Théorie des ensembles
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2008-07-02T21:31:53Z
François Le Maître
19282
/* Voir aussi */
La '''théorie des ensembles''' est une branche des [[mathématiques]], créée initialement par le [[mathématicien]] allemand [[Georg Cantor]] à la fin du {{XIXe siècle}}.
La théorie des ensembles définit les notions primitives ''ensemble'' et ''appartenance'', à partir desquelles on peut reconstruire les objets usuels des mathématiques : fonctions, relations, entiers naturels, relatifs, rationnels, nombres réels, complexes... C'est pourquoi la théorie des ensembles est considérée comme une [[Fondements des mathématiques|théorie fondamentale]] dont [[David Hilbert|Hilbert]] a pu dire qu'elle était un « paradis » créé par Cantor pour les mathématiciens.
En plus de proposer un fondement aux mathématiques, Cantor proposait avec la théorie des ensembles des concepts radicalement nouveaux, et notamment l'idée qu'il existe plusieurs types d'[[infini]] que l'on peut mesurer et comparer au moyen de nouveaux nombres ([[nombre ordinal|ordinaux]] et [[nombre cardinal|cardinaux]]).
À cause de sa modernité, la théorie des ensembles fut âprement controversée. On découvrit que cette théorie, dite naïve car non formalisée, menait à des [[paradoxe|paradoxes]] tels que le [[paradoxe de Russell]], parce qu'elle supposait que l'on pouvait réaliser n'importe quelle opération sur les ensembles, sans aucune restriction. Pour répondre à ces problèmes, plusieurs mathématiciens reconstruisirent la théorie des ensembles, en utilisant cette fois une approche formelle qui conduisit à plusieurs systèmes axiomatiques, le plus connu étant les [[théorie axiomatique des ensembles|axiomes de ZF]], mais également la [[théorie des classes]] de [[John von Neumann|von Neumann]] ou la [[théorie des types]] de [[Bertrand Russel|Russel]].
== Voir aussi ==
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* [[Théorie descriptive des ensembles]]
* [[Théorie naïve des ensembles]]
* [[théorie naïve des ensembles#Paradoxes et conséquences|Paradoxe de Russell et conséquences]]
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