Tore
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2008-07-10T00:47:19Z
Alain r
34670
/* Voir aussi */
{{Homophonie|Tor|Thor}}
Un '''tore''' est un [[solide géométrique]] représentant un [[tube (forme)|tube]] [[courbe|courbé]] refermé sur lui-même. Le terme « tore » comporte différentes acceptions plus spécifiques selon le contexte :
* En [[ingénierie]] ou en [[Géométrie dans l'espace|géométrie]] élémentaire, un tore désigne un [[solide de révolution]] de l'espace obtenu à partir d'un cercle, ou bien sa surface. Les [[donut]]s, de nombreux modèles de [[bouée]]s, ou encore certains [[joint torique]]s d'étanchéité ont ainsi une forme plus ou moins ''torique''.
* En [[architecture]], un tore correspond à une moulure ronde, semi-cylindrique, entourant le pied d'une colonne ou d'un pilier.
* En [[mathématiques]], plus particulièrement en [[topologie]], un tore est un [[quotient]] d'un espace vectoriel réel de dimension finie par un réseau, ou tout espace topologique qui lui est [[homéomorphe]]. La surface du solide de révolution décrit ci-dessus est généralement homéomorphe à ('''R'''/'''Z''')×('''R'''/'''Z'''), exception faite des cas de [[dégénérescence (mathématiques)|dégénérescence]].
==Le solide de révolution==
[[Image:torus_cycles.png|thumb|right|Un tore est engendré par la rotation d'un cercle autour d'un autre cercle.]]
[[Image:Tore.svg|thumb|right|Le tore est également obtenu par recollement des côtés opposés d'un carré]]
Un '''tore''' désigne le [[volume]] de l'espace euclidien '''R'''<sup>3</sup> engendré par la [[rotation]] d'un [[cercle]] C de rayon ''r'' autour d'une droite affine ''D'' située dans son plan à une distance ''R'' de son centre. Dans cette acceptation, certains auteurs désignent par ''tore plein'' le solide obtenu, réservant le terme tore pour la surface correspondante. À l'action d'une isométrie affine directe près, le tore (plein) est uniquement déterminé par les deux paramètres réels ''R'' et ''r''.
La forme du tore (plein) dépend du signe de ''R''-''r'' :
* Si ''R'' < ''r'', le tore est dit « croisé » et ressemble visuellement à une [[citrouille]] ; le solide est topologiquement une boule fermée de l'espace tridimensionnel, sa surface est une sphère.
* Si ''R'' = ''r'', le tore est dit « à collier nul ».
* si ''R'' > ''r'', le tore est dit « ouvert » et ressemble à une [[chambre à air]] (exemple francophone) ou à un donut (exemple anglophone).
Pour ''R'' = 0, alors le tore (plein) correspondant est effectivement une boule (solide obtenu par la rotation d'un disque autour de l'un de ses diamètres). Certains auteurs réservent la dénomination '''tore''' pour ''R''-''r'' positif, voire strictement positif.
[[Image:Les trois types de tores.PNG|center|500px]]
<center>''Les trois types de tores : Tore croisé, à collier nul, et ouvert.''</center>
===Aire et volume===
[[Image:Tore.png|thumb|240px|Tore ouvert, pour lequel ''R'' = 3 ''r'']]
Pour ''R''-''r'' positif ou nul, on a :
* [[Aire (géométrie)|Aire]] du tore : A = 4 π² r R ;
* [[Volume]] intérieur du tore : V = 2 π² r² R.
Les théorème de Gysin permettent de déterminer les formules de l'aire et du volume du tore croisé (pour ''R''<''r'').
===Groupe des isométries===
Pour ''R''>0, parmi les isométries remarquables du tore, on distingue :
* Les rotations ''r''<sub>''u''</sub> d'axe (supposé orienté) ''D'' et d'angle ''u'' ;
* Le retournement ''a'' par rapport au plan affine ''P'' orthogonal à ''D'' passant par le centre de ''C'' ;
* Le retournement ''b''<sub>''Q''</sub> par rapport à tout plan affine ''Q'' contenant ''D'' ;
* La symétrie centrale ''s'' par rapport au projeté orthogonal ''O'' de ''C'' sur ''D'' ;
* Les symétries axiales par rapport à toute droite passant par ''O'' et contenue dans ''P'' ;
* Les composées d'une rotation ''r''<sub>''u''</sub> par le retournement ''a''.
Evidemment, la symétrie centrale et les symétries axiales s'obtiennent comme composées des retournements décrits. Le groupe ''G'' des isométries du tore est isomorphe au produit direct de '''Z'''/2'''Z''' par le produit semi-direct de '''S'''<sup>1</sup> par '''Z'''/2'''Z''' :
:<math>G=Z/2Z\times (R/2\pi Z\rtimes Z/2Z) </math>.
Un isomorphe naturel est décrit comme suit :
* ''r''<sub>''u''</sub> correspond à (0,u,0) ;
* ''a'' correspond à (1,0,0) ;
* Pour un plan ''Q'' fixé arbitraire, ''b''<sub>''Q''</sub> correspond à (0,0,1).
En particulier, ''b''<sub>''r''<sub>''u''</sub>(''Q'')</sub>=''r''<sub>''u''</sub>''b''<sub>''Q''</sub>''r''<sub>-''u''</sub> correspond à (0,u,1) ; ''s'' correspond à (1,π,0) ; ...
===Applications===
* En recherche [[nucléaire]] énergétique, dans les réacteurs de type [[tokamak]], le [[Physique des plasmas|plasma]] est contenu par de forts [[champ magnétique|champs magnétiques]] dans une chambre de forme torique. L'un de ces réacteurs porte d'ailleurs le nom de ''Tore Supra''. C'est aussi la forme des accélérateurs de particules les [[synchrotron]]s
* En électricité, la forme idéale du bobinage d'un [[transformateur]] est celle du tore.
==Le tore de dimension ''n''==
En [[topologie]], le terme ''tore'' est réservé pour désigner des espaces topologiques bien définis à difféomorphisme près. Il existe plusieurs présentations, toutes équivalentes. On appelle '''tore de dimension ''n'' ''', habituellement noté dans la littérature mathématique '''T'''<sup>''n''</sup>, l'espace topologique unique à homéomorphisme près défini comme :
* Produit cartésien de ''n'' copies du [[cercle]] ;
* Quotient de '''R'''<sup>''n''</sup> par '''Z'''<sup>''n''</sup> ;
* Plus généralement, quotient d'un [[espace vectoriel réel]] de [[dimension finie]] ''n'' par un [[Réseau (géométrie)|réseau]] (ici, sous-groupe additif discret maximal) ;
Le tore de dimension ''n'' est une variété topologique compacte et connexe de dimension ''n''. Obtenu comme quotient d'un espace vectoriel réel, '''T'''<sup>''n''</sup> est une variété différentielle (compacte et connexe de dimension ''n'') ; l'atlas maximal correspondant ne dépend ni du réseau, ni de l'espace vectoriel.
Si ''E'' est un espace vectoriel euclidien de dimension ''n'' et ''G'' un réseau de ''E'', le quotient '''T'''<sup>''n''</sup>=''E''/''G'' se présente naturellement comme une [[variété plate]].
Le groupe fondamental de '''T'''<sup>''n''</sup> est le groupe abélien libre à ''n'' générateurs, soit '''Z'''<sup>''n''</sup>.
Le tore de dimension ''n'' est l'unique [[groupe de Lie]] abélien compact. L'introduction des [[tore maximal|tores maximaux]] (sous-groupe de Lie abélien compact maximal) est d'une importance capitale dans l'étude des groupes de Lie compacts.
== Voir aussi ==
* [[Univers en tore bidimensionnel]].
* [[Cercles de Villarceau]]
* [[Bouteille de Klein]]
* [[Plan projectif]]
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