Zonoèdre 1325713 28232331 2008-04-03T17:20:57Z Badmood 4507 nouveau style de bandeau de portail, voir [[Wikipédia:Prise de décision/Bandeaux de portail]] Un '''zonoèdre''' est un [[polyèdre]] [[polyèdre convexe|convexe]] où chaque face est un [[polygone]] avec un [[centre de symétrie]] ou, de manière équivalente, une symétrie avec des [[rotation]]s à 180°. Tout zonoèdre peut être décrit de manière équivalente comme la [[Somme de Minkowski|somme de Minkowski]] d'un ensemble de segments de droite dans un espace tridimensionnel, ou comme la [[projection (mathématiques)|projection]] tridimensionnelle d'un [[hypercube]]. Les zonoèdres ont été définis à l'origine et étudiés par E. S. Fedorov, un [[Cristallographie|cristallographe]] [[Russie|russe]]. == Zonoèdres qui pavent l'espace == La motivation originale pour l'étude des zonoèdre réside dans le fait que le [[diagramme de Voronoï]] d'un [[réseau (groupe)|réseau]] quelconque forme un [[nid d'abeille uniforme convexe]] dans lequel les cellules sont des zonoèdres. Un zonoèdre quelconque formé de cette manière peut [[Nid d'abeille (géométrie)|paver]] l'espace tridimensionnel et est appelé un '''parallèloèdre primaire'''. Chaque parallèloèdre primaire est équivalent combinatoirement à un des cinq types : le [[cube]], le [[prisme hexagonal]], l'[[octaèdre tronqué]], le [[dodécaèdre rhombique]] et le [[dodécaèdre rhombo-hexagonal]]. == Zonoèdres à partir des sommes de Minkowski == Soit {v<sub>0</sub>, v<sub>1</sub>, ...}, une collection de [[vecteur]]s tridimensionnels. Avec chaque vecteur v<sub>i</sub>, nous pouvons associer un [[Segment (mathématiques)|segment]] {x<sub>i</sub>v<sub>i</sub>|0≤x<sub>i</sub>≤1}. La [[Somme de Minkowski|somme de Minkowski]] : {Σx<sub>i</sub>v<sub>i</sub>|0≤x<sub>i</sub>≤1} forme un zonoèdre, et tous les zonoèdres qui contiennent l'origine ont cette forme. Les vecteurs à partir desquels le zonoèdre est formé sont appelés ses '''générateurs'''. Cette caractérisation permet la définition des zonoèdres pour être généralisé en dimensions plus élevées, donnant les '''zonotopes'''. Chaque arête, dans un zonoèdre est parallèle à au moins un des générateurs, et possède une longueur égale à la somme des longueurs des générateurs avec lesquels il est parallèle. Par conséquent, en choisissant un ensemble de générateurs sans paires des vecteurs parallèles, et en fixant les longueurs de tous les vecteurs égales, nous pouvons former une version [[équilatéral]]e d'un zonoèdre de type combinatoire quelconque. En choisissant des ensembles de vecteurs avec de hauts degrés de symétrie, nous pouvons former de cette manière des zonoèdres avec au moins autant de symétries. Par exemple, les générateurs également espacés autour de l'équateur d'une [[sphère]], mis ensemble avec une autre paire de générateurs à travers les poles de la sphère forment des zonoèdres de la forme d'un [[prisme (solide)|prisme]] sur les 2k-gones réguliers : le [[cube]], le [[prisme hexagonal]], le [[prisme octogonal]], le [[prisme décagonal]], le [[prisme dodécagonal]], etc. Les générateurs parallèles aux arêtes d'un octaèdre forment un [[octaèdre tronqué]], et les générateurs parallèles le long des diagonales d'un cube forment un [[dodécaèdre rhombique]]. La somme de Minkowski de deux zonoèdres quelconques est un autre zonoèdre, engendré par l'union des générateurs de deux zonoèdres donnés. Ainsi, la somme de Minkowski d'un cube et d'un octaèdre tronqué forme le [[grand rhombicuboctaèdre]], tandis que la somme du cube avec le dodécaèdre rhombique forme le [[dodécaèdre rhombique tronqué]]. Ces deux zonoèdres sont '''simples''' (trois faces qui se rencontrent à chaque sommet), comme le petit rhombicuboctaèdre tronqué formé à partir de la somme de Minkowski du cube, de l'octaèdre tronqué et du dodécaèdre rhombique. == Zonoèdres à partir d'arrangements == L'[[application de Gauss]] d'un polyèdre quelconque applique chaque face du polygone vers un point de la sphère unité, et applique chaque arête du polygone en séparant une paire de faces vers un arc de [[grand cercle]] connectant les deux points correspondants. Dans le cas d'un zonoèdre, les arêtes entourant chaque face peuvent être groupées en paires d'arêtes parallèles, et lorqu'elles sont translatées via l'application de Gauss, une paire quelconque de cette sorte devient une paire de segment contigus sur le même grand cercle. Ainsi, les arêtes du zonoèdre peuvent être groupées en '''zones''' d'arêtes parallèles, qui correspondent aux segments d'un grand cerle commun sur l'application de Gauss, et le 1-[[Squelette (topologie)|squelette]] du zonoèdre peut être regardé comme le [[graphe planaire|graphe planaire dual]] d'un arrangement de grands cercles sur la sphère. Inversement, tout arrangement de grands cercles peut être formé à partir de l'application de Gauss d'un zonoèdre engendré par des vecteurs perpendiculaires aux plans à travers les cercles. Tout zonoèdre simple correspond, de cette manière à un '''arrangement simplicial''', dans lequel chaque face est un triangle. Les arrangements simpliciaux de grands cercles correspondent via la projection centrale aux arrangements simpliciaux de droites dans le [[plan projectif]], qui a été étudié par [[Branko Grünbaum|Grünbaum]] (1972). Il a listé trois familles infinie d'arrangements simpliciaux, une d'elles conduit aux prismes lorsqu'elle est convertie en zonoèdres, et les deux autres correspondent aux familles supplémentaires de zonoèdres simples. Il existe aussi beaucoup d'exemples connus qui ne rentrent pas dans ces trois familles. == Types de zonoèdres == Nous avons déjà vu que tout [[prisme (solide)|prisme]] sur un polygone régulier avec un nombre pair de cotés forme un zonoèdre. Ces prismes peuvent être formés si toutes les faces sont régulières : deux faces opposées sont égales au polygone régulier à partir duquel le prisme a été formé, et celles-ci sont connectées par une suite de faces carrées. Les zonoèdres de ce type sont le [[cube]], le [[prisme hexagonal]], le [[prisme octogonal]], le [[prisme décagonal]], le [[prisme dodécagonal]], etc. En plus de cette famille infinie de zonoèdre à faces régulières, il existe trois [[solide d'Archimède|solides d'Archimède]], toutes les [[Polyèdre uniforme#Formes convexes et arrangements de sommet fondamentaux|omnitroncatures]] des formes régulières : * L'[[octaèdre tronqué]], avec 6 carrés et 8 faces hexagonales. (Tétraèdre omnitronqué) * Le [[grand rhombicuboctaèdre]], avec 12 carrés, 8 hexagones et 6 octogones. (Cube omnitronqué) * Le [[grand rhombicosidodécaèdre]], avec 30 carrés, 20 hexagones et 12 décagones. (Dodécaèdre omnitronqué) En plus, certains [[solide de Catalan|solides de Catalan]] (duaux des solides d'Archimède) sont encore des zonoèdres : * Le [[dodécaèdre rhombique]] qui est le dual du [[cuboctaèdre]]. * Le [[triacontaèdre rhombique]] qui est le dual de l'[[icosidodécaèdre]]. Autres polyèdres avec toutes les faces rhombiques : * L'[[icosaèdre rhombique]] * Le [[rhomboèdre]] * L'[[ennéacontaèdre rhombique]] {| class="wikitable" |- ! zonoèdre ! ! [[Polygone régulier|face régulière]] ! [[face uniforme]] ! [[arête uniforme]] ! [[sommet uniforme]] ! [[Nid d'abeille (géométrie)|Cellulle uniforme<BR>remplissage d'espace]] |- | [[Cube]]<BR>4.4.4 | [[Image:Tetragonal prism.png|60px|Cube]] | '''oui''' | '''oui''' | '''oui''' | '''oui''' | [[Nid d'abeille cubique|'''oui''']] |- | [[Prisme hexagonal]]<BR>4.4.6 | [[image:hexagonal prism.png|60px|Prisme hexagonal]] | '''oui''' | non | non | '''oui''' | [[Nid d'abeille uniforme convexe|'''oui''']] |- | [[Prisme (solide) | 2n-prisme (n >3)]]<BR>4.4.2n | [[image:octagonal prism.png|60px|2n prisme]] | '''oui''' | non | non | '''oui''' | non |- | [[Octaèdre tronqué]]<BR>4.6.6 | [[Image:Uniform polyhedron-33-t012.png|60px|Octaèdre tronqué]] | '''oui''' | non | non | '''oui''' | [[Nid d'abeille cubique bitronqué|'''oui''']] |- | [[Grand rhombicuboctaèdre]]<BR><BR>4.6.8 | [[Image:Uniform polyhedron-43-t012.png|60px|Cuboctaèdre tronqué]] | '''oui''' | non | non | '''oui''' | non |- | [[Grand rhombicosidodécaèdre]]<BR>4.6.10 | [[Image:Uniform polyhedron-53-t012.png|60px|Icosidodécaèdre tronqué]] | '''oui''' | non | non | '''oui''' | non |- | [[Dodécaèdre rhombique]]<BR>V3.4.3.4 | [[image:rhombicdodecahedron.jpg|60px|Dodécaèdre rhombique]] | non | '''oui''' | '''oui''' | non | [[Nid d'abeille rhombique dodécaèdral|'''oui''']] |- | [[Triacontaèdre rhombique]]<BR>V3.5.3.5 | [[image:rhombictriacontahedron.jpg|60px|Triacontaèdre rhombique]] | non | '''oui''' | '''oui''' | non | non |- | [[Dodécaèdre rhombo-hexagonal]] | [[Image:Rhombo-hexagonal dodecahedron.png|60px|Dodécaèdre rhombo-hexagonal]] | non | non | non | non | '''oui''' |- | [[Dodécaèdre rhombique tronqué]] | [[Image:Truncated rhombic dodecahedron.png|60px|Dodécaèdre rhombique tronqué]] | non | non | non | non | non |} == Dissection des zonoèdres == Bien qu'il ne soit pas généralement vrai qu'un polyèdre quelconque puisse être [[dissection (réarrangement)|disséqué]] en un autre polyèdre quelconque de même volume (voir le [[troisième problème de Hilbert]]), il est connu que deux zonoèdres quelconques de mêmes volumes peuvent être disséqués l'un dans l'autre. == Références == * Coxeter, H. S. M (1962). "The Classification of Zonohedra by Means of Projective Diagrams". J. Math. Pures Appl. 41: 137–156. * Eppstein, David (1996). "Zonohedra and zonotopes". Mathematica in Education and Research 5 (4): 15–21. * Grünbaum, Branko (1972). Arrangements and Spreads. Number 10 in Regional Conf. Series in Mathematics, American Mathematical Society. * Fedorov, E. S. (1893). "Elemente der Gestaltenlehre". Zeitschrift für Krystallographie und Mineralogie 21: 671–694. * Shephard, G. C. (1974). "Space-filling zonotopes". Mathematika 21: 261–269. * Taylor, Jean E. (1992). "Zonohedra and generalized zonohedra". American Mathematical Monthly 99: 108–111. DOI:10.2307/2324178. == Liens externes == {{fr}} http://www.ac-noumea.nc/maths/amc/polyhedr/misc_poly.htm {{solides}} {{Portail|géométrie|mathématiques}} [[Catégorie:polyèdre]] [[en:Zonohedron]] [[eo:Zonopluredro]] [[it:Zonoedro]] [[ru:Зоноэдр]] [[zh:環帶多面體]]