Triangle de Sierpiński
14637
28965749
2008-04-25T07:11:13Z
JAnDbot
127921
robot Ajoute: [[cs:Sierpinského trojúhelník]] Modifie: [[he:משולש סרפינסקי]]
[[Image:SierpinskiTriangle.svg|thumb|150px|Triangle de Sierpiński]]
Le '''triangle de Sierpiński''', aussi appelé par [[Benoît Mandelbrot|Mandelbrot]] le '''joint de culasse de Sierpiński''', est une [[fractale]], du nom de [[Waclaw Sierpinski|Wacław Sierpiński]].
== Construction ==
; Algorithme 1
<center>[[Image:Sierpinski_triangle_evolution.svg|512px|Étapes de construction du triangle de Sierpiński]]</center>
Un [[Algorithmique|algorithme]] pour obtenir des approximations arbitrairement proches du triangle de Sierpiński peut s'écrire de la manière suivante :
#Commencer à partir d'un [[triangle]] quelconque du [[plan]]. Le triangle canonique de Sierpiński se construit à partir d'un [[triangle équilatéral]] ayant une base parallèle à l'axe des abscisses.
#Tracer les trois segments qui joignent deux à deux les milieux des côtés du triangle, ce qui délimite 4 nouveaux triangles.
# Enlever le petit triangle central. Il y a maintenant trois petits triangles qui se touchent deux à deux par un sommet, dont les longueurs des côtés sont la moitié de celles du triangle de départ (obtenue par une homothétie de rapport 1/2), et dont l'aire est divisée par 4.
#Recommencer à la deuxième étape avec chacun des petits triangles obtenus.
La fractale s'obtient après un nombre infini d'[[itération]]s. À chaque étape, l'aire de l'ensemble diminue, elle est multipliée par 3/4.
; Algorithme 2
Avec l'algorithme 1, le nombre de triangles à traiter se multiplie de manière exponentielle (x 3 à chaque étape : 1, puis 3, puis 9, puis 27, etc. : 3<sup>n-1</sup> après la n<sup>ième</sup> étape). On peut obtenir le même résultat par une méthode équivalente (mais plus facile à formaliser et calculer) : appliquer trois [[homothétie]]s de rapport 1/2 et de centre chacun des sommets de la figure, et tracer la nouvelle figure comme union des trois résultats. De cette façon, à chaque étape, il n'y a que trois opérations à faire.
En outre, on peut caractériser le triangle de Sierpiński comme étant l'ensemble laissé fixe par cette transformation, qu'on peut noter h<sub>a</sub> U h<sub>b</sub> U h<sub>c</sub>, où h<sub>x</sub> l'[[homothétie]] de rapport 1/2 de centre ''x'', et où ''a'', ''b'' et ''c'' sont les sommets du triangle initial.
Cela implique que si on applique l'itération infinie de l'opération h<sub>a</sub> U h<sub>b</sub> U h<sub>c</sub> à un ensemble fini quelconque, et a,b et c trois points distincts, on obtient (les images « convergent » vers) le triangle de Sierpiński de sommets a, b et c. Le triangle de Sierpiński est un [[attracteur]] de trois homothéties de rapport 1/2 centrées aux sommets.
; Algorithme 3
Une autre propriété interessante se révèle si on considère un point quelconque. Ce point constitue un ensemble auquel on peut appliquer les opérations h<sub>a</sub>, h<sub>b</sub> et h<sub>c</sub>. Ainsi, la suite des points obtenus forment un ensemble dense dans le triangle de Sierpiński. On peut même se contenter de n'appliquer qu'une des opérations h<sub>a</sub>, h<sub>b</sub> et h<sub>c</sub>, choisie aléatoirement à chaque étape. Ainsi l'algorithme suivant génèrera des approximations arbitrairement proches du triangle de Sierpiński :
On considère un point pris au hasard '''v'''<sub>1</sub>. On pose '''v'''<sub>n + 1</sub>= 1/2 ('''v'''<sub>n</sub> + '''p'''<sub>n</sub>), où p<sub>n</sub> est un point aléatoire égal à a, b ou c. On place les points '''v'''<sub>1</sub> jusqu'à '''v'''<sub>∞</sub>.
Si le point initial '''v'''<sub>1</sub> est un point du triangle de Sierpiński, alors tous les points '''v'''<sub>n</sub> appartiennent au triangle de Sierpinski. Si le premier point '''v'''<sub>1</sub> se trouve dans le périmètre du triangle et n'est pas un point du triangle de Sierpiński, alors aucun des points '''v'''<sub>n</sub> n'appartient au triangle de Sierpiński, cependant la suite des points '''v'''<sub>n</sub> converge vers un point du triangle de Sierpiński. Même si '''v'''<sub>1</sub> est hors du triangle, alors la probabilité qu'il existe un point de la suite à partir duquel tous les points sont dans le triangle a,b,c, est égale à 1, et ils seront alors soit tous dans le triangle de Sierpiński, soit tous en dehors mais en s'en rapprochant aussi arbitrairement que souhaité.
; Algorithme 4
Si on le construit à partir d'un [[triangle de Pascal]] avec 2<sup>''n''</sup> lignes et que l'on colore les nombres pairs en blanc et les nombres impairs en noir, alors le résultat est une approximation du triangle de Sierpiński.
[[Image:triangle de Sierpinski.png|thumb|center|400px|triangle de Sierpiński avec sept itérations]]
== Dimension ==
Le triangle de Sierpiński a une dimension fractale ou une [[dimension#Dimension de Hausdorff - Besicovitch|dimension de Hausdorff]] égale à <math>\log 3/\log 2</math>, égal à environ <math>1{,}585</math>, ce qui vient du fait qu'il est la réunion de trois copies de lui-même, chacune étant réduite d'un facteur 1/2.
== Illustration ==
Le logo de l'[[École Nationale des Ponts et Chaussées]] représente un triangle de Sierpiński au bout de la deuxième itération.
[[Image:Logo_enpc_small.png|thumb|center|200px|Logo de l'École Nationale des Ponts et Chaussées]]
== Voir aussi ==
{{Commons|Sierpinski triangle|le triangle de Sierpiński}}
=== Articles connexes ===
* [[Tapis de Sierpinski]], une construction similaire de rectangles
* [[Triangle de Sierpinski (programme informatique)|Triangle de Sierpinski]], programmes en langages C et Java pour créer une telle fractale.
* [[Liste de fractales par dimension de Hausdorff]]
=== Liens externes ===
* {{en}} [http://www.stilldreamer.com/articles/sierpinskis_triangle/ ''Sierpinski's Triangle'']
* {{en}} [http://www.jwz.org/xscreensaver/ Xscreensaver] contient des modules pour afficher des versions animées du triangle de Sierpiński en deux et en trois dimensions, pour X Window.
{{Portail mathématiques}}
[[Catégorie:Fractale|Sierpinski (Triangle)]]
{{lien BA|de}}
[[ca:Triangle de Sierpiński]]
[[cs:Sierpinského trojúhelník]]
[[de:Sierpinski-Dreieck]]
[[en:Sierpiński triangle]]
[[eo:Triangulo de Sierpinski]]
[[es:Triángulo de Sierpinski]]
[[gl:Triángulo de Sierpinski]]
[[he:משולש סרפינסקי]]
[[hr:Trokut Sierpińskog]]
[[it:Triangolo di Sierpinski]]
[[ja:シェルピンスキーのギャスケット]]
[[ko:시에르핀스키 삼각형]]
[[pl:Trójkąt Sierpińskiego]]
[[pt:Triângulo de Sierpinski]]
[[ru:Треугольник Серпинского]]
[[sv:Sierpinskitriangel]]
[[uk:Трикутник Серпінського]]
[[zh:謝爾賓斯基三角形]]