Variables aléatoires élémentaires
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2008-03-31T11:29:12Z
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{{MathématiquesÉlémentaires}}
La notion de '''variable aléatoire''' réelle est utilisée dès que le résultat d’une expérience aléatoire est quantifiable. Elle est née de considération sur les jeux où, à chaque jeu, pouvait être associé un gain (= somme empochée - mise). La question était de savoir comment répartir de façon juste les mises en cas d’arrêt forcé en cours de partie. [[Blaise Pascal]] contribua grandement à la fonder.
On nomme ''variable aléatoire'' réelle une application X d’un [[univers (mathématiques)|univers]] Ω muni d’une probabilité p vers '''R'''. Cette application crée un nouvel univers X(Ω) sur lequel on peut construire une probabilité issue de p. Cette probabilité s’appelle [[loi de probabilité]] de X. Il arrive souvent que l’on oublie l’univers Ω pour ne s’intéresser qu’à l’univers X(Ω). En français, retenons essentiellement qu’une ''variable'' aléatoire se présente comme une ''fonction''.
==Cas des variables aléatoires définies sur un univers Ω fini.==
Si l’univers Ω est fini, alors l’univers X(Ω) est fini. X(Ω) = {x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, ..., x<sub>n</sub>}.
===Loi de probabilité===
Attention : l’approche ''fréquentiste'' utilisée dans cette section ne résume pas à elle seule la notion de probabilité. Elle ne fait qu’en fournir un ''exemple''. Nombre de probabilités sont associées à des événements où aucune notion de fréquence n’intervient.
La loi de probabilité peut se construire de la manière suivante : <math>p_X(x_i) = p(X = x_i).=p_i</math>
''Exemple'': En lançant deux dés, on crée un univers Ω de 36 éléments formé de couples d’entiers de 1 à 6. Sur cet univers, on définit une équiprobabilité (les lancers des 2 dés étant deux [[Indépendance en probabilité élémentaire|expériences indépendantes]]). Si l’on ne s’intéresse qu’à la somme des deux dés, il faut créer une variable aléatoire X qui, à chaque couple, associe leur somme.
L’univers X(Ω) est donc {2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12}. Cet univers contient 11 éléments, mais il n’est pas adéquat d’y définir une équiprobabilité.
* p<sub>X</sub>(7) = p(X = 7) = p({(1 , 6)}) + p({(2, 5)}) + p({(3 , 4)}) + p({(4 , 3)}) + p({(5 , 2)}) + p({(6 , 1)}) = 6/36 = 1/6
*p<sub>X</sub>(2) = p(X = 2) = p({1 , 1}) = 1/36
On peut ainsi créer une loi de probabilité sur X(Ω)
{| border="1" cellspacing="0"|
|-
|width="40"|<math>x_i</math>
|align="center" width="40"|2
|align="center" width="40"|3
|align="center" width="40"|4
|align="center" width="40"|5
|align="center" width="40"|6
|align="center" width="40"|7
|align="center" width="40"|8
|align="center" width="40"|9
|align="center" width="40"|10
|align="center" width="40"|11
|align="center" width="40"|12
|-
|width="40"|<math>p_i</math>
|align="center" width="40"|1/36
|align="center" width="40"|2/36
|align="center" width="40"|3/36
|align="center" width="40"|4/36
|align="center" width="40"|5/36
|align="center" width="40"|6/36
|align="center" width="40"|5/36
|align="center" width="40"|4/36
|align="center" width="40"|3/36
|align="center" width="40"|2/36
|align="center" width="40"|1/36
|}
===Espérance, variance et écart type===
La présentation de la loi de probabilité sous forme d’un tableau ressemblant au tableau des fréquences d’une [[Statistiques élémentaires discrètes|série statistique quantitative discrète]] et la [[loi des grands nombres]] qui stipule que les deux tableaux coïncident si on renouvelle un grand nombre de fois l’expérience, pousse à définir aussi pour X la moyenne, la [[variance]] et l’[[écart type]].
La moyenne de la série statistique sera appelé [[Espérance mathématique|espérance]] dans le cas d’une variable aléatoire. Ce terme provient sans doute de l'utilité des premières variables aléatoires dans les calculs statistiques sur les gains des jeux de hasard. L’espérance du gain correspond alors à la moyenne des gains au cours de nombreuses parties.
:<math>E(X) = \sum_{i=1}^np_ix_i</math>
La variance s’écrit alors, par analogie avec la formule de la variance avec fréquences:
:<math>V(X) = \sum_{i=1}^np_i(x_i - E(X))^2= \left(\sum_{i=1}^np_ix_i^2\right) - (E(X))^2 = E(X^2) - (E(X))^2</math>
L’écart type reste toujours la racine carrée de la variance : <math>\sigma_X = \sqrt{V(X)}</math>.
===Fonction de répartition===
La '''fonction de répartition''' d'une variable aléatoire X est la fonction F définie sur '''R''' par F(x) = p(X ≤ x).
Dans le cas d’une variable discrète, c’est une fonction en escalier. En effet :
*si <math>x < x_1</math> alors <math> F(x) = 0</math>.
*si <math>x_1 \leq x < x_2</math> alors <math> F(x) = p_1</math>.
*si <math>x_2 \leq x < x_3</math> alors <math> F(x) = p_1+p_2</math>.
*...
*si <math>x_{n-1} \leq x < x_n</math> alors <math> F(x) = p_1 + p_2 + ... + p_{n-1}</math>.
*si <math>x \geq x_n</math> alors <math> F(x) = 1</math>.
===Lois célèbres===
Outre l’équiprobabilité, on peut rencontrer aussi
*la [[loi de Bernoulli]]
*la [[loi binomiale]]
*la [[loi hypergéométrique]].
==Variables aléatoires à densité==
Il arrive que l’univers Ω soit infini et que l’univers X(Ω) soit aussi infini. Le calcul des p<sub>X</sub>(x) pour tout x de X(Ω) n’est souvent pas suffisant pour calculer la probabilité d’un événement et il est même fréquent que ces p<sub>X</sub>(x) soient tous nuls. Il est alors nécessaire de calculer directement p<sub>X</sub>([a ; b]).
===Densité de probabilité===
On dit que X est une variable aléatoire de [[densité de probabilité|densité]] f si la probabilité de l’événement « a ≤ X ≤ b » vaut <math>\int_a^b f(t)\,dt</math>. Il faut évidemment que la fonction f soit à valeurs positives, intégrable sur '''R''', et d'intégrale sur '''R''' égale à 1.
On peut remarquer que p([a ; a]) = 0, donc que p(]a ; b]) = p([a ; b]) ce qui explique la liberté prise dans ce cas avec les inégalités larges ou strictes.
====De l'histogramme à la densité de probabilité====
En renouvelant 10000 fois l'expérience X, on crée une [[Statistiques élémentaires continues|série statistique continue]]. On peut alors ranger les différentes valeurs obtenues dans des classes de même amplitude et tracer l''''histogramme''' des fréquences. L’aire du rectangle de base [x<sub>i</sub>, x<sub>i+1</sub>] représente la fréquence de la classe [x<sub>i</sub>, x<sub>i+1</sub>]. Cet histogramme dessine une fonction en escalier.
'''L'aire sous la courbe''' entre x<sub>i</sub> et x<sub>j</sub> représente la fréquence de la classe [x<sub>i</sub> , x<sub>j</sub>]. Or la loi des grands nombres nous dit que cette fréquence est une bonne approximation de p([x<sub>i</sub> , x<sub>j</sub>]). En multipliant les expériences et en affinant les classes, la fonction en escaliers se rapproche d'une fonction souvent continue, l'aire sous cette courbe sur l'intervalle [a ; b] est alors un bon représentant de la probabilité de l'intervalle [a ; b]. Cette fonction s'appelle la [[densité de probabilité]] de la variable X.
On prend souvent l’habitude de tracer cette densité de probabilité pour mieux visualiser la loi de probabilité associée en regardant l’aire sous la courbe entre les valeurs qui nous intéressent.
====Loi uniforme====
Le cas le plus simple de loi à densité est la loi uniforme. Les valeurs de X se répartissent uniformément sur un intervalle [a ; b].
L'histogramme que l'on pourrait dessiner serait une succession de rectangles de même hauteur. La densité de probabilité est donc une fonction constante k. L'aire sous la courbe sur l'intervalle [a ; b] vaut alors k(b - a). Or cette aire doit valoir 1, donc k = 1/(b-a).
La probabilité de l'intervalle [c ; d] (inclus dans [a ; b]) est alors k(d - c) = <math>\frac{d - c}{b - a}</math>
====Autres lois====
On rencontre aussi
* La [[loi exponentielle]] dite aussi de durée de vie sans vieillissement
* La [[loi normale]], dite aussi loi de Laplace-[[Carl Friedrich Gauss|Gauss]], ou loi normale gaussienne, ou loi de Gauss.
Ces deux lois sont également celles de ''distributions d’'''[[entropie]] maximale''' '' sous contrainte, la première quand la seule contrainte imposée est la ''moyenne'', la seconde quand sont imposées une ''moyenne'' et une ''variance''. Cette caractéristique montre leur caractère général : de toutes les distributions obéissant à ces contraintes, ce sont les ''moins prévenues'', les moins arbitraires, les plus générales, bref, les plus neutres : celles qui n’introduisent pas d’information ''supplémentaire'' (et donc arbitraire) par rapport à ce qui est donné.
===Espérance, variance et écart type===
La méthode d’approximation d’une intégrale par la méthode des rectangles conduit à définir l’espérance et la variance comme des intégrales issues du passage à la limite des sommes définissant moyenne et variance dans le cas d’une [[Statistiques élémentaires continues|variable statistique continue]].
De la moyenne de la série statistique, on passe à l’espérance de X par la formule.
:<math>E(X) = \int_{\mathbb{R}} f(x).x.dx</math> si l’intégrale existe
La variance s’écrit alors, par analogie avec la formule de la variance avec fréquences:
:<math>V(X) = \int_{\mathbb{R}} f(x).(x - E(X))^2.dx = \left(\int_{\mathbb{R}} f(x).x^2.dx\right) - (E(X))^2</math> si l’intégrale existe.
L’écart type reste toujours la racine carrée de la variance : <math>\sigma_X = \sqrt{V(X)}</math>.
===Fonction de répartition===
La fonction de répartition est la fonction F définie sur '''R''' par F(x) = p(X ≤ x).
Dans le cas d’une variable à densité, c’est la [[Table de primitives|primitive]] de f dont la limite en + ∞ est 1.
En effet <math>F(x) = \int_{- \infty}^xf(t)\, dt</math>
===Médiane===
Si la fonction de répartition F est continue et strictement croissante, elle définit une bijection de '''R''' sur ]0 ; 1[. Il existe donc alors une valeur unique M telle que F(M) = 1/2. Cette valeur s'appelle la médiane de la variable aléatoire X. Elle vérifie p(X ≤ M) = p(X > M) = 0,5.
==Cas des variables aléatoires ayant une infinité dénombrable de valeurs ==
Ce cas sort du cadre des mathématiques élémentaires, mais mérite cependant d'être évoqué.
Ces variables font le lien entre les variables discrètes prenant n valeurs, n grand, et les variables continues.
Il est possible de définir p<sub>X</sub>(x<sub>i</sub>) pour tout i de '''N'''.
Les lois les plus connues de variables aléatoires à valeurs dans '''N''' sont :
*la [[loi de Poisson]]
*la [[loi géométrique]]
==Voir aussi==
*[[Probabilité]]
*[[Probabilité (mathématiques élémentaires)]]
*[[Variable aléatoire]]
{{Portail|probabilités et statistiques|mathématiques}}
[[Catégorie:Probabilités]]