Volume
56295
31686558
2008-07-18T17:12:22Z
67.129.35.178
/* Les pyramides et cônes */
{{Voir homonymes}}
En [[physique]], le '''volume''' d'un objet mesure « l'extension dans l'[[espace (notion)|espace]] » qu'il possède dans les trois directions en même temps,
de même que l'[[Superficie|aire]] d'une figure dans le [[plan (mathématiques)|plan]] mesure « l'extension » qu'elle possède dans les deux directions en même temps.
Le volume se mesure en [[mètre cube]] dans le système international. On utilise fréquemment le litre, notamment pour des liquides.
Ainsi, on considère le '''volume''' comme une [[grandeur extensive]] et la [[grandeur intensive]] [[thermodynamique]] associée est la [[pression]].
En [[mathématiques]], le '''volume''' d'une partie de l'[[espace (notion)#Mathématiques|espace]] est sa [[Mesure (mathématiques)|mesure]]. Pour les [[Solide géométrique|solide]]s simples ([[parallélépipède]] et objets de révolution), il existe des formules mathématiques permettant de déterminer leur volume d'après leurs dimensions caractéristiques. En [[géométrie euclidienne]], le volume du [[parallélépipède]] engendré par 3 [[vecteur]]s non coplanaires <math>(\vec v_1, \vec v_2, \vec v_3)</math> se calcule grâce au [[produit mixte]] des trois vecteurs : <math>V = |\det( \vec v_1, \vec v_2, \vec v_3)|</math>. Les calculs de volume ont évolué au cours de l'histoire en suivant les progrès du [[calcul infinitésimal]]. C'est ainsi que les premiers volumes ont été calculé grâce à la [[méthode d'exhaustion]], puis en utilisant le [[principe de Cavalieri]] et pour finir en calculant des [[intégrale multiple|intégrales triples]].
== Unités de volume ==
L'unité de volume du système international est le mètre cube (m³) et ses dérivés (dm³, cm³, mm³). Mais d'autres unités de volume persistent surtout dans les pays anglosaxons (voir [[Conversion des unités#Volume - capacité|Conversion des unités]]).
Les volumes de matière liquide ont souvent leurs unités propres (litre, pinte, baril). La mise en place du système métrique a grandement simplifié le nombre d'unités de volume utilisées qui dans l'ancien régime en comptait plus de vingt (voir [[Unités de mesure de l'Ancien Régime#Unités de volume|Unités de mesure de l'Ancien Régime]]).
Pour les gaz où l'on veut connaître la quantité de matière (nombre de molécule) contenue dans un volume donné quelle que soit la pression et la température, deux définitions de correction existent :
* le mètre cube dit normal exprimé en m<sup>3</sup>(n) correspondant à un volume de gaz ramené sous une pression de 1013,25 hPa (pression d'une atmosphére normale ou 1 [[atmosphère (unité)|atm]]) et une température de 0°C.
* le mètre cube dit standard exprimé en m<sup>3</sup>(s) correspondant à un volume de gaz ramené sous une pression de 1013,25 hPa (pression d'une atmosphére normale ou 1 [[atmosphère (unité)|atm]]) et une température de 15°C.
Les volumes décrit ci-dessus correspondent à des volumes dit corrigés. Le volume qui ne tient pas compte de ces corrections est dit brut. On rencontre ces volumes dans l'élaboration des débits (voir [[débit]]) et du [[pouvoir calorifique]] des gaz.
Dans l'[[Union européenne]], de nombreux volumes (et masses), sur les produits de consommation, sont indiqués en [[quantité estimée]]. Ils sont marqués comme tel, d'un [[quantité estimée|« e »]] minuscule.
En mathématique, l'unité de volume n'apparaît pas dans les formules. Elle est implicitement donnée par le volume du ''cube unité''. Si, par exemple, pour des questions d'échelle, le ''cube unité'' a pour arête 2 cm, un volume de X (''cube unité'') correspond à 8X cm³.
==Quelques formules ==
Dans la suite on notera
*<math>V</math> le volume
*<math>B</math> et <math>b</math> les aires de la grande base et de la petite base
*<math>H</math> la hauteur (ou distance séparant les deux faces)
* <math>D</math> ou <math>d</math> le diamètre
* <math>R</math> ou <math>r</math> le rayon
*<math>a</math> l'arête
*<math>L</math> ou <math>l</math> la longueur et la largeur d'un rectangle
=== Les solides de Platon ===
[[Image:120px-Tetrahedron-slowturn.gif|right|Animation d'un Tétraèdre]]
[[Image:120px-Hexahedron-slowturn.gif|right|Animation d'un cube]]
Ce sont les cinq seuls polyèdres réguliers. Si l'arête du polyèdre est <math>a</math>, on a
* Pour le [[tétraèdre]] : <math>V = \frac{1}{12}\sqrt{2}a^3</math>
* Pour le [[cube]] : <math>V = a^3\,</math>
* Pour l'[[octaèdre]] : <math>V = \frac 13 \sqrt 2 a^3</math>
* Pour le [[dodécaèdre]] : <math>V = \frac 14(15 + 7\sqrt 5)a^3</math>
* Pour l'[[icosaèdre]] : <math>V = \frac 56\varphi^2a^3</math> où <math>\varphi</math> est le [[nombre d'or]]
=== Les [[prisme (solide)|prisme]]s et [[cylindre]]s ===
La formule générale est toujours : Aire de la base × Hauteur
* Le [[prisme droit]] : <math>V =B \times H</math>
* Le [[parallélépipède rectangle]] ou pavé : <math>V = L \times l \times H</math>
* Le [[cylindre]] de révolution : <math>V = \pi R^2H</math>
=== Les [[pyramide]]s et [[cône (géométrie)|cône]]s ===
La formule générale est toujours : <math>V = \frac 13 B \times H</math>
*Le [[cône (géométrie)| cône de révolution]] : <math>V = \frac{\pi}{3}R^2H</math>
* La pyramide tronquée par un plan parallèle à la base : <math>V=\frac H3 (B+b+\sqrt{Bb})</math>
=== La [[boule (solide)|boule]] ===
* La boule a pour volume <math>V = {4 \over 3} \pi R^3</math> ou <math>V = \pi {D^3 \over 6} </math>
* Pour une calotte sphérique, <math>V = \frac{\pi}{3}H^2(3R-H)</math> où <math>R</math> est le rayon de la boule et <math>H</math> la hauteur de la calotte.
* Le volume de la boule percée d'un cylindre (rond de serviette) ne dépend pas du rayon de la boule : <math>V = \frac{\pi}{6} H^3</math>
* Le secteur sphérique (intersection entre un cône de sommet O et la boule de centre O : <math>V = \frac 23 \pi R^2H</math> où <math>H</math> est la hauteur de la calotte et <math>R</math> le rayon de la boule.
=== Solides de révolution ===
{{article détaillé|théorème de Guldin}}
Le [[théorème de Guldin]] (ou règle de Pappus) permet de calculer le volume d'un solide de révolution engendré par la révolution d'un élément de surface <math>S</math> plane autour d'un axe situé dans son plan et ne le coupant pas, pour peu que l'on connaisse le [[centre de gravité]] <math>G</math> de l'élément de surface <math>S</math>.
: <math>V = 2\pi R\cdot S</math> où <math>R</math> est la distance séparant le point <math>G</math> de l'axe de rotation.
Cette formule permet de déterminer les volumes suivants :
* le [[tore]] : <math>V = 2\pi^2 Rr^2</math> où <math>r</math> est le rayon du cercle de centre <math>G</math> tournant autour de l'axe <math>(\Delta)</math> et où <math>R</math> est la distance de <math>G</math> à <math>(\Delta)</math>.
* le tonneau : [[Kepler]] donne une formule approchée pour le volume d'un tonneau, qui se révèle exacte lorsque le tonneau est engendré par une sphère, une pyramide, un [[hyperboloïde]] à une nappe, un [[paraboloïde]] elliptique, un [[ellipsoïde]] de révolution. Si <math>B_1</math> et <math>B_2</math> sont les surfaces des bases et <math>B_3</math> la surface de la section à mi-hauteur alors
: <math>V = \frac h6 (B_1 + B_2 + 4B_3)</math>
=== Autres ===
* Le [[conoïde]] circulaire droit (exemple l'incisive) : <math>V = \frac 12 \pi R^2H</math> où <math>R</math> est le rayon du cercle de base et <math>H</math> la hauteur du conoïde.
* Le ''lingot'' ([[hexaèdre]] formé de deux bases rectangulaires parallèles et de 4 faces latérales trapézoïdales) . On retrouve la formule de Kepler : <math>V = \frac h6(B_1+B_2+4B_3)</math> où <math>B_1</math> et <math>B_2</math> sont les surfaces des deux bases rectangulaires et <math>B_3</math> la surface de la section à mi-hauteur.
== Volume et calcul intégral ==
{{article détaillé|intégrale multiple}}
Si <math>\mathcal D</math> est une partie bornée de <math>\R^2</math>, le volume du [[cylindre]] ayant pour génératrice la frontière de <math>\mathcal D</math>, délimité par le plan <math>z=0</math> et la surface d'équation <math>z=f(x,y)</math> – avec <math>f</math> positive et continue sur <math>\mathcal D</math> – est :
:<math>V = \iint_\mathcal D f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y</math>
Dans le cas où le domaine <math>\mathcal D</math> est défini par des conditions simples <math>x_1<x<x_2</math>, <math>y_1(x)<y(x)<y_2(x)</math>, ce calcul se ramène à :
:<math>V = \int_{x_1}^{x_2}\!\int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x,y)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x</math>
Si <math>\mathcal A</math> est une partie bornée de <math>\R^3</math> et si la fonction constante 1 est intégrable sur <math>\mathcal A</math>, le volume de <math>\mathcal A</math> est alors
: <math>V = \iiint _\mathcal A \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z</math>
Dans le cas où le domaine <math>\mathcal A</math> est défini par des conditions simples <math>x_1(z,y) <x(z,y)<x_2(z,y)</math>, <math>y_1(z)<y(z)<y_2(z)</math> et <math>z_1<z<z_2</math>, ce calcul se ramène à :
: <math>V = \int_{z_1}^{z_2}\!\int_{y_1(z)}^{y_2(z)}\!\int_{x_1(z,y)}^{x_2(z,y)}\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z</math>
Par linéarité de l'intégration, un domaine difficile à définir peut être partitionné en plusieurs sous-domaines exprimables eux en conditions simples.
Si le domaine <math>\mathcal A</math> s'exprime mieux en [[coordonnées cylindriques]] par des conditions simples <math>\mathcal A'</math>, le calcul peut s'exprimer par
: <math>V = \iiint _{\mathcal A'} r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,dz</math> où <math>\mathcal A'</math> est une partie bornée de <math>\R_+\times [0,2\pi] \times \R</math>
Si le domaine <math>\mathcal A</math>s'exprime mieux en [[coordonnées sphériques]] par des conditions simples <math>\mathcal A''</math>, le calcul peut s'exprimer par
: <math>V = \iiint _{\mathcal A''} r^2\sin(\phi)\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi</math> où <math>\mathcal A''</math> est une partie bornée de <math>\R_+\times [0,2\pi]\times [0,\pi]</math>.
Dans le cas où le domaine <math>\mathcal A</math> est un solide de révolution dont la frontière est engendrée par la rotation d'une courbe d'équation <math>y = f(x)</math> autour de l'axe <math>(Ox)</math>, le calcul du volume se réduit à une intégrale simple
: <math>V = \pi \int_{x_1}^{x_2}f^2(x)\,\mathrm{d}x</math>
Enfin, le [[théorème de flux-divergence]] permet de réduire le calcul de volume à une [[intégrale de surface]]
: <math>V = \iiint _A \mathrm{d}V = \frac 13 \iint_{\part\mathcal A} (x,y,z)\vec n\,\mathrm{d}S</math>
où <math>\part\mathcal A</math> est la frontière de <math>\mathcal A</math>, et <math>\vec n</math> le [[vecteur unitaire]] normal à <math>\mathrm dS</math> dirigé vers l'extérieur de <math>\mathcal A</math>.
==Voir aussi==
===Bibliographie===
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===Liens internes===
* [[Cubage]], [[cubage du bois]]
===Liens externes===
{{...}}
===Notes et références===
<references /> <!-- aide : http://fr.wikipedia.org/wiki/Aide:Notes et références -->
{{...}}
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[[Catégorie:Grandeur physique]]
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