Torseur cinétique
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2008-06-02T00:47:08Z
PieRRoMaN
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wikif
Le '''torseur cinétique''' est un outil [[Mathématiques|mathématique]] utilisé notamment pour calculer l'[[énergie cinétique]] d'un système.
== Définition ==
Le torseur cinétique comme tous les [[torseur]]s est la réduction en un point d'un champ [[Vecteur|vectoriel]] en deux vecteurs particuliers.
Sa notation est la suivante :
<math> { \mathcal{C} (S/R)} _{A} =
\begin{Bmatrix}
\overrightarrow{p}(S/R) \\
\overrightarrow{\sigma _A}(S/R)
\end{Bmatrix}_{A/R}
</math>
avec R repère d'étude, S solide étudié, A point quelconque du solide S.
== Quantité de mouvement ==
Le vecteur <math> \overrightarrow{p}(S/R)</math> représente la [[quantité de mouvement ]] du solide. La quantité de mouvement s'exprime en <math> kg.m.s^{-1}</math>
On a <math> \overrightarrow{p}(S/R) = m \vec V (G/R) = \int_{(S)} {\vec V (P \in S/R) dm}</math>.
Où <math> \vec V (G/R) </math> est la vitesse du point G par rapport au repère et <math> \vec V (P \in S/R) </math> est le vecteur vitesse du solide par rapport au repère, les vitesses sont en <math>m.s^{-1}</math>.
Avec G centre de gravité de S.
== Moment cinétique ==
Le vecteur <math>\overrightarrow{\sigma _A}(S/R)</math> est le [[moment cinétique]].
On a <math> \overrightarrow{\sigma _A}(S/R) = \int_{(S)} {\vec {AP} \wedge \vec V (P \in S/R) dm(p)}</math>.
ou encore
<math>
\overrightarrow{\sigma _A}(S/R) = \vec{AG} \wedge m\vec V(A/R) + \begin{bmatrix} I _A(S) \end{bmatrix}. \vec \Omega (S/R)
</math>
avec <math> \begin{bmatrix} I _A(S) \end{bmatrix} </math> [[matrice d'inertie]] de S ecrite en A.
Relation entre le moment cinétique et le moment dynamique :
<math>
\overrightarrow{\delta _A}(S/R) = \frac{d}{dt} \overrightarrow{\sigma _A}(S/R) + m \vec V(A/R) \wedge \vec V (G/R).
</math>
Cette relation se simplifie lorsque les points A et G sont confondus.
<math>
\overrightarrow{\delta _G}(S/R) = \frac{d}{dt} \overrightarrow{\sigma _G}(S/R).
</math>
== Énergie cinétique ==
Grâce aux notations torsorielles on peut calculer l'[[énergie cinétique]] d'un solide. Cette dernière est égale à la moitié du [[comoment]] du torseur cinétique par le [[torseur cinématique]].
<math>
T(S/R) = \frac{1}{2}
\begin{Bmatrix}
\mathcal{C} (S/R) _{G} \\
\end{Bmatrix}
\otimes
\begin{Bmatrix}
\mathcal{V} (S/R) _{G} \\
\end{Bmatrix}
</math>
L'[[énergie cinétique]] est exprimée en Joules (J).
{{Portail|physique}}
[[Catégorie:Torseur|Cinetique]]