Théorie des catastrophes
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2008-07-15T18:43:40Z
Hegor
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{{ébauche|analyse}}
Dans le domaine de la [[Topologie différentielle (mathématiques)|topologie différentielle]], la '''théorie des catastrophes''', fondée par [[René Thom]], a pour but de construire le [[modèle dynamique]] [[continuité|continu]] le plus simple pouvant engendrer une [[Morphologie mathématique|morphologie]], donnée [[empirique]]ment, ou un ensemble de phénomènes discontinus.
Plus précisément, il s'agit d'étudier qualitativement comment les solutions d'équations dépendent du nombre de paramètres qu'elles contiennent. Le terme de "catastrophe" désigne le lieu où une fonction change brusquement de forme.
La force de cette théorie par rapport au traitement habituel des [[équation différentielle|équations différentielles]] est de tenir compte des fonctions comportant des [[singularité]]s, c'est-à-dire des variations soudaines.
== Théorème de la classification ==
Le résultat le plus célèbre obtenu est qu'il n'existe que sept formes de "catastrophes" possibles pour toutes les équations comportant au plus quatre paramètres. Chacune d'elles a reçu un nom en rapport avec sa forme :
* le pli (pour un paramètre en entrée et un en sortie) : <math>y = x^3 + ax</math>
* la fronce (pour deux paramètres) : <math>y = x^4 + ax^2 + bx</math>
* la queue d'aronde : <math>y = x^5 + ax^3 + bx^2 + cx </math>
* l'ombilic hyperbolique (la vague) : <math>z = x^3 + y^3 + axy + bx + cy </math>
* l'ombilic elliptique (le poil) : <math>z = x^3/3 - xy^2 + a(x^2+y^2) + bx + cy</math>
* le papillon : <math>y = x^6 + ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx</math>
* l'ombilic parabolique (le champignon) : <math>z = x^2y + y^4 + ax^2 + by^2 + cx + dy </math>
Avec au plus cinq paramètres il existe onze formes de catastrophes. Quand il y a six paramètres ou plus, la classification des catastrophes devient infinie - des 'modules' apparaissent.
== Applications ==
Ses applications sont d'abord en [[simulation]]s d'objets naturels.
On la retrouve aussi dans d'autres domaines : [[géologie]], [[mécanique appliquée]], [[hydrodynamique]], [[optique géométrique]], [[physiologie]], [[biologie]], [[linguistique]].
[[Erik Christopher Zeeman]] a, de façon controversée, étendu son application aux [[science humaine|sciences humaines]].
== Voir aussi ==
=== Bibliographie ===
* [[René Thom]], ''Stabilité structurelle et morphogénèse'', Interédition, [[Paris]], 1977
* {{en}} [[Vladimir Arnol'd]]. Catastrophe Theory, 3rd ed. Berlin: Springer-Verlag, 1992.
=== Liens ===
* [http://pst.chez-alice.fr/TCIvarEk.htm La Recherche N° 81 Septembre 1977, Volume 8, Pages 745-754 (Ivar Ekeland)] Cet article didactique contient des figures. Il y a un lapsus dans l'article de Ekeland : la classification des catastrophes élémentaires est toujours finie (avec onze formes, comme indiquées au-dessus) quand cinq paramètres sont présents. Ainsi le théorème de Thom n'est pas une explication possible du fait que notre espace-temps soit de dimension quatre, comme suggérait Ekeland à tort !
=== Articles connexes ===
* [[Ouca(ta)po]]
{{Portail mathématiques}}
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[[Catégorie:Systèmes dynamiques]]
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[[en:Catastrophe theory]]
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[[ru:Теория катастроф (математика)]]