Vitesse
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2008-07-06T01:33:44Z
222.3.86.140
/* Vecteur-vitesse */
{{Voir homonymes}}
== Définition ==
* En physique, la '''vitesse''' est une grandeur qui mesure le rapport d'une évolution au temps. Exemple: vitesse de [[sédimentation]], vitesse d'une [[réaction chimique]], etc.
* En cinématique, la vitesse est une grandeur vectorielle qui mesure pour un mouvement, le rapport de la distance parcourue au temps.
== Vitesse en cinématique ==
On distingue :
*La '''vitesse curviligne''', qui est la distance <math>d</math> parcourue sur une unité de [[temps]] <math>t</math>. C'est une grandeur [[scalaire]].
:<math>v = \frac{d}{t}</math>
*Le '''vecteur-vitesse''' ou la '''vitesse dans l'espace''', qui est le [[vecteur]]
:<math>\vec{v} = \frac{\vec{\mathrm dr}}{\mathrm dt}</math>
:dont la [[norme (mathématiques)|norme]] vaut la vitesse et dont le sens et la direction sont ceux du mouvement de l'objet considéré. Formellement, le vecteur-vitesse est la [[dérivée]] de la position de l'objet par rapport au [[temps]]. Lorsque cela n'entraîne pas de confusions, on appelle le vecteur-vitesse simplement « vitesse ». C'est ici une grandeur vectorielle.
L'[[système international|unité internationale]] de la vitesse est le [[mètre]] par [[seconde (temps)|seconde]] (m.s<sup>-1</sup>). Pour les véhicules automobiles, on utilise aussi fréquemment le kilomètre heure (km/h), le [[Unités de mesure anglo-saxonnes|système anglo-saxon]] utilise le [[Mille (unité de longueur)|mille]] par heure (''mile per hour'', mph). Dans la marine, on utilise le [[Nœud (unité)|nœud]], qui vaut un mille marin par heure, soit 0,514 4 m.s<sup>-1</sup>. En aviation, on utilise parfois le mach, mach 1 étant la vitesse du [[son (physique)|son]] (qui varie en fonction de la température et de la pression).
== Histoire du concept de vitesse ==
Une définition formelle a longtemps manqué à la notion de vitesse, car les mathématiciens s'interdisaient de faire le quotient de deux grandeurs non homogènes. Diviser une distance par un temps leur paraissaient donc aussi faux que pourrait nous sembler aujourd'hui la somme de ces deux valeurs. C'est ainsi que pour savoir si un corps allait plus vite qu'un autre, [[Galileo Galilei|Galilée]] (1564-1642) comparait le rapport des distances parcourues par ces corps avec le rapport des temps correspondant. Il appliquait pour cela l'équivalence suivante:
:<math> \frac{s_1}{s_2}\le \frac{t_1}{t_2} \Leftrightarrow \frac{s_1}{t_1}\le\frac{s_2}{t_2} </math>
La notion de vitesse instantanée est définie formellement pour la première fois par [[Pierre Varignon]] (1654-1722) le [[5 juillet]] [[1698]], comme le rapport d'une longueur infiniment petite <math>\mathrm dx</math> sur le temps infiniment petit <math>\mathrm dt</math> mis pour parcourir cette longueur. Il utilise pour cela le formalisme du [[calcul différentiel]] mis au point quatorze ans plus tôt par [[Gottfried Wilhelm von Leibniz|Leibniz]] (1646-1716).
==Le concept de vitesse==
Il faut distinguer deux types de vitesse :
* la vitesse moyenne, qui répond très précisément à la définition élémentaire. Elle se calcule en divisant la distance parcourue par le temps de parcours ; elle a un sens sur une période donnée ;
* la vitesse instantanée, qui est obtenue par passage à la [[limite (mathématiques)|limite]] de la définition de la vitesse. Elle est définie à un instant précis, via la notion de [[Dérivation (mathématiques élémentaires)|dérivation]] <math>v = \tfrac{\partial r}{\partial t}</math>. Par exemple dans les calculs de [[cinématique]], la vitesse est un [[vecteur]] obtenu en dérivant les [[coordonnées cartésiennes]] de la position par rapport au temps :
:<math>\vec{v} = \frac{\partial \vec{r}}{\partial t}=\begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial t} \\ \frac{\partial y}{\partial t} \\ \frac{\partial z}{\partial t} \end{pmatrix}</math>
== Vecteur-vitesse ==
Le vecteur-vitesse instantanée <math>\vec v</math> d'un objet dont la position au temps <math>t</math> est donné par <math>\vec x(t)</math> calculé comme la [[dérivée]]
:<math> \vec v = \frac {\mathrm d\vec x}{\mathrm dt}</math>
L'accélération est la dérivée de la vitesse, et la vitesse est la dérivée de la distance, par rapport au temps.
L'[[accélération]] est le taux de changement de la vitesse d'un objet sur la période. L'accélération moyenne <math>a</math> d'un objet dont la vitesse change à partir de <math>v_i</math> à <math>v_f</math> pendant une période <math>t</math> est donnée par :
:<math> a = \frac {v_f - v_i} t</math>
Le vecteur d'accélération instantanée <math>\vec a</math> d'un objet dont la position au temps <math>t</math> est donné par <math>\vec x(t)</math> est
:<math>\vec a = \frac {\mathrm d\vec v} {\mathrm dt} = \frac {\mathrm d^2\vec x} {\mathrm dt^2}</math>
La vitesse finale <math>v_f</math> d'un objet démarrant avec la vitesse <math>v_i</math> puis accélérant avec un taux constant <math>a</math> pendant un temps <math>t</math> est:
:<math> v_f = v_i + a t \,</math>
La vitesse moyenne d'un objet subissant une accélération constante est <math>{\scriptstyle\frac12}(v_i + v_f)</math>. Pour trouver le déplacement <math>d</math> d'un tel objet accélérant pendant la période <math>t</math>, substituer cette expression dans la première formule pour obtenir :
:<math> d = t \times \frac {v_i + v_f} 2</math>
Quand seule la vélocité initiale de l'objet est connue, l'expression
:<math> d = v_i t + \frac {a t^2} 2</math>
peut être utilisée. Ces équations de base pour la vélocité finale et déplacement peuvent être combinées pour former une équation qui est indépendante du temps :
:<math> v_f^2 = v_i^2 + 2 a d</math>
Les équations ci-dessus sont valides pour à la fois la [[mécanique classique]] mais pas pour la [[relativité restreinte]]. En particulier en mécanique classique, tous seront d'accord sur la valeur de <math>t</math> et les règles de transformation pour la position créent une situation dans laquelle tous les observateurs n'accélérant pas décriraient l'accélération d'un objet avec les mêmes valeurs. Ni l'un ni l'autre ne sont vrais pour la relativité restreinte.
L'[[énergie cinétique]] d'un objet se déplaçant est linéaire avec sa [[masse]] et le carré de sa vitesse :
:<math>E_c = \tfrac1 2 mv^2 </math>
L'énergie cinétique est une quantité [[scalaire]].
===Coordonnées polaires===
En [[coordonnées polaires]], la vitesse dans le plan peut être décomposée en vitesse radiale, <math>\mathrm dr/\mathrm dt</math>, s'éloignant ou allant vers l'origine et la vitesse orthoradiale, dans la direction perpendiculaire (que l'on ne confondra pas avec la composante tangentielle), égale à <math>r\tfrac{\mathrm d\theta}{\mathrm dt}</math> (voir [[vitesse angulaire]]).
Le [[moment angulaire]] dans le plan est
:<math>\vec L= m\ \vec r \wedge \vec V = m\; r^2\; \frac{\mathrm d \theta}{\mathrm d t} \vec k</math>.
On reconnaît dans
:<math>\frac{1}{2}r^2\frac{\mathrm d \theta}{\mathrm d t} = \frac{\mathrm d A(t)}{\mathrm d t}</math>
la vitesse aréolaire.
Si la force est centrale (voir [[mouvement à force centrale]]), alors la vitesse aréolaire est constante ([[Lois de Kepler, démonstration#Deuxième loi, loi des aires (1609)|deuxième loi de Kepler]]).
== Voir aussi ==
* [[Accélération]]
* [[Accélération moyenne]]
* [[Vitesse de la lumière]]
* [[Vitesse du son]]
* [[Vitesse de phase]]
* [[Vitesse de groupe]]
* [[Vitesse relative]]
* [[Vitesses (aérodynamique)]]
* [[Torseur cinématique]]
* [[Battements par minute]] (BPM) : mesure de la « vitesse » d'un morceau de musique
==Lien externe==
* [http://www.metricimperial.com/conversion_fr.htm Site de conversion d'unités (dont la vitesse)]
{{portail physique}}
[[Catégorie:Grandeur physique]]
[[catégorie:mécanique]]
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