Trigonométrie de Wildberger 399935 30206159 2008-06-01T10:05:16Z Esprit Fugace 66875 balayage reste de bac à sable et éventuellement autres détails de mise en forme {{ébauche|mathématiques}} La '''trigonométrie de Wildberger''' (dite aussi '''trigonométrie rationnelle''' car elle ne fait aucun recours aux [[nombre irrationnel|nombres irrationnels]]), constitue une réécriture de la [[trigonométrie]] traditionnelle . Elle s'en distingue en évitant non seulement l'usage des fonctions trigonométriques classiques, mais même l'usage de nombre transcendant tel que [[pi|'''π''']] dans l'écriture des formules. Elle fut exposée au grand public en septembre [[2005]] par Norman Wildberger, professeur associé en mathématiques à l'[[université de Nouvelle-Galles-du-Sud]] à [[Sydney]]. == Historique == On pratiquait depuis un quart de siècle la ''trigonométrie entière'' utilisée dès les premiers jeux graphiques sur ordinateur, afin d'éviter le recours aux fonctions flottantes dont le calcul était lent (jusqu'au [[Intel 80486|80486]], les processeur de la gamme [[i386]] n'avaient pas de [[coprocesseur arithmétique]] en standard). Cette trigonométrie simplifiée dont la résolution ne dépassait ni ne voulait dépasser la résolution du pixel présentait le double mérite : * de sa simplicité de mise en œuvre (par utilisation intensive à la fois de tables et des formules du style ''sin(a + b) = sina*cosb + sinb*cosa'', etc. * d'une vitesse de calcul alors largement supérieure à celle du flottant Toutefois, comme l'[[héliocentrisme]] de [[Nicolas Copernic|Copernic]] lors de son introduction, ce procédé n'était vu au mieux que comme une ''astuce'', un moyen ''ad hoc'' de simplifier un problème dans un cadre précis. Il n'avait en aucune façon été tenté de réécrire ''toute'' la géométrie euclidienne dans ce cadre. == Le [[retournement]] de Wildberger == Wildberger retourne le problème en partant au contraire des méthodes d'addition des sinus et cosinus pris cette fois-ci comme axiomes de théorie, et développe une ''trigonométrie en nombres rationnels'', en présentant cette construction comme plus satisfaisante pour l'esprit que l'introduction "classique". Celle-ci évite d'introduire la notion de nombre réel, abstraction certes intéressante en soi, mais qui n'a pas d'intérêt dans le domaine spécifique du calcul numérique : il est toujours possible de pousser une précision aussi loin qu'on le désire en employant dans son système uniquement des [[nombre rationnel|rationnel]]s, et sans avoir, à aucun moment du calcul, à postuler l'existence de [[nombre réel|réel]]s. Cette approche n'est pas sans rappeler historiquement la reprise de la géométrie d'[[Euclide]] uniquement par le [[Compas (géométrie)|compas]], et sans avoir à utiliser la règle dans les constructions ([[Georg Mohr|''Mohr'']] et [[Lorenzo Mascheroni|''Mascheroni'']]). Selon Wildberger, la construction de la trigonométrie est nettement simplifiée par cette méthode, et il est toujours possible de montrer par la suite que les [[axiome]]s choisis correspondent bien à ce qui est observé dans le monde euclidien. === Quadrance === Afin d'éviter le recours à la notion de [[racine carrée]], c'est la notion de ''quadrance'' (carré de la distance) qui est utilisée dans cette trigonométrie. L'[[inégalité triangulaire]] restant respectée, cette modification légère n'a pas d'incidence sur l'ensemble. === Ouverture (''spread'') === Pour des raisons similaires, et avec les mêmes effets, les angles sont remplacés par des "ouvertures" (''spread'') qui présentent l'intérêt elles aussi de se calculer de façon simple en n'utilisant que l'arithmétique des nombres rationnels. == Restriction actuelle == Wildberger n'a pour le moment achevé cette théorie que pour la géométrie ''plane''. == Positionnement == La démarche de Wildberger s'apparente aux méthodes [[Constructivisme (mathématiques)|constructivistes]] à la mode depuis quelques années en mathématiques, et elles-mêmes influencées par les [[paradigme]]s de l'[[algorithmique]]. Sur un plan [[épistémologie|épistémologique]] et plus généralement [[philosophie|philosophique]], on y retrouve aussi la traditionnelle complémentarité d'approche entre * l'[[algorithmique]] des [[Babylone|Babyloniens]] (où l'important est le résultat du calcul) et * l'[[abstraction]] générale plus typique des mathématiques et de la [[pensée grecque]]s. == Applications == Les applications par exemple de [[Conception assistée par ordinateur]], de [[cartographie]] ou a fortiori des [[Jeux vidéo|jeux vidéo]] ont '''fortement''' à gagner d'avancées dans le domaine de la trigonométrie en nombre rationnels. * pour résoudre de façon unifiée (c’est-à-dire sans bricolages ''ad hoc'', et donc de façon aisément portable) les questions de grandes variations d'échelle qui limitent la plage de travail de logiciels comme [[CATIA]] : cette géométrie s'abstrait en effet des considérations de granulation introduites **par l'architecture flottante **par les différences considérables de résolution des unités de sortie **par les fonctions approchées (polynômes) de calcul des irrationnels : des calculs sur les rationnels se font de façon exacte jusqu'à l'arrondi ou l'[[antialiasing]] final au moment de l'affichage, ce calcul pouvant être reporté sur une [[carte graphique]] conçue en ce sens * afin de gagner largement en vitesse sur les temps de calcul Cela ne représente toutefois qu'un simple intérêt anecdotique de la théorie, comme a pu l'être autrefois la [[synthèse d'image]] pour les [[fractales]] : intéressant pour la rendre visible, mais ne lui étant pas directement nécessaire. == Liens externes == * {{en}} [http://web.maths.unsw.edu.au.nyud.net:8090/~norman/book.htm Site sur le livre de Wildberger] * {{en}} [http://web.maths.unsw.edu.au.nyud.net:8090/~norman/papers/Chapter1.pdf Le premier chapitre, en PDF] [[catégorie: trigonométrie]] [[en:Rational trigonometry]] [[eo:Racionala trigonometrio]] [[ru:Рациональная тригонометрия]] [[uk:Раціональна тригонометрія]]