''Montrons que ''L'' est un corps :''' ''L'' est clairement stable pour l'addition et le passage à l'opposé, et est donc un groupe additif. Il est stable pour la multiplication et le passage à l'inverse des éléments non nuls, en effet:
<center><math>\forall (a,a',b,b') \in \mathbb{Z}^4 \quad (a+b\sqrt{2}).(a'+b'\sqrt{2})=aa'+2bb'+(ab'+a'b)\sqrt{2}</math></center>
<center><math>et \quad \forall (a,b) \in \mathbb{Z}^2 \quad si\; a\neq 0\; ou\; b\neq 0\quad alors \quad (a+b\sqrt{2}).\frac{a-b\sqrt{2}}{a^2-2b^2}=1 \quad car \quad a^2-2b^2\neq 0</math></center>
Ces deux dernières propositions montrent que ''L'' est un sous-corps des [[nombre réel|nombres réels]]. ''L'' est aussi un [[espace vectoriel]] de [[Dimension d'un espace vectoriel|dimension]] deux sur les nombres rationnels, car il possède pour [[Base (algèbre linéaire)|base]] 1 et √2. Un tel corps s'appelle une [[extension quadratique]].
'''Montrons que ''L'' ne contient pas la racine cubique de deux :''' Soit ''l'' un élément de ''L'', alors de ''l'' <sup>2</sup> est une [[combinaison linéaire]] à coefficients rationnels de 1 et √2 car ces deux éléments forment une base et ''l'' <sup>2</sup> est un élément de ''L''. il existe donc deux rationnels <math>\alpha</math> et <math>\beta</math> tel que l'égalité suivante est vraie:
<center><math>l^2-\alpha l -\beta = 0 \;</math></center>
Et pour tout élément ''l'' de ''L'' il existe un polynôme de degré inférieur ou égal à deux ayant pour racine ''l''. Or, le plus petit degré du polynôme non nul à coefficients rationnels qui annule la racine cubique de deux est trois, et la proposition est démontrée.
'''Conclusion''' : Wantzel a démontré que les nombres constructibles à la règle et au compas sont soit dans une extension quadratique, soit dans une extension quadratique dont les coefficients sont pris dans une extension quadratique et ainsi de suite. On parle alors de [[tour d'extension quadratique]]. Il est possible de démontrer par un raisonnement analogue à celui présenté ici que la racine cubique de deux n'est pas élément d'une tour d'extension quadratique. Voilà pourquoi la duplication du cube est impossible. Le choix judicieux de corps particuliers est la clé de la résolution de cette [[duplication du cube|antique conjecture]].
===Équation cubique===
{{Article détaillé|Théorème d'Abel-Ruffini}}
[[Image:Arsmagna.gif|thumb|300px|right|''Ars Magna'' de [[Gerolamo Cardano]] [[1545]]]]
Considérons un exemple d'équation du troisième degré :
<center><math>P[X]=0 \quad avec \quad P[X]=X^3-3X+1\;</math></center>
'''Détermination d'un élément du groupe de Galois :''' Le polynôme P[X] est un polynôme [[élément irréductible|irréductible]] à [[coefficient]]s rationnels. La théorie de Galois nous indique qu'il existe un corps ''L'' qui est une [[extension algébrique|extension]] des rationnels contenant toutes les racines de ''P''[X]. Cette extension est de dimension six. De plus, il existe un sous-corps ''K'' de ''L'' tel que ''L'' est de dimension trois sur ''K'' et ''j'' la première [[Racine de l'unité|racine cubique de l'unité]] est élément de ''K''.
Le groupe de Galois de ''L'' sur ''K'' est l'ensemble des [[automorphisme]]s de corps de ''L'' laissant invariant tout élément de ''K''. La théorie de Galois nous indique que ce groupe a trois éléments, soit ''g'' un élément du groupe différent de l'identité.
'''Diagonalisation de ''g'' :''' Le théorème de Lagrange nous assure que ''g''<sup>3</sup> est égal à l'identité. Si ''l'' est un élément non nul de ''L'', alors ''l'', ''g(l)'' et ''g<sup>2</sup>(l)'' forment une base de ''L'' sur ''K''. Considérant ''g'' comme opérateur linéaire, son [[polynôme caractéristique]] est ''X<sup>3</sup> - 1'' et ses [[valeur propre (synthèse)|valeurs propres]] sont 1, ''j'' et ''j<sup>2</sup>''. Il existe une base (''u'', ''v'', ''w'') de ''L'' sur ''K'' constituée de [[vecteur propre|vecteurs propres]] , car le nombre de valeurs propres est égal à la dimension de ''L'' sur ''K''. On a donc ''g''(''u'')=j·''u'', ''g''(''v'')=j<sup>2</sup>·''v'' et ''g''(''w'')=''w''. De plus, 1 + j + j<sup>2</sup> = 0.
'''Détermination de l'image des racines par ''g'' :''' Soit ''x''<sub>1</sub>, une racine de ''P''[X]. L'image d'une racine par g est une racine, en effet:
<center><math>P\left(g(x_1)\right)=g(x_1)^3-3g(x_1)+1=g(x_1^3-3x_1+1)=g(P(x_1))=g(0)=0</math></center>
On en déduit que ''x''<sub>1</sub>, ''g''(''x''<sub>1</sub>) et ''g''<sup>2</sup>(''x''<sub>1</sub>) sont les trois racines de ''P''. On peut repésenter ''x''<sub>1</sub> comme somme de vecteurs propres de ''g'': ''x''<sub>1</sub> = ''u'' + ''v'' + ''w'' (léger abus de notation: ''w'' sera en l'occurrence 0, ne formant plus une base comme ci-dessus). Les trois égalités suivantes sont alors vérifiées:
<center><math>x_1=u+v+w\quad ,\quad g(x_1)=j\cdot u+j^2\cdot v+w\quad et \quad g^2(x_1)=j^2\cdot u+j\cdot v+w</math></center>
'''Calcul des valeurs des racines :''' Il suffit d'utiliser les [[relations entre coefficients et racines]] pour montrer que :
:<math>x_1+g(x_1)+g^2(x_1)=(1+j+j^2)u+(1+j+j^2)v+3w=0 \quad</math>, donc <math>\quad w=0\;</math>
:<math>x_1\cdot g(x_1)+g(x_1)\cdot g^2(x_1)+g^2(x_1)\cdot x_1=(u+v)(ju+j^2v)+(ju+j^2v)(j^2u+jv)+(j^2u+jv)(u+v)=-uv=-3 \quad </math>, donc <math>\quad u^3v^3=1\;</math>
:<math>x_1\cdot g(x_1)\cdot g^2(x_1)=(u+v)(ju+j^2v)(j^2u+jv)=-1 \quad</math>, donc <math>\quad u^3+v^3=-1 \;</math>
On en déduit que ''u'' <sup>3</sup> et ''v'' <sup>3</sup> vérifient l'équation ''X''<sup>2</sup> + ''X'' + 1 = 0. Ce qui permet de conclure que ''x''<sub>1</sub> est égal à 2 cos(2<math>\pi</math>/9), 2 cos(8<math>\pi</math>/9) ou 2 cos(14<math>\pi</math>/9).
'''Conclusion :''' Le groupe de Galois, permet la résolution de l'équation cubique par une diagonalisation d'un endomorphisme. La méthode est généralisable si et seulement si le groupe de Galois possède de bonnes propriétés, en fait s'il est [[groupe résoluble|résoluble]].
===Synthèse===
Ces exemples ont un point commun, ce sont les propriétés des structures algébriques qui permettent de trouver les solutions. Pour le premier exemple, la propriété démontrée par Lagrange sur les groupes (et donc les groupes multiplicatifs des corps) finis permet de conclure. Dans le deuxième exemple, ce sont les propriétés associées sur la dimension d'un l'espace vectoriel qui sont utilisées. Dans le troisième cas, sont utilisés les propriétés des corps et de leurs extensions, des groupes avec le théorème de Lagrange et celle des espaces vectoriels avec les propriétés de [[réduction d'endomorphisme]] dans le cas où le [[polynôme minimal d'un nombre algébrique|polynôme minimal]] est scindé.
La théorie de Galois offre une richesse dans les structures algébriques permettant de résoudre nombre de cas très différents et dans des domaines éloignés.
==Applications==
===Théorie algébrique des nombres===
La théorie algébrique des nombres est l'étude des nombres racines d'un polynôme à coefficients entiers, appelées [[nombre algébrique|nombres algébriques]].
La théorie de Galois est ici essentielle car elle offre la structure la plus adéquate d'analyse, à savoir l'[[extension finie]] la plus petite contenant les nombres étudiés. Un sous-ensemble joue un rôle particulier: celui des [[entier algébrique|entiers algébriques]], ils correspondent à la généralisation des entiers dans l'extension. L'étude de cet ensemble ajoute à la théorie de Galois de nombreuses propriétés issues de la théorie des anneaux. Les entiers algébriques jouent un rôle important pour la résolution d'équations d'[[arithmétique modulaire]] ou [[équation diophantienne|diophantiennes]].
On peut citer comme application de la théorie de Galois à ce domaine, le [[théorème de Gauss-Wantzel]] qui détermine tous les polygones réguliers constructibles à la règle et au compas. la [[Théorie de Kummer]] s'applique aux équations diophantiennes et permet de valider le [[grand théorème de Fermat]] pour presque tous les entiers inférieurs à cent. Enfin, dans le cadre de l'arithmétique modulaire, la loi de réciprocité d'Artin généralise la [[loi de réciprocité quadratique]] de Gauss et résoud le neuvième [[problèmes de Hilbert|problème de Hilbert]].
===Cryptographie===
[[Image:Lorenz-SZ42-2.jpg|right|thumb|La machine ''Lorenz'' utilisée par les Allemands durant la [[Seconde Guerre mondiale]]]]
La cryptographie est la discipline qui s'attache à protéger un message. Le cadre théorique maintenant le plus utilisé consiste à définir un [[Algorithmique|algorithme]] qui, associé à une clef permet de créer un nouveau message dit [[cryptogramme]] signifiant qu'il est chiffré. Le message chiffré est simple à déchiffrer, c'est-à-dire simple à transformer en message d'origine avec une clef et difficile sans celle-ci pour la personne qui s'efforce alors de le décrypter.
Dans une partie des théories modernes de cryptographie, les lettres du message sont choisies dans un corps fini. Le cadre est donc celui de la théorie de Galois.
Il est naturel que les outils associés soient ceux de la théorie. L'arithmétique modulaire (cf par exemple l'algorithme [[Rivest Shamir Adleman|RSA]]) est très largement employée. Si les techniques simples reposent sur des résultats élémentaires comme le [[théorème de Bézout]], le [[théorème des restes chinois]] ou l'[[exponentiation modulaire]], les développements actuels utilisent des outils plus subtils comme les courbes elliptiques (cf [[Cryptographie asymétrique#Une clé privée inviolable ?|une clé privée inviolable ?]]).
===Théorie des équations algébriques===
La problématique de la théorie des équations algébriques est celle qui donna naissance à la théorie de Galois. Elle complète le [[théorème d'Abel-Ruffini]] en proposant une condition nécessaire et suffisante pour l'existence d'une expression par radicaux des racines d'un polynôme.
Elle permet néanmoins d'aller plus loin. Le [[théorème de Kronecker-Weber]] explicite précisément la structure des extensions rationnelles associées aux polynômes ayant des racines s'exprimant par radicaux. Il devient alors possible de résoudre explicitement ''toutes'' les équations de cette nature.
Elle possède pour champs d'application tous les corps, offrant un outil puissant à l'[[arithmétique modulaire]]. Beaucoup de lois de réciprocité, de même nature que celle démontrée par Gauss dans le cas quadratique sont ainsi démontrables grace à la théorie de Galois.
Abel puis [[Charles Hermite|Hermite]] <small>([[1822]] [[1902]])</small> ont travaillé sur une autre approche : les [[fonction elliptique|fonctions elliptiques]]. Elles permettent, par exemple, d'exprimer les racines de toute équation polynomiale. La théorie géométrique de Galois intégre cette notion à travers les [[Courbe elliptique|courbes elliptiques]]. Le [[grand théorème de Fermat]] a été démontré à l'aide de méthodes de cette nature.
Il existe une théorie de Galois un peu particulière traitant des [[équation différentielle|équations différentielles]] polynomiales. Cette théorie prend le nom de [[théorie de Galois différentielle]]. Elle étudie une famille particulière de corps appelée '''extension différentielle'''. Ces corps possèdent des groupes de Galois. La résolution d'une équation algébrique correspond aussi à l'analyse du groupe associé et permet la résolution d'une équation différentielle.
===Géométrie algébrique===
==Les structures utilisées==
===Corps commutatifs===
{{Article détaillé|corps (mathématiques)|extension de corps}}
Le corps commutatif est l'objet de la théorie de Galois. C'est donc naturellement la structure centrale de la théorie.
La technique la plus importante de construction correspond à l'[[extension de corps|extension]], c'est-à-dire à un corps qui contient le corps d'origine. À partir d'un corps de base, souvent le plus petit, celui engendré par l'unité, qui est un corps cyclique (construit à partir d'un [[groupe cyclique]] d'ordre un nombre premier) ou celui des [[nombre rationnel|rationnels]] une nouvelle structure est créée.
Cette méthode permet la création d'une ''zoologie'' décrivant les différentes propriétés de la structure. Un corps peut ainsi être par exemple [[extension algébrique|algébrique]], [[extension simple|simple]], [[corps parfait|parfait]], [[extension quadratique|quadratique]], [[extension séparable|séparable]], [[corps cyclotomique|cyclotomique]] ou [[clôture algébrique|algébriquement clos]].
Il existe des théorèmes importants, comme celui de [[théorème de l'élément primitif|l'élément primitif]] ou celui de [[Théorème de Wedderburn|Wedderburn]] qui assurent que tout corps fini est commutatif.
===Espace vectoriel===
{{Article détaillé|Extension finie}}
Une extension possède une structure d'[[espace vectoriel]] sur son corps de base. Cette structure est importante à deux titres:
Elle permet de classifier l'étude des différents corps, ceux de dimension finie dit encore [[extension finie]] et les autres. De même qu'en algèbre linaire, le premier cas est infiniment plus simple que l'autre.
Elle est ensuite un outil qui permet la démonstration de nombreuses propriétés en adjoignant à la théorie les théorèmes d'algèbres linéaires. On peut citer par exemple le [[théorème de Gauss-Wantzel]] dont la démonstration se trouve dans le paragraphe [[Tour d'extension quadratique#Applications|applications des tours d'extension quadratique]] ou le [[théorème d'Abel-Ruffini]] qui utilise une [[diagonalisation]] d'[[endomorphisme]].
Le cas de dimension infinie est largement plus complexe, il est partiellement traité dans la [[théorie des corps de classe]].
===Anneau===
{{Article détaillé|Extension algébrique}}
Un outil important de la théorie est le [[polynôme]]. Et la structure d'anneau est celle de l'ensemble des polynômes. Il est utilisé par exemple pour construire des extensions. Une extension est ainsi souvent le quotient de l'anneau des polynômes par un [[idéal]] engendré par un polynôme irréductible.
Un polynôme joue un rôle particulier dans la théorie: le [[polynôme minimal d'un nombre algébrique|polynôme minimal]] qui est le polynôme unitaire de plus petit degré qui possède pour [[Racine (mathématiques)|racine]] un élément donné. Ainsi, une extension est algébrique si tous les éléments possèdent un polynôme minimal, quadratique si le polynôme minimal de tout élément est de degré inférieur ou égal à deux, séparable si aucun polynôme minimal n'a de racine multiple, cyclotomique si l'extension est engendrée par une racine d'un [[polynôme cyclotomique]]. Un corps est parfait si toute extension est séparable.
La théorie algébrique des nombres utilise aussi souvent des sous-ensembles d'une extension ne disposant que d'une structure d'anneau, comme par exemple les [[entier algébrique|entiers algébriques]].
===Groupe===
{{Article détaillé|Groupe de Galois|Théorème fondamental de la théorie de Galois}}
Cette structure est l'apport majeur du mathématicien portant le nom de la théorie.
Le groupe de Galois est le groupe des [[automorphisme]]s d'une extension laissant invariant le corps de base. Sous certaines conditions relativement générales, le corps est entièrement caractérisé par son groupe de Galois. Une extension satisfaisant ces conditions est dite [[extension de Galois|galoisienne]]. En particulier, si la structure d'espace vectoriel est de dimension finie, alors le groupe d'une extension abélienne a pour ordre la dimension du groupe.
Comme il est largement plus simple d'étudier un groupe fini qu'une structure de corps, l'analyse du groupe est une puissante méthode pour comprendre le corps. Le groupe de Galois est à l'origine de nombreux théorèmes. On peut citer le théorème fondamental de la théorie, le théorème d'Abel-Ruffini ou celui de [[théorème de Kronecker-Weber|Kronecker-Weber]].
===Topologie===
==Théories de Galois==
===Théorie classique===
Le terme de ''classique'' est largement utilisé, même s'il ne possède pas de définition précise. On le trouve par exemple, sur la page de présentation d'un membre de l'[[Académie des sciences (France)|Académie des sciences]] : [[Jean-Pierre Ramis]]. Il est aussi utilisé largement par ''Daniel Bertrand'' professeur à [[Université Pierre et Marie Curie|l'université de Paris VI]].
Il désigne en général la théorie recouvrant les [[extension algébrique|extensions]] [[extension algébrique|algébriques]] [[extension finie|finies]] et [[extension séparable|séparables]]. la théorie traite essentiellement des [[extension normale|extensions normales]] et donc [[extension de Galois|galoisiennes]]. Les résultats principaux sont le [[théorème de l'élément primitif]] et le [[théorème fondamental de la théorie de Galois]]. Ce cadre permet par exemple la démonstration du [[théorème d'Abel-Ruffini]] de [[théorème de Gauss-Wantzel|Gauss-Wantzel]] ou de [[théorème de Kronecker-Weber|Kronecker-Weber]], il est utilisé dans la classification des [[corps fini]]s.
L'étendue de cette théorie couvre l'état de la science à l'époque de Weber c'est-à-dire la fin du {{XIXe siècle}}, même si maintenant elle est très généralement présenté avec le formalisme d'Artin. Cela correspond un peu au cas de la dimension finie pour l'algèbre linéaire.
===Théorie de Galois infinie===
La théorie de Galois classique traite le cas des extensions algébriques finies. Toutefois, elle ne s'avère pas assez puissante pour traiter aussi celui des extensions algébriques infinies. Pour cela une étude algébrique ne s'avère pas suffisante, il faut y ajouter l'utilisation de propriétés topologiques.
Une extension algébrique est dite galoisienne si elle est séparable et normale. Son groupe de Galois peut alors être défini comme dans le cas classique, mais on y ajoute une topologie qui en fait un groupe topologique compact. Dans le cas d'une extension finie, cette topologie est discrète, de sorte que la seule information contenue dans le groupe de Galois est de nature algébrique.
Dans ce cadre, il existe un analogue au théorème fondamental de la théorie de Galois, qui donne une correspondance entre les sous-groupes fermés du groupe de Galois et les extensions intermédiaires de corps.
===Théorie géométrique===
===Théorie inverse===
Il est en général difficile de déterminer le groupe de Galois d'une extension donnée. Cette remarque pose naturellement la problématique inverse: soit un groupe donné, quel est l'extension sur un corps donné qui possède ce groupe comme groupe de Galois? Cette question est celle à laquelle la théorie inverse cherche à répondre.
Dans le cas des groupes finis, un premier résultat montre que si ''n'' est un entier strictement positif alors il existe une extension du corps des rationnels ayant pour groupe de Galois le [[groupe symétrique]] d'ordre ''n''. Par exemple, le [[corps de décomposition]] du polynôme rationnel ''X''<sup>n</sup> - ''X'' - 1 admet pour groupe de Galois le groupe symétrique d'ordre ''n''. Le [[théorème de Cayley]] et le [[théorème fondamental de la théorie de Galois]] permet d'en déduire que, pour tout groupe fini ''G'', il existe une extension d'un corps de nombres (c'est-à-dire une [[extension finie]] des nombres rationnels) ayant ''G'' pour groupe de Galois.
La théorie inverse cherche à répondre à trois questions :
:* Soit un groupe ''G'' et un corps ''K'', existe-t-il une extension de ''K'' ayant ''G'' pour groupe de Galois ?
:* Soit un groupe fini ''G'', existe-t-il une extension normale des rationnels ayant ''G'' pour groupe de Galois ?
:* Soit un groupe fini ''G'' et un corps ''K'', existe-t-il une extension normale de ''K'' ayant ''G'' pour groupe de Galois ?
Malgré d'importants progrès durant les trente dernières années du {{XXe siècle}}, en [[2006]] les trois questions restent très largement ouvertes.
===Théorie différentielle===
Certaines [[Liste de fonctions mathématiques#Primitives de fonctions élémentaires|fonctions élémentaires]] possèdent une [[primitive]] non élémentaire. Un exemple célèbre est la [[Fonction gaussienne|gaussienne]] définie par la primitive normalisée de la fonction [[Exponentielle|exp]](-''x'' <sup>2</sup>/ 2).
Il est à noter que quel que soit le choix de la liste définissant les fonctions élémentaires, il existe toujours des exemples où la primitive ne s'exprime pas en terme de composé algébrique d'éléments de la liste.
La '''théorie de Galois différentielle''' permet la détermination de l'ensemble des fonctions élémentaires dont la primitive est encore une fonction élémentaire. Cette théorie étudie des corps particuliers appelés [[corps différentiel]]s. Ce sont les corps ''K'' munis d'une dérivation <math>\delta</math>. Une dérivation est une opération vérifiant la propriété suivante :
<center><math>\forall a,b \in K \quad \delta (a+b) = \delta (a)+\delta(b)\quad et \quad \delta (a.b) = \delta (a).b + a.\delta( b) \;</math></center>
Cette branche traite d'une famille de corps, il est donc naturel de la considérer comme un cas particulier de la théorie de Galois. Cependant l'analogie va plus loin et à bien des égards, cette théorie ressemble à la théorie classique. La différence principale est que, dans ce contexte, le groupe de Galois n'est plus un groupe fini mais en général un [[groupe algébrique]].
===Théorie des corps de classes===
==Voir aussi==
===Notes===
{{références|colonnes=2}}
===Liens internes===
* [[Théorie de Galois à l'origine]], article retraçant les méthodes mathématiques de l'époque.
===Liens externes===
* {{fr}} [http://perso.orange.fr/frederic.gales/Index.htm l'esprit galoisien] par Frédéric Gales
* {{en}} [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Chronology/index.html Référence historiques de l'université de St Andrews]
* {{fr}} [http://www.galois-group.net/group/FR/ Les archives de Évariste Galois] Bernard Bychan
* {{fr}} [http://membres.lycos.fr/supermaths/doc/algebre/algebre/algebre.htm Algèbre] site supermaths
* {{fr}} [http://perso.univ-rennes1.fr/bernard.le-stum/Documents/galois.pdf Une courte présentation des extensions algébriques] par Bernard le Stum Université de Rennes 1 2001
* {{fr}} [http://www.institut.math.jussieu.fr/dea/aa/dea01-02/Galois.pdf Un cours de DEA sur la théorie de Galois] par Alain Kraus Université de Paris VI 1998
* {{fr}} [http://www.les-mathematiques.net/b/b/g/node2.php3 Groupe de Galois] dans les-mathématiques.net
* {{fr}} [http://clg-evariste-galois.scola.ac-paris.fr/mathemat.html Approche très simplifiée du théorème de Galois]
* {{en}} [http://www.math.niu.edu/~beachy/aaol/galois.html Résumé de la théorie de Galois] Excerpted from Beachy/Blair, Abstract Algebra, 2nd Ed
* {{en}} [http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/math594f.html Fields and Galois theory] par J.S. Milne.
===Références===
*R. et [[Adrien Douady|A. Douady]] ''Algèbre et théories galoisiennes'' Cassini 2005 — ISBN 2-84225-005-2
*S. Lang ''Algebre'' Dunod 2004
*P. Samuel ''Théorie algébrique des nombres'' Hermann Paris 1971
*E. Galois ''Écrits et Mémoires Mathématiques d'Évariste Galois'' Gauthier-Villars Paris, 1962
*G. Verriest ''Œuvres Mathématiques d'Évariste Galois'' Gauthier-Villars Paris, 1951
*J.C. Carrega ''Théorie des corps'' Hermann, 1989
*E. Artin ''Galois Theory'' Notre Dame Press, Londres 1971
*J. Bewersdorff ''Galois Theory for Beginners: A Historical Perspective'', AMS 200
*Charles Robert Hadlock, ''Field theory and its classical problems'', Collection : The Carus mathematical monographs 19, The Mathematical Association of America, 2000.( Agréable à lire, les pré-requis sont très modestes )
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