Trigonométrie 58688 31757300 2008-07-21T12:49:45Z 81.242.194.123 /* Quelques problèmes célèbres */ [[Image:Table_of_Trigonometry,_Cyclopaedia,_Volume_2.jpg|thumb|right|270px|Table de Trigonométrie, 1728 ''[[Cyclopaedia]]'']] La '''trigonométrie''' (du [[grec ancien]] τρίγωνος / ''trígonos'', « triangulaire », et μέτρον / ''métron'', « mesure ») est une branche des [[mathématiques]] qui traite des relations entre distances et angles dans les [[triangle]]s et des [[fonction trigonométrique|fonctions trigonométriques]] telles que [[fonction trigonométrique|sinus]], [[fonction trigonométrique|cosinus]] et [[fonction trigonométrique|tangente]]. == Présentation == === Histoire de la trigonométrie === ====Premières techniques de mesure du triangle==== Les origines de la trigonométrie remontent aux civilisations d'[[Égypte antique]], de [[Mésopotamie]] et de [[Civilisation de la vallée de l'Indus|la vallée de l'Indus]], il y a plus de 4000 ans. Il semblerait que les Babyloniens aient basé la trigonométrie sur un système numérique à [[Base (arithmétique)|base]] 60. [[Lagadha]] ([[-1350]] ; [[-1200]]) est le premier mathématicien à utiliser la géométrie et la trigonométrie pour l'astronomie. La plupart de ses travaux sont aujourd'hui détruits. La première utilisation de sinus apparaît dans les [[sulba Sutras]] en Inde, entre 800 et 500 avant J.C., où le sinus de [[π]]/4 (45°) est correctement calculé comme 1/√2 dans un problème de construction d'un cercle de même aire qu'un carré donné (le contraire de la [[quadrature du cercle]]). ====Les astronomes grecs==== Le mathématicien grec [[Hipparque de Nicée]] ([[-190]] ; [[-120]]) construisit les premières tables trigonométriques sous la forme de tables de cordes : elles faisaient correspondre à chaque valeur de l'angle au centre, la longueur de la corde interceptée dans le cercle, pour un rayon fixe donné. Ce calcul correspond au double du sinus de l'angle moitié, et donne donc, d'une certaine façon, ce que nous appelons aujourd'hui une table de sinus. Toutefois, les tables d'Hipparque n'étant pas parvenues jusqu'à nous, elles ne nous sont connues que par le mathématicien égyptien [[Ptolémée]], qui les publia, dans les années 100, avec leur mode de construction dans son ''[[Almageste]]''. C'est ainsi qu'elles furent redécouvertes à la fin du Moyen-Âge par [[Georg von Purbach]] et son élève [[Regiomontanus]]. Le mathématicien indien [[Aryabhata]], en 499, donne une table des sinus et des cosinus. Il utilise ''zya'' pour sinus, ''kotizya'' pour cosinus et ''otkram zya'' pour l'inverse du sinus. Il introduit aussi le [[sinus verse]]. Un autre mathématicien indien, [[Brahmagupta]], utilise en 628 l'[[interpolation numérique]] pour calculer la valeur des sinus jusqu'au second ordre. ====Essor dans le monde musulman==== [[Omar Khayyam]] ([[1048]]-[[1131]]) combine l'utilisation de la trigonométrie et la [[théorie de l'approximation]] pour fournir des méthodes de résolutions d'équations algébriques par la géométrie. Des méthodes détaillées de constructions de tables de sinus et cosinus pour tous les angles sont écrites par le mathématicien [[Bhāskara II|Bhaskara]] en [[1150]]. Il développe aussi la [[trigonométrie sphérique]]. Au {{XIIIe siècle}}, [[Nasir ad-Din at-Tusi|Nasir al-Din Tusi]], à la suite de [[Bhāskara II|Bhaskara]], est probablement un des premiers à considérer la trigonométrie comme une discipline distincte des mathématiques. Enfin, au {{XIVe siècle}}, [[Al-Kashi]] réalise des tables de fonctions trigonométriques lors de ses études en astronomie. ==== En Europe : redécouverte de Ptolémée ==== En Europe, la trigonométrie se développe vers le milieu du {{XIVe}} siècle avec la traduction en [[latin]] des œuvres de Ptolémée. Les pionniers en ce domaine sont [[Georg von Purbach]] et surtout son étudiant [[Regiomontanus]]. Suivent au début du {{XVIe}} siècle les traités d'[[Oronce Finé]], [[Pedro Nunes]] et [[Joachim Rheticus]]. Le mathématicien [[silésie]]n [[Pitiscus|Bartholomäus Pitiscus]] publie un travail remarquable sur la trigonométrie en [[1595]], dont le titre (''Trigonometria'') a donné son nom à la discipline. C'est le mathématicien flamand [[Adrien Romain]] qui introduit la notation moderne <math>\sin \ \alpha</math>. === Applications === {{article détaillé|Applications de la trigonométrie}} Les applications de la trigonométrie sont immenses. En particulier, elle est utilisée en [[astronomie]] avec la technique de [[triangulation]] qui permet de mesurer la distance entre les étoiles. Les autres champs où la trigonométrie intervient (liste non exhaustive) : [[acoustique]], [[optique]], [[électronique]], [[statistiques]], [[économie]], [[biologie]], [[chimie]], [[médecine]], [[physique]], [[météorologie]], [[géodésie]], [[géographie]], [[cartographie]], [[cryptographie]], etc. ==Trigonométrie== [[Image:Rtriangle.svg|175px|right]] Une définition possible des [[fonction trigonométrique|fonctions trigonométriques]] est d'utiliser les triangles rectangles, c’est-à-dire les triangles qui possèdent un angle droit (90° ([[Degré (angle)|degré]]s) ou π/2 [[radian]]s). Et parce que la somme des [[angle]]s d'un [[triangle]] fait 180° (ou π radians), l'angle le plus grand dans un tel triangle est l'angle droit. Le côté le plus long dans un triangle rectangle, c’est-à-dire le côté opposé à l'angle le plus grand (l'angle droit), s'appelle l''''[[hypoténuse]]'''. Dans la figure à droite, l'angle <math>\widehat{ACB}</math> forme l'angle droit. Le côté AB l'hypoténuse. Les fonctions trigonométriques se définissent ainsi, avec l'angle <math>\widehat{BAC} = A</math> : :<math> \sin A = {\mbox{opp} \over \mbox{hyp}} = {a \over c} \qquad \cos A = {\mbox{adj} \over \mbox{hyp}} = {b \over c} \qquad \tan A = {\mbox{opp} \over \mbox{adj}} = {a \over b} </math> :Avec ''opp'' pour côté opposé, ''adj'' pour côté adjacent et ''hyp'' pour hypoténuse. Moyen mnémotechnique pour retenir les fonctions trigonométriques : * SOHCAHTOA (S : sinus, C : cosinus, T : tangente, O : opposé, H : hypoténuse, A : adjacent), ou alors * « casse-toi » (CAHSOHTOA); * on peut remarquer que « cosinus » et « sinus » sont dans le même ordre alphabétique que « adjacent » et « opposé », et que ''x'' et ''y'' (vis à vis du [[cercle trigonométrique]]). Ce sont les fonctions trigonométriques les plus importantes et il en existe beaucoup d'autres. Elles ont été définies pour les angles entre 0° et 90° (soit entre 0 et π/2 radians). En utilisant le [[cercle unité]], on peut étendre cette définition. ==Formules de trigonométrie== {{Article détaillé|amorce=Pour retrouver toutes les autres formules de trigonométrie, voir l'article|Identité trigonométrique}} ===Identité fondamentale=== Quel que soit l'angle A, on a: : <math> \cos^{2} A + \sin^{2} A = 1 \,</math> ===Formules d'addition et de différence=== :<math>\sin (A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B \,</math> :<math>\sin (A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \,</math> :<math>\cos (A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \,</math> :<math>\cos (A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B \,</math> :<math>\tan (A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B} \,</math> :<math>\tan (A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} \,</math> ===Formules de l'arc moitié=== Ces formules sont importantes à retenir car elles interviennent dans de très nombreux problèmes. En posant : <math>t = \tan \frac{A}{2}</math>, on a alors : :<math>\sin\ A = {{2\,t} \over {1+t^{2}}}</math> :<math>\cos\ A = {{1-t^{2}} \over {1+t^{2}}}</math> :<math>\tan\ A = {{2\,t}\over {1-t^{2}}}</math> ===Formules de développement et de factorisation (Formules de Simpson)=== '''Développement''' :<math>\cos a \times \cos b = {{\cos(a-b)+\cos(a+b)} \over 2}</math> :<math>\sin a \times \sin b = {{\cos(a-b)-\cos(a+b)} \over 2}</math> :<math>\sin a \times \cos b = {{\sin(a+b) + \sin(a-b)} \over 2}</math> '''Factorisation''' :<math>\cos p + \cos q = 2 \cos \left( {{p+q} \over 2} \right) \cos \left( {{p-q} \over 2} \right)</math> :<math>\cos p - \cos q = -2 \sin \left( {{p+q} \over 2} \right) \sin \left( {{p-q} \over 2} \right)</math> :<math>\sin p + \sin q = 2 \sin \left( {{p+q} \over 2} \right) \cos \left( {{p-q} \over 2} \right)</math> :<math>\sin p - \sin q = 2 \cos \left( {{p+q} \over 2} \right) \sin \left( {{p-q} \over 2} \right)</math> === Théorème d'Al-Kashi ou Loi des cosinus === : <math>a^2 = b^2 + c^2 - 2\,b\,c \cdot cos\ A</math> Cette formule a une importance particulière en triangulation et a servie à l'origine en astronomie (voir [[Théorème d'Al-Kashi]] pour plus de détails). On doit au mathématicien [[Ghiyath al-Kashi]], de l'école de [[Samarcande]], de mettre le théorème sous une forme utilisable pour la [[triangulation]] au cours du {{XVe siècle}}. === Résoudre un triangle === C'est, étant donné un côté et deux angles adjacents, ou un angle et deux côtés adjacents, ou à la rigueur deux côtés b et c et l'angle B , trouver le triangle correspondant, c'est-à-dire , a, b, c , A,B, C (et vérifier une des règles non appliquée dans le processus). On résout ce genre de problème à l'aide des formules précédentes (plus la formule de projection évidente a = b.cosC +c.cosB). Exemple : Sur l'axe Ox , OB = 1 et OC = 1.5 . OBM = 60° et OCM = 30° Trouver M : On résout ainsi : faire l'épure ; M se trouve en (x= 0.75 ; y = 0.45) environ . Raisonner : triangle BMC : B = 120°, C = 30° donc M = 30° ; donc triangle isocèle en B : BM = 0.5 ; puis CM = 2.(0.5).cos C = sqrt(3)/2. Soit H la projection de M sur l'axe : HM = y et angle HMB = 30°. Il en résulte que y = sqrt(3)/4 = 0,433 et x = 1-(0,5)/2 = 0,75 . La distance OM = sqrt(3)/2 = MC, et azimut de M = 30°, angle OMB = 90°. Il est rare du point de vue cadastral que les cas soient aussi simples. En général on demande 4 à 6 ChS (chiffres significatifs) : les calculettes ont considérablement réduit le travail assez fastidieux de "réduction des triangles". Rappelons que la mesure du degré du méridien terrestre de Paris s'est effectué de la sorte entre Malvoisine et Montlhéry par l'abbé Picard, dans le milieu du XVIIéme siècle. La surface S du triangle se calcule par la formule des sinus ou la formule d'Héron (d'Alexandrie) qui s'en déduit : S² = p(p-a)(p-b)(p-c). ''Article détaillé : [[Résolution d'un triangle]]'' == Quelques problèmes célèbres == * La [[quadrature du cercle]] : construire un carré de même aire qu'un cercle donné à l'aide d'une règle et d'un compas, ce problème est insoluble. * L'approximation sin A = A - k A³ avec k = 1/6 quand A est petit (en radian !) peut se déduire de la formule sin(3A) = 3.sinA -4 sin³A : les termes en A³ donnent : -k27 = -3k -4 , CQFD. * La flèche d'une corde AB sous tendant l'arc AOB = 2 α : soit I milieu de AB et CD le diamètre passant par I : ID = flèche telle que f( 2R-f) = (R sin α)² * Aire de l'onglet : S = R²[<math>\alpha</math> - sin(2.<math>\alpha</math>)/2] quand alpha est tout petit , on compare cette aire à celle de la parabole osculatrice 1/3 f.AB (théorème d'Archimède): la différence est d'ordre supérieur à 3. * Formule de Machin (1706) : soit A l'arc dont la tangente est 1/5 et B celui dont l'arc est 1/239 : alors 4A -B = <math>\pi</math>/4, ce qui donne une bonne approximation de Pi, "assez rapidement". Cette formule se généralise. * Polygones réguliers constructibles : l'heptagone et le nonagone sont impossibles, mais le polygone à 17 côtés ([[heptadécagone]]) est constructible (théorème de Gauss à 19 ans : 1796) ; par contre on peut construire par pliage (cf [[origami]]) l'heptagone et le nonagone. On trouve néanmoins aisément A = 360°/7 , alors sin A .sin 2A .sin 3A = sqrt(7) /8 et pour les cosinus 1/8 cf article. Des formules semblables existent pour le nonagone. *[[CORDIC|algorithme CORDIC]] de Briggs et redécouvert par Volker : ou comment votre calculette va-t-elle aussi vite ? ==Voir aussi== *[[Identité trigonométrique]] *[[Cercle unité]] *[[Fonction trigonométrique]] *[[Fonction hyperbolique]] *[[Trigonométrie de Wildberger]] *[[Trigonométrie complexe]] *[[Sens trigonométrique]] {{Wikiversité|Trigonométrie}} {{Commons|Category:Trigonometry|Catégorie:Trigonométrie}} {{Portail mathématiques}} [[catégorie:Angle]] [[catégorie:Trigonométrie|*]] [[af:Driehoeksmeting]] [[ar:حساب مثلثات]] [[be:Трыганаметрыя]] [[be-x-old:Трыганамэтрыя]] [[bg:Тригонометрия]] [[bn:ত্রিকোণমিতি]] [[bs:Trigonometrija]] [[ca:Trigonometria]] [[cs:Trigonometrie]] [[cy:Trigonometreg]] [[da:Trigonometri]] [[de:Trigonometrie]] [[el:Τριγωνομετρία]] [[eml:Trigonometrî]] [[en:Trigonometry]] [[eo:Trigonometrio]] [[es:Trigonometría]] [[eu:Trigonometria]] [[fa:مثلثات]] [[fi:Trigonometria]] [[gl:Trigonometría]] [[he:טריגונומטריה]] [[hi:त्रिकोणमिति]] [[hr:Trigonometrija]] [[hu:Trigonometria]] [[id:Trigonometri]] [[it:Trigonometria]] [[ja:三角法]] [[ka:ტრიგონომეტრია]] [[ko:삼각법]] [[ku:Trigonometri]] [[la:Trigonometria]] [[lo:ໄຕມຸມ]] [[lt:Trigonometrija]] [[lv:Trigonometrija]] [[mk:Тригонометрија]] [[ml:ത്രികോണമിതി]] [[nl:Goniometrie]] [[nn:Trigonometri]] [[no:Trigonometri]] [[pa:ਤਿਕੋਣਮਿਤੀ]] [[pl:Trygonometria]] [[pt:Trigonometria]] [[qu:Wamp'artupuykama]] [[ro:Trigonometrie]] [[ru:Тригонометрия]] [[scn:Trigunomitrìa]] [[sh:Trigonometrija]] [[simple:Trigonometry]] [[sk:Trigonometria]] [[sl:Trigonometrija]] [[sr:Тригонометрија]] [[sv:Trigonometri]] [[ta:முக்கோணவியல்]] [[te:త్రికోణమితి]] [[th:ตรีโกณมิติ]] [[tr:Trigonometri]] [[uk:Тригонометрія]] [[vi:Lượng giác]] [[zh:三角学]] [[zh-min-nan:Saⁿ-kak-hoat]] [[zh-yue:三角學]]